Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

коэффициентов связи между гармониками. Напомним, что в урав­ нениях для электрического поля в элементы матрицы входили модальные проводимости. Важно отметить, что модальные сопро­ тивления внешнего пространства присутствуют только в диаго­ нальных элементах-матрицы, а модальные сопротивления внутрен­ ней области — во всех элементах.

Обращая матрицу системы (37), найдем амплитуды простран­ ственных гармоник (модальные токн) тангенциального магнитного поля. Амплитуды типов волн в волноводе можно определить из условия непрерывности [выраженпе, аналогичное формуле (28)]. В результате получпм

м

(38)

Р = 1

После вычисления амплитуд гармоник можно найтп коэффициенты отражения и передачи.

Элементы матрицы выражений (24а) и (37а) содержат бесконеч­ ные суммы, получающиеся из произведений модальных проводи­ мостей (или сопротивлений) н коэффициентов связи между гармо­ никами. Можно показать, что эти суммы являются сходящимися рядами по крайней мере для решеток из прямоугольных и круглых волноводов, для которых известны выражения для 4§]q в явном виде. Однако суммирование рядов с точностью до пяти и более значащих цифр требует учета многих членов. Как мы увидим ниже, это эквивалентно учету большего числа гармоник в одной из областей. Кроме того, для большинства ФАР размер апертуры элемента сравним с размером единичной ячейки. Это позволяет ожидать, что для описания поля в плоскости решетки требуется примерно одно и то же число гармоник независимо от того, из какой области они берутся. На этом основании суммы в элементах матрицы можно оборвать на номере, сравнимом с порядком матри­ цы. Например, в выражении (24а) суммирование можно прекра­ тить при т — М, где М ~ N. Таким же образом в выражении (37а) сумма вычисляется до / = N, где N ~ М. Очевидно, при этом в решение вводится новый источник приближения. Однако это приближение незначительно ухудшает точность решения.

Если раскрыв волновода и единичная ячейка имеют существен­ но различные площади, число используемых гармоник в каждой из областей сильно зависит от геометрических факторов. Интерес­ но отметить, что при использовании конечного числа гармоник, например N типов волн в волноводе и М пространственных гармо­ ник во внешней области, решения, полученные из уравнения для электрического поля и полученные из уравнения для магнитного поля, совпадают. В частном случае решения системы (24) с матрич-

где ’Sjp — коэффициенты связи между гармониками, определяемые по формуле (246). Точно так же, умножая второе уравнение (39) на Фп (г) и интегрируя в пределах А, получим

м

ресным свойством матрицы является ее разделение на четыре под­ матрицы, из которых две оказываются диагональными. Это свойство наводит на мысль, что выражения (40а) и (406) можно записать в следующей форме:

V' = [i?]v' + b,

d - [ y ] v ' = [S][Y]r.

Подставляя V' из выражения (42а) в выражение (426), исключим У', чтобы получить уравнение только для и'. После небольших преобразований находим

Ранг матрицы ([г/] + [£] [У] Ш]) равен N. Число неизвестных компонент вектора У' также равно N. Запишем q-e уравнение в форме

N N М

Полагая v'j> = 1 + Rj'i уравнение (44a) можно записать в виде

Это уравнение идентично уравнению (24), выведенному для электрического поля с помощью метода моментов при использова­ нии в качестве базиса волноводных мод. После того как найдены о', из выражения (42а) можно определить V'. Преобразуя выражение (42а), можно показать, что оно совпадает с выражением (29).

Исключая г/ из выражений (42а) и (426), можно записать урав­ нение только для V':

Выражение (45а) является системой из М уравнений для М неиз­ вестных Г . Уравнение с номером q имеет вид

МN

Сравнивая уравнения (456) и (37), можно заметить, что эти два уравнения отличаются только множителем zp в правой части. Это вызвано тем, что при выводе уравнения (37) падающая волна имела единичный модальный ток для волны Фр, а при выводе уравнения (456) падающая волна имела единичное модальное напряжение для той же волны. Отношение амплитуд падающих волн равно модальному импедансу zp. Так как система линейна, это отношение оказывается просто множителем пропорциональ­ ности между двумя решениями.