Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 0
§ 7] |
СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ |
681 |
|
|
|
Если |
бы параметр Ѳ был гауссовской случайной величиной, |
|
N (0, а2), |
не зависящей от винеровского процесса Wt, |
0, то |
тогда согласно (12.34) и (12.35) условное математическое ожи дание mt = М (Ѳ, I &~)) и условная дисперсия у,=М \{üt — mt)2 \ 3~Ц
задавались бы формулами
t
mt = |
Y< [ |
Іщ М у |
- |
Л (5, I) ds], |
|
I |
Г A1(s. I) |
|||
a : + |
J BMTT) |
|||||||||
|
О |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.143) |
|
которые |
следуют из уравнений |
|
|
|
|
|||||
dm t = |
ytA{ (*,£) |
— (До (<, I) + |
Ai {t, &) mt) dt], |
m0 = 0, |
(17.144) |
|||||
дг^■g) |
||||||||||
|
|
|
. __ |
ytA\(t, i) |
_ |
|
|
(17.145) |
||
|
|
|
V/ |
B2(t,%) » |
Yo a - |
|
||||
( |
|
|
|
Г |
(s, |
я ) |
0, x<=C, |
оценка mt, |
||
|
|
|
о |
Bl ^ |
1 ds > |
|||||
Заметим, что при a2 = |
o o и J |
|||||||||
определяемая формулой (17.143), превращается в оценку макси мального правдоподобия для параметра Ѳ.|
В том случае, когда о вероятностной |
природе параметра Ѳ |
|||
ничего не известно, естественно задаться |
вопросом о том, а не |
|||
будет ли оценка m“, |
0, |
определяемая |
из уравнения |
|
йтЧ = А ^ , 1)УіВ~2(і, |
Ю t e |
- U 0( a ) + A(*, l)m f)d t\, |
(17.146) |
|
где 0 < а 2^ оо , сходиться |
в каком-либо |
подходящем |
смысле |
|
кистинному значению параметра Ѳ. Из (17.143) следует, что
|
mat — Ѳ= уt |
|
A\ (s, g) |
dWs). |
|
|
|
|
|
в (s, l) |
|
|
|
Поэтому в силу предположения 3) |
|
|
|
|||
lim Im“ — ѲIО lim |
A\ (s, g) |
dWs |
f |
A9i(s, I) |
ds. (17.147) |
|
t-* oo1 |
1 t-> oo |
в (S, l ) |
|
J |
B2(s, I) |
|
Но из леммы 17.4 следует, что верхний предел в правой части (17.147) равен нулю Рѳ-п. н. для любого Ѳ. Следовательно, если истинное значение неизвестного параметра равно Ѳ, то Рѳ-п. н,
682 |
о ц е н к а п а р а м е т р о в |
и р а з л и ч е н и е г и п о т е з |
[ГЛ . 17 |
|
т “-»Ѳ, |
t - > оо, где процесс |
m“, |
0, определяется |
уравне |
нием (17.146), являющимся типичным примером уравнений, определяющих алгорйтм стохастической аппроксимации..
Интересен вопрос о том, насколько «быстро» процесс m“, 0, сходится к оцениваемому значению Ѳ. Поскольку т “—»-Ѳ с Рѳ-вероятностью единица, то для Рѳ-почти всех со и е > О
найдется (наименьший) момент те (со; а) такой, что | mf — Ѳ|г^е при всех / ^ т е(ш; а). (Заметим, что момент т = те (со; а) не яв
ляется марковским.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем |
математическое |
ожидание Мѳте(со;а) |
времени |
||||||||
тЕ(со; а), необходимого |
для |
оценки |
неизвестного параметра |
||||||||
с точностью до е, ограничиваясь случаем Л0 = |
О, |
Л, == 1, В == 1, |
|||||||||
а — оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, пусть наблюдаемый процесс %t, |
0, имеет диф |
||||||||||
ференциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d \t = |
В dt |
dW t. |
|
|
|
(17.148) |
|||
Для простоты записи будем обозначать m t = |
m°°t, тЕ(со) — |
те (со; о о ) . |
|||||||||
В рассматриваемом |
случае уравнение |
стохастической |
аппрок |
||||||||
симации (17.146) принимает следующий вид: |
|
|
|
||||||||
|
|
dm t — Y { d lt~ n it d t } . |
|
|
|
(17.149) |
|||||
Поскольку решение этого уравнения |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
т |
т |
= |
ѳ + п г |
|
|
|
|
||
то |
|
|
|
|
|
|
|||||
те(со) = inf1 |
|
Ѳ, <е, s>^}. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
17.9. Для любого |
|
— о о < Ѳ< |
о о , |
|
||||||
Рѳ{т е(со )< р } = |
Р{ |
sup |
\Wt\<y~Z) |
|
|||||||
и |
с |
ь J |
o ^ t < 1 1 |
r |
|
J |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М Ѳт е (и ) |
= |
7 2 . |
|
|
|
|
|
|
где с — некоторая константа, |
0 < с < о о . |
|
|
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Воспользуемся |
тем |
фактом, |
что ка |
|||||||
ждый из процессов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wt |
W Ui, |
t > |
О, |
w**(t) = y d wm, |
d > 0, |
||||||
О, |
t = |
0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 7] |
СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ |
683 |
|
||
|
|
является процессом броуновского движения (см. п |
4 в U |
гл П |
||||||||
Тогда*) |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
’ ’ |
(со)< - = |
- р { і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
е2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р г{; |
/е, |
|
|
|
WW < /е, t > ± } = |
|||||
= рР{ { Wi,t| ^ |1<8, / > ^ } |
= |
р { |
| г ^ < |
е, О < s < |
- J } |
= |
||||
|
|
= Р ( | ^ . е/^ |
| < |
е>0 < / < |
1 }== |
|
|
|||
|
= p{£Z|r,.№| |
|
о</< і} = |
|
||||||
|
=Р { | ^ | < ] / Т . 0 < / < |
1 } = |
Р{0 sup j |
r (| < |
|
|||||
Хорошо известно**), что |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р{ sup |
IWt \ < V x } = |
оо |
( - I f |
|
VH |
—7) (у —2kV X) |
||||
У |
|
J_e |
||||||||
0<f<l |
|
|
fe ä s — ОО |
|
Ѵ~2п |
‘ |
|
d y- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17,150) |
Таким образом, |
ряд в |
правой части (17.150) |
задает распреде |
|||||||
ление вероятностей для случайной величины е2т£ (со). Поскольку
|
|
|
Рѳ (в2те (ю) ^ |
— |
Р { sup |
W] ^ |
X} |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о < г < |
1 |
|
|
|
|
и в силу (3.8) М |
sup |
|
И72^ 4 , |
то |
Мѳе2те (со)<оо |
|
и, следова- |
|||||||
|
|
|
(и) —kс=/е2, |
|
|
|
Vx |
|
|
|
|
|
|
|
тельно, МеТЕ |
|
где константа |
|
|
|
|
|
|||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
ѵт |
|
|
|
|
|
|
*) |
1 |
1 |
по |
|
|
|
' л |
e ~ 2 (y -2kVX)2 dy |
dx < |
oo. |
||||
V 2л |
V |
|
( - 1 ) ' |
{ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
—ОО |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(at ^ a , t > s} |
означает |
событие, |
состоящее в |
том, |
что a t ^ a |
для |
|||||||
всех t > s. |
|
|
|
|
стр. 173. |
|
|
|
|
|
|
|
||
**) |
См., например, [145], |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ПРИМЕЧАНИЯ
Глава 1
§I. Аксиоматика теории вероятностей изложена в работе Колмогорова
[86].Доказательства приводимых теорем 1.1—1.5 можно найти во многих
руководствах. См., например, монографии Дуба [46], Лоэва [120], Колмого рова и Фомина [89], Мейера [126]. Теорема 1.6 доказана в статье [11]. При водимая формулировка леммы Фату (теорема 1.2) содержится в [160]. Дока
зательство критерия |
равномерной |
интегрируемости Валле-Пуссена (теоре |
ма 1.8) см. в [126]. |
об измеримых, |
прогрессивно измеримых, стохастически |
§ 2. Подробнее |
эквивалентных процессах см. [126]. Стационарным процессам посвящены книги Розанова [139], Крамера и Лидбеттера [91], известная статья Яглома [172]. Современной теории марковских процессов посвящены монографии Дынкина [47], Блюменталя и Гетура [12]. В книге Прохорова и Розанова [135] читатель найдет основные факты теории стационарных и марковских процессов.
§3. Свойства марковских моментов мы излагаем, следуя Мейеру [126], Блюменталю и Гетуру [12], Ширяеву [169].
§4. Исчерпывающие сведения о процессе броуновского движения содер жатся в книгах Леви [100], Ито и Маккина [61], Дуба [46], Гихмана и Ско рохода [34], [36].
§5. Подробнее об использованных понятиях математической статистики см. книги Линника [106], Крамера [90], Фергюсона [153].
Глава 2
§ 1—4. Теория мартингалов и полумартингалов для случая дискретного времени изложена у Дуба [46], Мейера [126], Невё [130], Гихмана и Скоро хода [37].
|
|
Глава 3 |
§ |
1, |
2. См. также Мейер [126], Дуб [46]. |
§ |
3, |
4. Доказательство разложения Дуба — Мейера заимствовано из |
статьи Рао [137] (см. также Мейер [126]).
Глава 4
§ 1. Доказательство теоремы .Леви о том, что всякий винеровский про цесс является процессом броуновского движения, есть у Дуба [46]. Мы при водим другое доказательство. Хотя специалистам и известен результат о не
прерывности (пополненных) о-алгебр |
,порожденных значениями винеров- |
ского процесса Wa, s t, доказательство этого результата (теорема 4.3) при водится, по-видимому, впервые.
ПРИМЕЧАНИЯ |
685 |
§ 2. Построение стохастических интегралов по винеровскому процессу от |
|
разных классов функций восходит к Винеру [20] и |
Ито [59].' Конструкцию |
и свойства стохастических интегралов можно найти в недавних книгах Гих-
мана и Скорохода [34], [36]. Интегралы Гі([) |
вводятся впервые. Лемма 4.9 |
|
получена Ершовым [52]. |
|
|
§ 3. Формула замены |
переменных Ито (см. [34], [36], [47], [60]) играет |
|
в теории стохастических |
дифференциальных |
уравнений фундаментальную |
роль. |
|
|
§ 4. В стохастических дифференциальных уравнениях следует существен но различать понятия сильных и слабых решений. Слабые решения рассмат ривались Скороходом [144], Ершовым [52], [53], Ширяевым [166], Липцером и Ширяевым [111], Ямада и Ватанабе [174]. Существование и единственность сильных решений при интегральном условии Липшица (4.110) доказана Ито и Нисио [62]. Утверждение теоремы 4.7 содержится в статье Каллианпура и Стрибел [74]. Мы приводим иное доказательство.
Глава 5 |
|
|
|
§ 1, 2. По поводу доказательств теорем 5.1—5.4 |
см. |
также книгу |
Мейе |
ра [126], статьи Куниты и Ватанабе [95] и Вентцеля |
[18]. |
Теорема 5.5 |
иным |
способом доказана Кларком [85], Доказательство теоремы 5.5 сходно с дока зательством Вентцеля [18].
§ 3. Утверждения теоремы 5.6 частично содержится у Кларка [85]. До казательство представления для гауссовских случайных величин принадлежит авторам. Теорема 5.7 доказана Кларком [85]. Утверждения типа теорем 5.8
и5.9 можно найти также у Вентцеля [18].
§4. Конструкцию стохастического интеграла по квадратично интегри руемым мартингалам мы приводим, следуя Куррежу [96].
§5. Теоремы 5.13 и 5.14 являются новыми. Теорема Фубини для стоха стических интегралов была впервые дана Каллианпуром и Стрибел [75]. Ее обобщения см, также в статье Ершова [51]. Приводимое нами доказатель ство основано на использовании результата теоремы 5.14.
§ 6. Структура функционалов от процессов диффузионного типа в слу чае bt{і) s= 1 изучалась в работе Фуджисаки, Каллианпура и Кунита [156].
Общий |
случай |
рассматривается впервые. |
Доказательство |
непрерывности |
||
o-алгебр |
(теорема 5.19) также дается |
впервые |
Теорема |
5.21 является |
||
новой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 6 |
|
|
|
§ |
1. |
Результаты этого параграфа принадлежат авторам. |
множителя Ѵз |
|||
§ |
2. |
Теорема |
6.1 доказана Новиковым |
[133]. С |
заменой |
|
на 1 + s и Ѵ2 + е эта теорема была доказана соответственно Гихманом и Скороходом [36], Липцером и Ширяевым [118].
§ 3. Теорема 6.2 обобщает важный результат Гирсанова [31], сформули рованный в теореме 6.3.
Глава 7
§ 1, 2. Некоторые общие вопросы абсолютной непрерывности мер в функ циональных пространствах содержатся в статье Гихмана и Скорохода [35]. Абсолютная непрерывность винеровской меры при различных преобразова ниях изучалась Камероном и Мартином [80], [81], Прохоровым [134].
Результаты этих параграфов получены Ершовым [53], Липцером и Ши ряевым [118], Кадота и Шеппом [66].
