Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

в разложении поля одно п то же. Вопрос о том, сколько гармоник надо брать в каждой области пространства для получения точного решения, до сих пор не решен.

Преимущества метода интегральных уравнений состоят в том, что этот метод дает ясное представление о характере вводимых приближений н за счет выбора различных базисных и весовых функций позволяет получать матричные уравнения в требуемой форме. Это особенно важно, так как в зависимости от конкретной ситуации приходится пользоваться разными системами функций.

4.3.Разделение гармоник

Вряде случаев на практике удобно в качестве излучателей ФАР использовать открытые концы волноводов. Эти волноводы можно размещать так, что единичная ячейка будет содержать два или более волновода (рис. 31). Одно из возможных применений такой системы заключается в использовании малых волноводов

Единичная

Рис. 3.1. Решетка с дроссельными элементами.

как дроссельных элементов для реактивной нагрузки в апертуре решетки (другое важное применение рассмотрено в гл. 7).

При составлении интегральных уравнений для ФАР с такими элементами в качестве неизвестной функции можно брать либо тангенциальную составляющую магнитного поля на всей единич­ ной ячейке, либо тангенциальную составляющую электрического поля на сумме апертур в единичной ячейке. При использовании метода моментов для решения интегральных уравпеиий возникает вопрос, сколько типов волн в каждом нз волноводов ячейки следу­ ет учитывать. По этому вопросу опубликовано относительно мало

работ. Важность вопроса о разделении гармоник можно проиллю­ стрировать на примере задачи о разветвлении в волноводе (рис. 3.2).

Если разветвление в волноводе осуществляется бесконечно тон­ кой металлической перегородкой, задача имеет точное аналитиче­ ское решение, в котором учитывается действие всех высших типов

у

Рис. 3.2. Вид спереди (а) и сверху (б) волноводного разветвле­ ния.

воли, возбуждаемых неоднородностью. Если сначала берется конеч­ ное число типов волн в каждой области для построения прибли­ женного решения, а затем число типов волн устремляется к бес­ конечности, то решение полностью зависит от способа предельного перехода [12]. В частности, показано, что если количества типов волн в областях II и III относятся как Ь/с, то решение будет схо­ диться к точному. Проблема разделения числа гармоник возникает также в задачах о решетках из волноводов с диафрагмами [13].

4.4. Кусочно-гладкий базис

При использовании модальных функций в качестве базиса в ме­ тоде моментов предполагалось, что каждая такая функция опре­ делена иа всей апертуре волновода пли на всей единичной ячейке. Теперь рассмотрим базис, состоящий из функций другого вида.

Перепишем интегральное уравнение для электрического поля (22)в виде

оо

2Уу Фу (Г) = J { 2 У1ф1(г) ф ; (г') + A

СО

+ 2 Y mW,n (г) 'Em (г') } •Е, (г') d r ' , г е и . (22)

7 ) 1 = 1

Предположим, что поперечное сечение волновода разбито на под­ области, пли участки [14,15]. Такое разбиение можно провести мно­ гими способами. Довольно простой способ разбиения с помощью линий, параллельных осям декартовых координат, показан на

где

ААщ

Из-за векторного характера неизвестных величин (у каждого е„ имеются две компоненты) система уравнений (49) содержит 2N уравнений и 2N неизвестных и может быть решена обычным спо­ собом, например обращением матрицы.

Другой путь сведения функционального уравнения (48) к системе линейных уравнений заключается в том, чтобы равен­ ство выполнялось в N точках, каждая из которых лежит внутри одного участка. Таким образом, считая, что rm £ ДЛпг, потребуем, чтобы выполнялись равенства

N СО оо

Этот шаг эквивалентен выбору системы дельта-функцпй б (г — гП1)

вкачестве весовых функций. Процедура приравниванпя обеих частей уравнения (48) в выбранном числе точек называется методом согласования в точках (методом коллокации). Нетрудно показать, что, поступая таким образом, мы выполняем граничные условия

вконечном числе точек апертуры. При вычислении элементов матрицы по методу коллокацип число операций интегрирования уменьшается на единицу по сравнению с вычислением, использую­ щим функции (46) в качестве весовых. В задачах об излучении решетки во внешней области это различие может быть существен­ ным, так как ядра интегральных уравнений для таких задач обычно не интегрируются в замкнутой форме. Это заставляет обращаться

кчисленным методам при нахождении элементов матрицы.

Прп вычислении элементов матрицы модальные функции {ФД и {lFm} интегрируются в пределах участка. В случае прямоуголь­ ного волновода это осуществляется довольно просто, так как используются только тригонометрические функции. Однако в дру­ гих случаях, например для круглого волновода, когда исполь­ зуются цилиндрические функции, численное интегрирование представляет значительные трудности. Другим важным 'аспектом численных методов является сходимость рядов для каждого эле­ мента матрицы. Модальные проводимости и сопротивления увели­ чиваются с ростом индекса для одного типа воли и убывают для другого типа волн. Если в задаче фигурирует только один тип волны, можно выбрать уравнение для электрического или магнит­ ного поля, чтобы добиться сходимости рядов. Если же присутству­

ют оба типа волн, использование любого из двух уравнений не ре­ шает проблемы сходимости. Частные случаи рассмотрены в гл. 5.

Приближение, полученное в уравнении (48) за счет базисных функций (46), эквивалентно замене интеграла его рпмаповой сум­ мой. Существуют и другие способы вычисления интегралов, среди которых наиболее известны метод трапеций, метод Симпсона и квад­ ратуры Гаусса. Преимущества каждого метода рассмотрены в ра­ боте [16]. В общем случае эти методы численного интегрирования можно интерпретировать как использование определенных весовых коэффициентов па различных участках. Пусть {Dn: п = 1, 2, . . .} — коэффициенты, определяемые тем или иным методом интегриро­ вания. Тогда вместо уравнения (48) можно записать

N со

Сведение уравнения (61) к системе линейных алгебраических урав­ нений осуществляется описанным выше способом.

4.5. Использование предварительных сведений о решении

Как уже указывалось, при выборе базиса в методе моментов желательно максимально учесть заранее известные сведения о ре­ шении. Такой предварительной информацией для тангенциальных полей в апертуре может быть их изменение вблизи кромки волно­ вода или их асимптотическое поведение относительно некоторого параметра.

Граничное условие Е ( = О автоматически удовлетворяется в апертуре, если в качестве базиса используется система типов волн в волноводе. Если имеются острые кромки, нормальные (к кромке) составляющие электрического и магнитного поля имеют особенности вблизи кромки (являются сингулярными функциями). Ряд Фурье для сингулярной функции обычно плохо сходится. Другими словами, конечное число членов ряда дает очень неточное представление сингулярной функции. Для улучшения сходимости можно записать неизвестное поле в виде суммы регулярной и син­ гулярной частей [17—18]. Сингулярная часть представляет собой функциональную зависимость, описывающую сингулярное пове­ дение вблизи кромок, с одним пли песколькпмп неизвестными коэффициентами. Регулярная часть является гладкой функцией, для которой требуется небольшое число членов ряда Фурье. При заданной погрешности таким путем можно значительно уменьшить необходимое число членов в представлении решения.