Файл: Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
где Q — величина, комплексно сопряженная по отношению к
комплексному потенциалу Q=W.
В плоскости комплексного потенциала ÇÏ = u-\-iv область те чения занимает бесконечную вертикальную полосу шириной Im (рис. 7).
Будем искать в этой области
/
г
'Л
,dQ
In
dz
Re/(Q) = In dQ I у - d
— , Im/(Q) = arg dz I
J?=U *IV
V,'j»f(sï)=o
У
'/
(1.48)
Q
—
dz
7
Рис. 7. Область течения для бесконеч ной вертикальной полосы
Рис. 8. Отображение точек на ниж нюю полосу
Л = Л Х « - %
77777777777?77777777777777777777Я7777777777777Ъ
Для функции /(Q) на границах полосы выполняются следу ющие граничные условия:
Im / (Q) = — при |
Ф = О, |
|
||
|
|
2 |
|
(І.48а) |
Im/(Q) |
= 0 при |
ф = I . J |
|
|
Функция h(Q)=emP~ |
переводит |
данную полосу в |
верхнюю |
|
полуплоскость, причем |
Q = |
0 переходит в A = l , Q = l — в |
Іі = — I |
|
(рис. 8), и на положительной полуоси lmf(Q) — ~ , а на отри-
26
цательной I m / ( Q ) = 0 . Наконец, при помощи дробно-линейного преобразования переводим верхнюю полуплоскость снова в
верхнюю полуплоскость, но с нужным |
соответствием точек |
(рис. 9): |
|
^ = т т \ и л и |
( L 4 9 ) |
Вводя вместо f(Q) функцию |
|
F (Q) =—if |
(1.50) |
приходим к следующей задаче: найти аналитическую в верхней полуплоскости функцию F[Q{'Q)] = Ф ( £ ) , действительная часть
Рис. |
9. Соответствие |
точек |
ß(- оо) |
D |
2 f |
Re<P=Q |
||
при |
переходе |
отображаю |
|
|
||||
щей функции в верхнюю по |
|
|
|
|
|
|||
|
луплоскость |
|
|
|
|
|
|
|
которой на |
вещественной оси принимает |
следующие |
|
значения: |
||||
|
R e Ф ( 0 = |
0 при — о о < £ < — 1 , |
1 < £ < о о ; ] |
(1.51) |
||||
|
Re Ф (£) = |
-£- при — 1 < £ < 1 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
Теперь |
воспользуемся |
формулой Келдыша — Седова [14], |
|||||
которая сводится в данном случае |
просто к интегралу |
Шварца. |
||||||
В самом деле, мнимая часть искомой функции на действитель
ной оси равна нулю, а ее действительная |
часть отлична |
от нуля |
|||
только на отрезке от —1 до + 1 . Функция g(£,) = |
h поэтому |
||||
|
1 |
|
|
|
|
Ф (О = — |
= — I n ъ |
+ Ф(оо), |
(1.52) |
||
Так как при £ > 1 , К е Ф ( £ ) = 0 , |
то константу |
Ф(оо) |
следует |
||
|
|
|
|
— Qj и воз |
|
вращаясь к функции |
f(й),получим: |
|
|
|
|
|
і ig ( — Q ) — 1 |
|
|
||
/ ( Q ) = - L l n |
ï—L |
. |
|
(1.53) |
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
Отсюда, пользуясь |
(1.48), имеем: |
|
|
|
|
|
|
= |
іе |
|
|
27
Интегрируя это выражение, получаем решение задачи в сле дующем виде:
• П+ |
К. |
|
(1.54) |
Из условий (1.54) находим, что постоянная |
/ ( = 0 . |
Таким об |
|
разом, получаем окончательно: |
|
|
|
Q = J _ l n / _ J L 2 |
ф — |
" I ' , |
(1.55) |
tit |
|
|
|
откуда, переходя к размерным переменным, имеем:
Ф— arg 2 - f я = — arctg — H
Л |
( л |
яр |
д: |
р |
(І.55а) |
4P , |
2 |
|
|
|
|
ІП |
|
|
|
|
|
яр |
I 2 |
|
|
|
|
т. е. течение представляет собой плоский вихрь с центром в на чале координат 0. Определяем поле скоростей:
_ |
2Р |
|
1 |
( Л \ |
2Ур |
|
dx |
яр |
1 + |
( J L f |
х |
я (.ѵ= + у-) Р |
|
|
|
|
|
|
||
d<p |
|
|
|
|
2хР |
(1.56) |
|
|
|
|
|
|
Уяр(.ѵ2 + г/=) '
1+
Вчастности, на свободной поверхности скорости вылетаю щих частиц равны:dij яр
Ѵ , І І Р = О = 0, |
ѵ ^ = о |
2Р |
(1.57) |
|
лхр |
||||
|
|
|
и координата точки В', являющейся краем условного цилиндра выброса, определяется из условия:
|
D' |
(1.58) |
|
|
2 |
||
|
|
||
D' = |
4P |
(І.58а) |
|
ярС |
|||
|
|
||
На рис. 10 показаны поле скоростей, эпюра скоростей |
вылетаю |
||
щих частиц и условный цилиндр выброса при расположении
ленточного заряда перпендикулярно |
открытой поверхности |
||||
(см. рис. 2, а). |
Скорости |
вылетающих |
частиц меняются |
по ги |
|
перболическому |
закону. |
|
|
|
|
Абсолютная величина |
скорости в произвольной точке |
|
|||
|
|
V = |
2Р |
|
|
|
|
рлг |
|
|
|
|
где г |
|
|
у , |
(1.59) |
28
также меняется по гиперболическому закону. Кинетическая энергия, заключенная в кольцевом слое толщиной dr, очевидно, равна:
dEr г = 2 шаг,
где р — плотность энергии.
Энергия, приходящаяся на полукруг радиуса г с центром в точке О, Е,- пропорциональна
и растет логарифмически, а плотность энергии убывает как
Е = -ML. ~ |
l£L f |
(1.60) |
|
|
яг- |
г2 |
|
т. е. несколько медленнее, |
чем по закону обратных квадратов |
||
В этом наиболее простом |
случае |
условный цилиндр |
выброса |
имеет форму круговой выемки (см. рис. 10). |
|
||
Рассмотрим случай, изображенный на рис. 2,6. Задача фор мулируется следующим образом. Требуется найти аналитиче
скую в нижней полуплоскости z функцию W(z), |
которая на гра |
|||||
нице области принимает следующие значения: |
|
|||||
Re W (z) = 1 при у = 0, — 1 < X < |
1; |
|||||
ReW{z) |
= 0 |
при у = 0, \х\> |
1. |
(1.61) |
||
Решение дается |
интегралом |
Шварца |
|
(1.52), который прини |
||
мает в данном случае следующий вид: |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
W ( z ) = — |
f -Л— |
= ±-ln-^î-. |
(1.62) |
|||
|
я' |
J t — z |
711 |
z -f- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отделяя действительную и мнимую части и переходя к раз мерным переменным, получим потенциал поля скоростей гр и функцию тока ар:
29
|
_ Р |
arctg |
у |
arc tg |
= |
— arctg |
2yl |
|
|
рл I |
|||||||
|
Х—1 |
|
|
|
рл |
(1.63) |
||
ар |
Р |
1 |
|
— |
In (x + 1У- + y" |
|||
|
|
|||||||
рл |
|
|
|
|||||
|
z — 1 |
|
рл |
(X |
D" + |
y- |
|
|
Отсюда находим поле скоростей: |
|
|
||||||
|
|
ѵ,. = • |
дф |
|
|
|
4.ѵ-(/ |
|
|
|
аде |
~ |
рл |
(х«-+,/-- |
г-у-+ 4уЧ°- |
(1.64) |
|
|
|
|
дф |
_ |
2Р/ (.У- — у 2 — Z2) |
|||
|
|
|
|
|||||
3tf
Рис. 11. Эпюра ско ростей вы летающих частиц при взрыве не прерывного накладного плоского за ряда
/ — эквипотен циальные ли нии; 2— линии тока: 3 — ус ловный ци линдр выбро са; V — факти ческий ци линдр выбро
са
Полагая, что у=0, находим скорости вылетающих с поверх ности частиц:
2Р1
(І.64а)
рл {х"- — z2)
т. е. закон убывания обратных квадратов. Из условия (1.58) определяем край условного цилиндра выброса (рис. 11):
|
2Р1 |
1 = С, U = 21 у |
2Р |
(1.65) |
рл |
Г/ D' г |
яр/С |
||
|
|
|
|
Семейство линий тока задается уравнением
т * 2 ' ) " + » • |
1 + а \ 2 |
— 1 1\ |
(1.66) |
1 — а / |
|
|
|
30
