Файл: Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf

< p ' < R e Q < 1, arc —

— при 0 > у > — H (Q =W ) .

dz

(знак

тильда

над безразмерными переменными в (1.43)

для

простоты опущен).

В

плоскости сопряженного комплексного потенциала Q об­

ласть

течения

представляется

полуполо­

сой (рис. 17), я[) = 0, ф = 1 и ф = 0.

В силу симметрии

рассматривается

в

только

правая

половина

области

Д

(см.

рис. 11). При этом

часть

свободной по-

г

\

верхности

AB

переходит

в

луч

Л ( о о ) 5 ( ф = 0 ) ,

неизвестная граница об­

ласти— в отрезок действительной оси Be,

вертикальная

линия

тока

еО — в

отрезок

's

действительной

оси

еО и

правая

часть

/

заряда OA — в луч OA (оо).

/

следую­

г/

г

Будем

искать в этой области

/

щую функцию:

/г

/

In —

/(Q);

(1.100)

/

а(*

dz

/

In dQ

Рис.

17.

Область течения

R e / ( « )

dz

при

взрыве

горизонталь­

dQ

ного

плоского заряда ко­

Imf (Q)

(1.101)

нечной ширины

arg —

dz

Для

функции

/(Q) на

границах

полуполосы

выполняются

следующие граничные условия:

Im [(О) = ~y при Ф

0.

Im / (Q) =

— при ф' <

ф <

1 ;

Im/(Q) = — -J-

при ф = 1,

(1.102)

Re / (Q) = In

dQ

=

In С при яр =

0.

dz

При

помощи конформного

отображения

£ = s e c n №

преобра­

зуем

полосу в полуплоскость т)>-0 со следующим

соответствием

точек

(рис. 18): W = 0 переходит

в £ = 1 , W= 1 — в £ = — 1, точ­

ка W=cp'

переходит в точку £ ' = — А = —secncp, причем

граница

воронки -ф=0 перейдет во внешность отрезка

[—А, 1], свобод­

ная

поверхность

ф = 0 — в

отрезок

(0,1),

поверхность

заряда

Ф = 1 — в отрезок

действительной

оси

(—1,0),

а

вертикальная

линия тока — в отрезок [—А, — 1 ] .

Принимая вместо f(W)

F(W)=i[f(W)-±-i-lnC

(1.103)

приходим к следующей задаче:

найти аналитическую в верхней

полуплоскости функцию F[W(t,)]

= Ф(£), действительная и мнн-

/ — граница воронки; 2 — вертикальная

линия тока; 3 — поверхность заряда; 4 — сво­

бодная

поверхность

Im Ф (£) = 0

при — оо <

I < -

Д,]

(1.104)

Re<D(£) = 0 при —- А <

£ <

0;

Re Ф (С) = я при 0 < £ <

1,

Im Ф (£) = 0 при 1 < Ç <

+

оо.

Эта задача

решается по формуле Келдыша — Седова,

кото­

рая в данном

случае принимает следующий вид:

( D ( ö = , - L _

[Шdt

+ Ф (со)

(1.105)

g (С)

где

У

4 0 =

£ - 1

(1.105а)

Постоянная Ф(со) определяется из условия

ImФ(£) = ReФ(Ç) = 0 в точке.£ = — Д.

(1.106)

Вычислим интеграл

t — \

+

д

t- 1 = ( / + Д)и8 ;

* — tu- = Au- + 1

;

_

Att=»+ 1

~

I - И » '

ф Ю д П п И І Ш + ^ ~ С .

(1.108)

л/~cos я № + — + V^cos я Г — 1

/ ( Щ = Ы С

У

.

(1.109)

"^cos

л\Ѵ + -^- — Kcos л Г — 1

Пользуясь

(1.103), получаем:

jr/'cos„ .Vя I.УF— 1 +

1|^/"cocos ля №+ —

w

^

= - C i

V

(1.110)

dz

v

Kcos л V7— 1 — J/^cos л\Ѵ+ -^-

Проинтегрируем

это

выражение;

разделяя

переменные, по­

лучим:

* =

2

^ - . ^ + ± ^ L W + 4 [ / Т д

(V 2 g » - d ? * ,

(Д + 1)

яС

С Д + 1

яС(Д + І)

J

v

'

где временно введены следующие обозначения:

; = cos— W,

2

а-

1 А — 1

2

Д

Воспользовавшись известным

интегралом

f Vi^^dt

= 'У*-**

_ SL in (/ +

І / ^ З Г ^ ) ,

\)

2

2

получим:

2Ді

sinnig

. i

A — 1 iv7 , 2Д

1

2 =

.

•

w -\

.

X

Д + 1 nC

С Д + 1

A + 1 лС

X VcosnW+

1 | /

cosnW+

- i -

2 Д — 1 ,tn (^y/'cosnW+-L+\.

cosnW+l^J+K,

(1.111)

лС Д + 1

где

/С — постоянная интегрирования,

определяемая

из

условий

на

краю заряда W ~> оо

п р и г - > 1 .

Отсюда

К = 1 + —

^-—!-1п2

- .

(1.112)

лС

Д +

1

яС

Неизвестный параметр Д = —эесф'

определяется

из

условия

W=\ при 2 = 0 , которое с учетом

(1.112) дает

яС =

1 +

— - I n — - .

(1.113)

Д +

1

2Д

4

'

откуда

х(Д) =

.

(1.114)

ѵ '

А — 1

Д — 1

' Д + 1

in

2Д

На рнс. 19 представлен

график зависимости х=к(А),

состоя­

растающую функцию. Если ф' уменьшается от 1 до

' / 2 , то сере­

дина дна воронки,

т. е. точка g

(см. рис. 11), опускается от

точки 0 до некоторой средней точки

при этом параметр и воз­

растает от 2 до некоторого предельного

значения

И п о ( ° ° ) =

=

= — ^ 6 , 4 ,

(1.115)

п р Ѵ ;

1 — In 2

1 —0,693

0,31

v

4—50

49