Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 195

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

16

ВВЕДЕНИЕ

 

Чтобы вывести из (28) уравнение для

у(,

возьмем

ht =

Q2.

Тогда из первого уравнения системы (12)

по

формуле

замены

переменных Ито (теорема 4.4)

получаем

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Ѳ2== Ѳц + J

as(®) ds +

xt,

 

(34)

о

 

 

 

 

 

 

где

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

as(co) = 2a(s)02 + b2(s)

и xt =

j

2b(s)Bs dwl(s).

 

 

 

о

 

 

 

 

Поэтому согласно (28)

 

 

 

 

 

 

dnt(Ѳ2) = [2a(t) яДѲ2)+ b2(t)\ dt Ar А (t) [nt(Ѳ3) — nt(0) яД Ѳ2)] dwt.

(35)

Из (32) и (35) видно, что при использовании основного уравнения фильтрации (28) мы сталкиваемся с той трудностью, что для нахождения условных младших моментов требуется знание старших моментов. Так, при отыскании уравнений для яДѲ2) требуется знание третьего апостериорного момента яДѲ3) = М (Ѳ ]|^|). В рассматриваемом случае эта трудность

легко преодолевается, поскольку в силу гауссовости процесса

(Ѳ, I) моменты я* (Ѳ'г) =

М (Ѳ" |

) для всех д ^ З выражаются

через я/ (Ѳ)

и

яДѲ2).

В

частности,

лДѲ3) — nt (Ѳ) яДѲ2) =

= М [6f(0t — >nt)\@~}] =

2 т гу;,

и, значит,

 

 

dnt (Ѳ2) =

[2а (t) яДѲ2) +

b2 (/)] dt +

2Л (t) mtyt dwt.

(36)

По формуле замены

переменных Ито

из (33) находим, что

dm2 =

2mt [a (t) m t dt +

А (t) уtm t dw^ + A2{t) y2(t) dt.

 

Вместе с уравнением (36) это соотношение дает искомое урав­ нение (18) для У; = яДѲ2) — т2.

Описанный вывод уравнений (17), (18) поучителен в том смысле, что из него видно, что для получения замкнутой си­ стемы уравнений, определяющих оптимальную фильтрацию, надо привлекать дополнительные сведения о соотношениях между старшими условными моментами.

В настоящей книге существенное внимание уделяется так называемым условно-гауссовским процессам (0, £), для которых оказалось возможным получить замкнутую систему уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Тем самым выделен широкий класс случайных процессов (включающий в себя про­ цессы, описываемые схемой Калмана — Бьюси), для которых удается эффективным образом решить задачу построения опти-

ВВЕДЕНИЕ

17

мального нелинейного фильтра. Этот класс процессов (Ѳ, £) описывается следующим образом.

Предположим, что процесс (Ѳ, £) является процессом диф­ фузионного типа с дифференциалом

dBt =

[a0{t,

 

 

l)Qt]dt + b^t,

Qdwx(t) + b2{t, l)dw2{t),

 

dh =

[A0(t, Z ) + M t,

l)Qt] d t+ B {{t,

i)d Wl(t) + B2(t, l)dw2{t),

(37)

где каждый

из

функционалов

a0(t, g), . . . ,

B2(t,

g)

является

^-измеримым

для

всякого

0

(ср. с системой

(10)).

Под­

черкнем, что

ненаблюдаемая компонента Ѳ, входит в (37) ли­

нейно, тогда

как

наблюдаемый

процесс

g может

входить

в коэффициенты любым («^-измеримым») образом. Входящие

в (37) винеровские процессы wl — (wi(t))>w2 = (w2{t)),

0, и

случайный вектор (Ѳ0, g0) предполагаются независимыми.

 

Будет доказано (теорема 11.1), что если условное распре­

деление P(90< !x |g 0)

(для почти

всех g0) является гауссовским,

N (m 0, Yo). где т0=

М (Ѳ01g0),

Уо = М [(Ѳ0 — m2f \ g0], то

про­

цесс (Ѳ, g), управляемый системой (37), будет условно-гауссов­

ским

в том

смысле, что при каждом

 

0

условные

распре­

деления р

 

< х 0, . . . ,

xk j ё г \у

0 <Д0<

<

...

< t k ^ k ,

являются

гауссовскими.

Поэтому, в частности,

распределение

Р (Ѳг ^

XI

 

также (почти наверное)

является

гауссовским,

N(mv

у*),

с параметрами т <= М(Ѳ^|5г |), yt =

М[(0f — mt)2\@~)]-

Для условно-гауссовского случая

 

(как и в схемах Кал-

мана — Бьюси) старшие моменты М(Ѳ” |«9~<)

выражаются через

tnt, yt. Это

и позволяет

(из основного

уравнения фильтрации)

получить для mt и yt

замкнутую

систему уравнений

(тео­

рема

12.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

dmt =

[аа (t,

I) + а, (t, g) mt] dt +

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S Ь І V ' l ) В І V ' £) + YД (6 l )

 

 

 

 

 

 

+ —----------2--------------------- [dlt - ( A 0(t,

D + ДД/,

l)m t)dt],

(38)

l )

i—1

2

Y/ = 2ai(t, £)Y; + ^ b\{t, i) i=I

2

12

y l bi (t, i)Bi (t, g) + v A (t, l)

i=1 ____________________ _ • (39)

i)

(=1

Заметим, что, в отличие от (18), уравнение (39) для yt является уравнением со случайными коэффициентами, зави­ сящими от наблюдаемых данных.

18

ВВЕДЕНИЕ

Оптимальной

линейной фильтрации (в схеме (12)) и опти­

мальной нелинейной фильтрации для условно-гауссовских про­ цессов (в схеме (37)) посвящены главы 10, 11 и 12. Здесь же, помимо фильтрации, изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции.

4. Приведенные примеры и результаты, вошедшие в главы

8—12, показывают, что в книге существенно используются такие понятия теории случайных процессов, как винеровский процесс, стохастические дифференциальные уравнения, мартин­ галы, квадратично интегрируемые мартингалы и т. п. Стрем­ ление авторов давать полные доказательства всех приводимых результатов теории нелинейной фильтрации привело к необхо­ димости довольно подробно изложить теорию мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений (главы 2—6). Мы надеемся, что материал этих глав может оказаться по­ лезным и для тех читателей, которые просто пожелают озна­ комиться с результатами теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений.

Вместе с тем мы хотим еще раз подчеркнуть, что без этого материала не представляется возможным дать сколько-нибудь удовлетворительное изложение теории оптимальной нелинейной фильтрации и смежных с ней вопросов.

В седьмой

главе излагаются существенно используемые

в дальнейшем

результаты об абсолютной непрерывности мер,

отвечающих процессам Ито и процессам диффузионного типа. В главах 15—17 даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов.

Здесь подробно рассмотрены задачи линейного оценивания (гл. 15), даются применения к некоторым задачам управления, теории информации (гл. 16). В гл. 17 даны применения к не­ байесовским задачам статистики (оценки максимального правдо­ подобия для коэффициентов линейной регрессии, последова­ тельное оценивание и последовательное различение статисти­ ческих гипотез).

Дополнительное представление об излагаемом в книге ма­ териале читатель может почерпнуть из приведенного выше

оглавления

и примечаний,

помещенных в конце книги. В при­

мечаниях указаны также

источники

излагаемых результатов.

В заключение авторы хотели бы выразить благодарность и

признательность коллегам

и друзьям за помощь и советы.

Особо нам

хочется поблагодарить

Р. 3. Хасьминского и

М. П. Ершова. Ознакомившись с рукописью книги, они сделали ряд существенных замечаний, которые мы постарались учесть.

Г Л А В А 1

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§1. Основные понятия теории вероятностей

1.Вероятностное пространство. Согласно аксиоматике Колмо­ горова первоначальным объектом теории вероятностей является

вероятностное пространство (£2, 3F, Р). Здесь (Q, З2“)—измеримое пространство, т. е. множество Q, состоящее из элементарных событий со, с выделенной на нем системой ЗГ его подмножеств (событий), образующих ст-алгебру, а Р — вероятностная мера (вероятность), определенная на множествах из SF.

Напомним, что система £Г_подмножеств пространства Q

образует алгебру, если Q

e f ,

<4 =

Q \

и A\JB ^ З Г

для

любых

S e

J .

Алгебра ST образует о-алгебру,

если

вместе

с каждой последовательностью

множеств Аи А2,

. .. ,

принадлежащих 3F,

 

со

 

3F.

 

 

сумма (J

Лг е

Функция Р(Л), опреде­

ленная на множествах А из сг-алгебры ЗГ, называется вероят­

ностной мерой,

если

она

обладает следующими

свойствами:

 

Р ( А ) ^ 0 , Л е ^ " (неотрицательность);

 

 

 

 

P (Q )= 1

 

(нормированность);

 

 

 

 

Р

 

Р (Л г)

(счетная, или а-аддитивность),

 

где

Аі ^ - Т ,

Аі С\ Af =

0 ,

іф '},

0 — пустое

множество.

 

Система множеств 3FP называется пополнением а-алгебры ЗГ

по мере Р, если ЗГР принадлежат все те

множества А s

Q,

для

которых

 

найдутся

такие

множества

Л,, Л2 е

3F,

что

А і < = А ^ А 2

и

Р (Л2 \

Л,) = 0 .

Система множеств З Г Р является

а-алгеброй, и мера

Р

однозначно продолжается на мно­

жества из @~р. Вероятностное

пространство (Q,

, Р) назы­

вается полным, если

&~р совпадает с

Согласно

общему

Смотрите также файлы