Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 349

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6]

 

 

П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О Е

Р А З Л И Ч Е Н И Е

Г И П О Т Е З

 

677

Непосредственный подсчет показывает, что

 

 

 

 

 

 

ы ,) = 2 { ( ^

0 і А=Д!

+

л -

(17.131)

 

 

 

 

 

 

 

ев - е А

 

 

 

Л — x j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gl (*) =

2 { —

- Р

{ВА

Л) - В +

А-}.

(17.132)

С учетом (17.124)

и (17.119) отсюда находим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

~

ёоФ) = 2со (ß,

а),

 

 

 

 

(17.133)

 

 

 

 

 

 

 

§і (0) == 2ю (а,

ß).

 

 

 

 

(17.134)

 

Пусть верна гипотеза Н 0 и ап (H7)=inf

 

1:

 

tn s2 (W) ds ^

n | ,

n —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ито к g0(Kt (W)),

полу­

чаем1,2,

...

Тогда,

применяя формулу

 

1 J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t(W)han m

 

 

 

 

 

 

 

 

go (M m ao„w m

 

=

g0 (0) +

J

g' {Kt (W ))m t (W) d W ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IW AOjdP)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ту

 

J

 

W

Щ

-

S" (h W )] m) (W) dt =

 

 

=

 

 

'

’ ' ' ' П

'

) m

t { W ) d W t +

 

 

 

 

 

go(0)+

 

fJ? { \ m

 

 

tn2 (W) dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.135)

 

 

 

t(W)AOn (W)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку M

о

g' (Kt (W)) Щ (W) d W t =

0, то, усредняя обе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

части (17.135),

подходим к равенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t т л

оп т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

/

m U W )dt = - g

ü(0 )-\-M g Q(Kxm A O n m (W)).

(17.136)

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

678 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17

Переходя в (17.136)

к пределу, получаем требуемое равенство

Аналогично

UW)

 

 

 

 

 

 

(0) = 2(o(ß, a).

 

J

nit (W) dt —

— go

 

 

 

М

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доказывается

 

и равенство

 

 

 

Лемма

 

Mi J

т\

(I)

dt

= gi (0) = 2co(a,ß).

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е мы

17.8. Пусть Д = А (т, б) —

некоторый план, принадлежащий классу Да,

р. Обозначим рх, |

и ц х ^сужения

мер

 

и n w,

 

отвечающих процессу g с диф­

ференциалом (17.110) и винеровскому процессу W, на а-алгебру

Тогда в силу условий (17.112) — (17.114)

и предположения

(17.121)

из теоремы

 

7.10

находим, что

? ~ ц х w,

 

и

 

 

 

 

X ( W )

 

 

 

 

X

( W )

 

 

 

 

 

 

о

ms ( W ) d W s ~ j

m2s(W )ds

(17.137)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ms ( l) d ls + j j

Г\Ъ'

m l(l)d s .

(17.138)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

о

 

 

Отсюда следует:

о

о

(17.140)

о

§ 6]

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ

679

 

 

Используя неравенство йенсена, получаем

 

Т(|)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М,

[

 

 

 

- “ ’ • Е ■ (,,!) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d\i х ,

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

— М, ln d^ x’ w (■*, t ) ■

 

M,

М,

1

п

 

^ ( т , 5 )

6(б)

 

>

 

 

 

 

 

 

d\i т,

 

 

 

 

d\i t, 5

 

 

 

 

 

 

 

 

> - M , |

ln M,

w (т, І)

Ö(l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d\*x .

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

ö(i)=1

 

 

 

 

 

=

— P,{ö(g)== 1}1п M, dVx, I

(t

,

t )

 

 

 

 

 

~

Pi {ö (i) =

0} ln Mj

dV-x, w

(T,

l )

6(i)=o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d\i t.

I

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d\x X.

w

(t*6)

 

 

 

- P

1 {

6 ( l ) =

 

Р ,{ 6

( | ) = 1 ) М,

 

 

 

 

 

l } l n -

 

 

 

 

[

<

8

 

1

 

 

 

 

 

 

M ö

 

 

 

 

 

 

 

 

б(Ю =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P.{6 (!) = !}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РI . (Ö (1) = 0} М,

^ ( Ч W

 

 

ö ( i ) =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o|

 

 

(17.141)

-P1{ö(I) =

0}ln

 

 

 

P,{6 (£) = 0}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим теперь, что в силу

эквивалентности р.т

. ~

\ix

 

w для

Р0{ б0,Ш1= 0

=

Р { б ( Г ) = /} =

dflx,

w

 

 

Ч

г ■(*>

Ю =

 

 

 

 

i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м і5с{б(, )==гГ^

т' w

 

 

 

 

 

 

 

 

Mi I K{ö(|) = i} м

 

d\iXt г

(T,

l )

 

б (i) =

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р 1| б ( і) =

а м

1

dPx, V

( т ,

i )

6(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dVX

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что неравенство (17.141) может быть пре­

образовано

таким

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч

 

KS)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f M . J т ) (£) d t > -

Р, {б (1) =

1} In

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

- P ,{ a ( 6 ) = 0 } i n - ^ g § £ f ^

 

 

 

 

 

=

р> №

■ ■ - 1 } : Ш

&

Т

+

Р,-{ « ' = '°}1n £ f § Ë

f - >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tji)

 

 

 

 

 

 

X

1— а) ln

 

 

+

а ln

 

 

 

М, j

m )(l)d t,

где последнее равенство вытекает из леммы 17.9,

680 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17

Аналогично доказывается

и неравенство

 

 

 

 

т(£)

т|£>

^

0,ОО

M0J

т ? ( | ) Л > М 0 |

m ](l)d t.

о

 

о

 

 

 

J

 

С л е д с т в и е . Пусть Ѳг =

5(Т),

где s(t), t

 

 

— детерми-

t

 

 

 

 

 

s2(f)d t= o о

нированная дифференцируемая функция такая, что

о

и s ( t) s '( t) ^ 0 . (Из этих предположений следует,

что функция

Ф(/) = J s2 (и) du является выпуклой книзу, Ф (0) =

0, Ф(<х>) = оо.)

о

Пусть а, ß — заданные числа, 0<cc + ß<l, и Да> р— рассмот­ ренный выше класс последовательных планов. Обозначим Ат =

= (Т, 0т) план, принадлежащий классу Да, р и имеющий фиксиро­ ванную длительность наблюдения, равную Т , 0 < Г < ° о . (Приме­ ром такого плана является тест Неймана—Пирсона.) Тогда

оптимальный план Д = (т, б ) е Д а р имеет М0т ^ 7 \

ІУ^т^Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t <S>

 

 

 

В самом деле,

по доказанной теореме Мг J

s2 (/) dt sSCФ (Т),

і = 0,1,

откуда

 

по неравенству

 

 

о

М,Ф (т (£)) ^

 

йенсена Ф (Т)

^ Ф (Мгт (£)), и,

следовательно, 7'^М гт(|),

і —

0, 1.

 

 

 

§ 7. Некоторые применения к стохастической

 

 

 

 

 

 

аппроксимации

 

 

 

 

 

Пусть Ѳ— неизвестный параметр,

— оо < Ѳ< с»,

подлежа­

щий оцениванию по наблюдениям за

процессом £ =

(£,),

t ^ 0 ,

с дифференциалом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d lt =

[A a(t, І) +

A x(t, l)S ]d t +

B (t,

l)d W t,

Io =

0 .

( 1 7 . 1 4 2 )

Неупреждающие функционалы A0 (t, x), А, (t,

x),

В (t, x),

задан­

ные на [0, оо) X С,

где С — пространство непрерывных

функ­

ций x —

(xt),

 

0,

предполагаются такими,

что

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

о

[Ао (t, х) +

А?(t, х) -f

В2(t,

x)]d t < оо,

Т < оо,

X еС ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 )

B 2 (t, x ) ^

 

>

0 , t < o o ,

x e C

;

 

 

 

 

 

 

 

Jсо

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

f

âl¥^Ldt=*°o, х е С ;

 

 

 

 

 

 

 

 

J

В*(t, X)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 )

для B (i,x )

выполнены условия ( 4 . 1 1 0 ) ,

( 4 . 1 1 1 ) ,

 

 

Смотрите также файлы