Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 231
Скачиваний: 2
50 |
Глава 2 |
В прямоугольной системе координат компоненты электромаг нитного поля являются, как известно, решением однородного скалярного уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области
(Va+fc2)S(*, y ,z ) = 0 , |
(3) |
||
где |
52 |
52 |
|
V3 |
|
||
5.г2 |
5z2 |
|
|
|
|
||
Внутри волновода функция £ обычно представляет собой либо Ez, лпбо И z. Как правило, можно предположить, что изменение поля по осп z (в направлении распространения волны) имеет вид
Ъ(х, ij, z) = e~irzl(x, у) |
(А) |
пчто на периметре поперечного сечения волновода лпбо Ег = £ =
=0, либо dHJdn — д\1дп = 0, где п — нормаль к контуру попе речного сечеппя.
Учитывая, что возбуждение описывается выражением (1), а структура антенной решетки является периодически симметрич
ной, мы приходим к выводу, что компоненты полного поля |
под |
чиняются соотношению |
|
l(x + b, y + d, z) = l {х, у, z) |
(5) |
Аналогичное распределение полное поле должно иметь в любой поперечной плоскости z = const. Изменение же поля по оси z предполагается (по аналогии с волноводом) таким, что
l(x ,y ,z) = l(x ,y )e - iTz. |
(6) |
||
Таким образом, уравнение (3) принимает вид |
|
||
[П + (к*+ Г-)]Цх, у) = 0, |
(6а) |
||
где |
52 |
52 |
|
_ |
|
||
* |
дх2 ‘ |
ду2 ’ |
|
а функция | (х, у) подчиняется периодическим граничным усло виям (5).
Если для решения уравнения (6) применить метод разделения
переменных, мы найдем |
|
( l£ r + ^ ) / H = 0 |
(7) |
для зависимости по оси х и |
|
( ■ ^ 2 + К ) g(y) = 0 |
(8) |
для зависимости по оси у, причем константы разделения кх и ку удовлетворяют уравнению
Г2 = /с2 — к\ — /с3. |
(9) |
Основные формулировки граничной задачи |
51 |
Отметим, рассматривая зависимость только от х, что если
f (x + b) = f(x)e ;,|Ч
то функция
F (x) = f (х) ei(V «*
является периодической, поскольку
F {х + Ъ) = / (х + b) ej |
V '1’* — F(x). |
Следовательно, функцию F (х) можно представить в виде разло жения в ряд Фурье
F(x) = |
СО |
|
|
|
||
2 АтеПгпш/ь)х. |
|
|||||
Тогда |
7 П = — СО |
|
|
|
||
оо |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Н х )= |
2 |
Ameni2nm- ' W b]x . |
(10) |
|||
7П— — СО |
|
|
|
|||
Каждый член этого ряда |
удовлетворяет уравнению (7), |
поэтому |
||||
в общем виде |
j |
_2л/ге •— фд. |
|
|||
к |
(11) |
|||||
|
------- Ъ |
' |
||||
|
|
|
||||
Рассматривая аналогичным образом зависимость от г/, получим |
||||||
ку = к у |
= |
d |
■ |
(12) |
||
J |
|
|
||||
Таким образом, |
^ 2яш —\\1ху |
^ 2ли— i|)y j'2 |
|
|||
J.-2 |
(13) |
|||||
|
|
|
|
|
||
х, у, z) = ejhxmXeih«”U-jTmn\ |
(14) |
|||||
Построение периодического решения уравнения (3), удовлетво ряющего граничному условию (5), и является по существу содер жанием теоремы Флоке.
1.3. Векторные пространственные гармоники и волновые прово димости
Функции поперечных координат в выражении для £ можно ортонормировать следующим образом:
t |
/~ 1 |
х jbuJ! |
' |
(15) |
\тп{х, У ) = у м е |
е |
|||
Тогда |
|
|
|
|
j J |
Ещпётп'п' dxdy = fimm'Snn', |
(16) |
||
А„ |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
52 |
Глава 2 |
|
где 8т т ' — 6-символ Кронекера, равный 1 при т = т' |
и 0 при |
|
т =/=7п', |
а Ар — площадь какой-нибудь периодической |
ячейки |
в раскрыве антенной решетки (b X d для прямоугольной решетки на рис. 2.1). Выражение (15) представляет собой ортонормированнуго систему скалярных пространственных гармоник (гармоник
Флоке).
Полную ортонормированную систему векторных пространствен ных гармоник можно построить на основе скалярных гармоник аналогично тому, как в теории волноводов векторные ТМ- и ТЕволны получаются с помощью скалярных потенциалов Герца [1]. Ниже определены полные системы векторных ТЕ- и ТМ-гармоник Флоке исходя из скалярных гармоник.
ТЕ-гармонпкп. Если 1тп (х, у) = HZjnn (х, у) и Ez = 0, то соответствующие поперечные (по осям х и у) компоненты поля
вычисляются по Нг |
следующим образом: |
|||
Е/ |
|
= |
k 2 |
х х У , Я 2 , |
lmn |
|
1 *"пгл. * |
||
|
|
|
|
(17) |
где
/ ^ „ = /4 + k l n = k * - T %
и
У/=х^ + У^= 7-№т+ УЧ)-
Получающиеся при этом векторные гармоники являются ортого нальными, но не нормированными.
Для получения ортонормированиой векторной пространствен
ной гармоники мы положим |
сор |
|
т? |
У) |
|
l mn |
' ^ l m n |
|
и получим |
|
|
|
|
(18) |
где индекс 1 обозначает ТЕ-волну. Эти гармоники обладают следующим свойством:
^ ^ 'Eimтс■'Eim'n' dx d y —■8mm'Snn>. |
(18a) |
Отметим, что E(ТП71 t Hi связаны между собой соотношением
X H , |
__Г т п g |
_ cop tmn'
Основные формулировки граничной задачи |
53 |
Их отношение будем называть |
волновой проводимостью ТЕ-волны |
|||
|
Уimn |
Гтп |
(19) |
|
|
|
|
C0JX |
|
ТМ-гармонга<и. Для |
ТМ-волн мы полагаем |
£mn (х, у) — |
||
== Ezmn (х, у) и IJz= 0 и |
для |
поперечных компонент поля полу |
||
чаем [1] |
|
|
|
|
Е, |
-/Г „ |
ViE2 |
|
|
|
1сг„ |
|
||
|
|
|
|
|
Для определения ортонормироваиных пространственных ТМгармоник используем соотношение
E( = ^ L 'F 2m71,
к гтп
где
'F2mn |
w i |
* ггап |
х + к УпЛ |
( 20) |
У |
1 |
|
||
а индекс 2 обозначает |
ТМ-волну. Система ТЕ- и |
ТМ-гармоник |
||
в свободном пространстве обладает следующим свойством: |
||||
И ' 1' р т п т |
d x d y |
— ^pp'^vun'^nn'» |
(20а) |
|
где символ Кронекера 8РР>указывает, что векторные ТЕ- и ТМгармоники являются взаимно ортогональными.
Волновую проводимость ТМ-гармоники можно определить из соотношения
г У Н , |
тп |
= ^ - Е , |
‘тп |
. |
^ |
гтп |
|
Отношение Hijnn/E<mn определяет волновую проводимость
Г Шп = ^ ~ . |
(21) |
С физической точки зрения векторные гармоники ¥ pmn пред ставляют собой плоские волны ТЕили ТМ-типа, которые распро страняются (или затухают) по направлению от плоскости раскрыва решетки (z = 0). Действительное значение постоянной распростра нения Гтп в направлении z соответствует распространяющейся волне, а мнимое значение Гтп соответствует затухающей волне.