Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

54 Глава 2

1.4. Диаграмма дифракционных лепестков

Диаграмма дифракционных лепестков позволяет наглядно пред­ ставить связь расположения и фазпровки элементов антенной решетки с количеством и направлениями максимумов излучения (лучей). Аппарат пространственных гармоник дает возможность более подробно изучить диаграмму дифракционных лепестков. Мы увидим, что эта диаграмма оказывается весьма удобным графи­ ческим способом исследования поведения Гт „ как функции либо управляющих фаз фЛ. и ф,„ либо направляющих косинусов Тх и Ту, и что каждый луч решетки, пли дифракционный лепесток, соот­ ветствует пространственной гармонике Флоке, которая распро­ страняется по оси z вследствие вещественности постоянной рас­ пространения Гтп.

Постоянная распространения Г„ш в направлении z (иг, ?г)-й пространственной гармоники определяется выражением

Гтп = ± V k 2 — [(2nm — фж)/й]2 — [(2лп — ф,,)/с/]2,

п поле этой гармоники затухает с удалением от раскрывов волно­

водов (z > 0).

Критические значения управляющих фаз ф* и ф„ или направ­ ляющих косинусов Тх и Ту, при которых луч решетки становится «невидимым» или направлен по касательной, определяются из условия Гтп = 0. Если

что 0mn и фтп — сферические углы направления распространения (иг, ?г)-й пространственной гармоники для управляющих фаз фд. и фи.

Соотношение (23) можно записать в виде

Это уравнение является уравнением окружности единичного радиуса в плоскости ТХТУ. Если значения Тх и Ту соответствуют точке внутри (т, п)-й окружности, то Гтп имеет вещественное значение и две пространственные гармоники с индексом пт являются излучаемыми.

Расстояния между центрами соседних окружностей (Х/b в направлении Tx uX/d в направлении Ту) могут быть меньше 2.

С п л о ш н а я о к р у ж н о с т ь е д и н и ч н о го р а д и у с а — г р а н и ц а м е ж д у д е й с т в и т е л ь ­ н ы м н м н и м ы м п р о с т р а н с т в а м и . П у н к т и р н ы е о к р у ж н о с т и — п о в т о р я ю ­ щ а я с я с т р у к т у р а д и ф р а к ц и о н н ы х л е п е с т к о в .

В этом случае два и л и больше кругов будут перекрываться, поэто­ му при некоторых значениях управляющих фаз фж= kbTx и фу = kdTy могут распространяться две волны (или более двух волн). На рис. 2.2 приведена диаграмма дифракционных лепестков для случая, когда Х/2Ъ и k/2d меньше 1. Из диаграммы видно, что при выбранных расстояниях между элементами и при некоторых значениях управляющих фаз возможно существование одного, двух лучей или ни одного.

Этот анализ позволяет непосредственно выявить некоторые свойства антенной решетки. Для направлений, по которым не рас­

пространяются пространственные гармоники, волны, приходящие по волноводам (z < 0) к раскрыву решетки (z = 0), будут пол­ ностью отражаться. Ниже показано, что импедансные характери­ стики и коэффициенты отражения всех антенных решеток имеют особенности на единичной окружности (или окружностях дифрак­ ционных лучей).

2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ФАЗИРОВАННОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ

Дадим теперь строгую формулировку граничной задачи для антенной решетки, показанной на рис. 2.1 (с произвольными волно­ водными элементами). Отправными точками при этом будут урав­ нения Максвелла, структура, представленная на рис. 2.1, и соот­ ветствующие граничные условия для электромагнитного поля [1].

При описании поля внутри волноводов вместо уравнений Максвелла и стандартных граничных условий можно воспользо­ ваться сразу полным спектром решений уравнений Максвелла для данного тнпа волноводов. При описании поля в свободном про­ странстве (z ^ 0) можно использовать разложение поля по про­ странственным гармоникам Флоке, как это сделано в разд. 1. Неизвестные коэффициенты разложений определяются из условий непрерывности тангенциальных компонент электромагнитного поля Ег и Н( при z = —оо, z = 0 и z = -foo.

Условия непрерывности полей при z = + o o n z = —оо выте­ кают из условий излучения или режима на нагрузках волноводов. Если волноводы нагружены при z = —оо на характеристические сопротивления *) (это предположение всегда справедливо для сво­ бодного пространства при z = + °о), то все гармоники разложе­ ний, кроме падающей волны, должны быть волнами, расходящи­ мися от плоскостн раздела между раскрывами волноводов и сво­ бодным пространством (z = 0). Мы предполагаем, что поле падаю­ щей волны всегда присутствует, и поэтому задачу в целом рас­ смотрим как задачу рассеяния, а поля — как результат рассеяния на границе раздела: волноводы— свободное пространство. Источ­ ник падающей волны может находиться внутри волноводов (актив­ ная передающая антенная решетка) или в области свободного пространства (пассивная приемная антенная решетка).

После того как удовлетворены условия излучения, выполнение требований непрерывности полей при z = 0 приводит к уравнени­ ям для неизвестных коэффициентов разложения по пространствен­ ным и волноводным гармоникам. За исключением небольшого

!) Без потери общности мы можем предположить, что волноводы па рис. 2.1 нагружены на характеристические сопротивления. В гл. 8 показано, что решения при других нагрузках легко получить исходя из решения при нагрузке на характеристическое сопротивление.

класса задал, решение этих уравнений не может быть получено аналитически без упрощающих предположений. Точные и при­ ближенные методы решений рассмотрены в гл. 3. Здесь мы отметим только, что применимость и эффективность большинства прибли­ женных способов вычислений обусловлены тем, что в настоящее время хорошо разработаны математические методы решения инте­ гральных уравнений. Поэтому для формулировки задачи рассея­ ния выбраны именно интегральные уравнения. Граничные условия при z — 0 представлены в виде нескольких различных по форме интегральных уравнений. Полученные интегральные^уравнения содержат и граничные условия и условия излучения.

2.1. Интегральное уравнение для электрического поля

Перейдем к выводу интегрального уравнения Фредгольма пер­ вого рода, выбрав Ег — тангенциальную компоненту электри­ ческого поля в раскрыве решетки — в качестве неизвестной функ­ ции. Будем рассматривать антенную решетку с волноводными

/ V

Рис. 2.3. Типичный элемент решеткп (а) и его продольное сече­ ние (б).

1 — п р я м о у г о л ь н ы й к о н т у р п е р и о д и ч е с к о й я ч е й к и н а п л о с к о с т и р а с к р ы в о в ; г — о т в е р с т и е в д и а ф р а г м е ; з — т о н к а я м е т а л л и ч е с к а я д и а ф р а г м а п л о ­ щ а д ь ю А — А '; 4 — с т е н к и в о л н о в о д а ; 5 — м е т а л л и ч е с к и й л и с т .

элементами (рис. 2.1). Типичный элемент решетки (произвольного поперечного сечения) может иметь вид, показанный на рис. 2.3.

Отметим', что в раскрыве волновода можно устанавливать тон­ кую поперечную металлическую диафрагму. Площадь поперечного сечения волновода обозначим через А, а часть раскрыва, остав­ шуюся открытой в присутствии диафрагмы,— через А'. В расчет можно включить и толстую металлическую диафрагму (а также и другие, более сложные конструкции). Однако задача с толстой диафрагмой приводит к системе двух связанных интегральных

если только конструкция элемента ие имеет особого значения. Однако мы можем включить в рассмотрение антенные решетки, имеющие диэлектрическое покрытие и диэлектрические вставки внутри волноводов (эта задача приводит к одному интегральному уравнению). Подробно такие конструкции рассмотрены в гл. 6.

Площадь поперечного сечения волновода А и излучающий раскрыв А' в действительности могут быть образованы нескольки­ ми волноводами, находящимися в одной периодической ячейке

(рис. 2.4)..,

Поперечную составляющую вектора напряженности электри­ ческого поля Лг = xSt Я. + yBt I/ внутри {q, s)-го волновода можно

Рис. 2.4. Составная плоская волноводная решетка с основ­ ной периодической ячейкой размером b X d.

представить с помощью ортонормированных векторных волновод­ ных волн ФР5« (р = 1 для ТЕ-волны и р = 2 для ТМ-волны) в виде суммы

где использована более простая индексация волноводных волн

и в этих случаях необходимо специальным образом определять

ся условия теоремы Флоке, то достаточно рассмотреть только поле одной ячейки с индексами q = 0 и s — 0.

Отметим, что представление поля в виде ряда (25) удовлетворя­ ет условию излучения при z = —оо. Поскольку оно должно удов­ летворять условию непрерывности при z — 0, то

Так как функции Фг- в области А поперечного сечения волновода ортонормированы, т. е.

(бгл—символ Кронекера), то коэффициенты At, Ri и vi можно выразить через искомую тангенциальную компоненту электри­ ческого поля в раскрыве следующим образом:

Если в раскрыве установлена диафрагма, то площадь интегриро­ вания уменьшается до А ' , так как компонента Е< равна 0 на ди­ афрагме А — А'.

Поперечную составляющую магнитного поля M t в волноводах можно найти либо из уравнений Максвелла, либо с помощью волновых проводимостей (см. разд. 1). Волны, распространяющие­ ся в положительном и отрицательном направлениях оси z, имеют противоположно направленные поперечные компоненты магнитно­

— 2 vnji^he^i1, (29> W +l

где уi — волновые проводимости (для ТЕ-воли г/г = у£/соpi, для ТМ-волн yt = сое/уг). Для распространяющихся воли значения у ( всегда вещественны и положительны. Для затухающих волн проводимости г/; можно найти по следующим формулам [3]:

Отметим, что выражения (30) не исключают возможности исполь­ зования е и (.1 с комплексными значениями. Например, потери в диэлектрике часто описываются комплексной диэлектрической проницаемостью. Выражения для yt при этом остаются справедли­ выми, но у, теперь имеет комплексное значение.

Для магнитного поля в раскрыве мы имеем следующее урав­

Исследуем возможность изменения в выражении (32) порядка суммирования и интегрирования. В классической математике [4] запрещается изменение порядка этих операций, так как Ег может быть неограниченной функцией. Действительно [5], нормальная к стенке волновода компонента электрического поля Е ( на ребре (при z = 0) имеет особенность (стремится к бесконечности, хотя и по-разному для двугранного угла 90° и в случае кромки полуплос­ кости). Несмотря на это, изменение порядка операций в выраже­ нии (32) возможно, если использовать понятие 5-функции или