Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 246
Скачиваний: 2
Методы, решения |
111 |
Вкачестве примера рассмотрим использование этого подхода
крешению задачи о решетке, изображенной на рис. 3.4. Предполо жим, что волноводы возбуждаются ТЕМ волнами и решетка скани рует в плоскости Е. Задача ставится так, что неизвестной функци
ей является поле Е х, которое имеет особенности вида (х + а!2)-1/3
12
Рпс. 3.4. Решетка пз волноводов с острыми кромками.
при + а /2. Для выделения сингулярной части запишем поле в апер туре в виде
Ех ( х ) = А 1[ х - ± ) _1/з + А 2(* + ± ) “1/з+ §х (х), |
(52) |
где А ± к А 2— неизвестные коэффициенты, а %х (х) — гладкая функция, которую можно аппроксимировать конечной суммой волноводных мод Фп (х). Таким образом,
Ех (х) ~ Ai |
+ 2 |
(52а) |
|
9 = 1 |
|
Это выражение подставляем в интегральное уравнение и вы числяем моменты для получения системы линейных алгебраичес ких уравнений. При этом интегрирование первых двух слагаемых в выражении (52а) вместе с ядром интегрального уравнения чаще всего проводится численно. Поскольку третье слагаемое является разложением гладкой функции, может потребоваться немного чле нов этого разложения. В результате можно получить хорошие результаты при значительно меньшем числе учитываемых гармо ник, чем при решении без выделения сингулярной части. Однако вычисление элементов матрицы может вызвать больше трудно стей, так как при использовании выражения (52а) необходимо выполнять численное интегрирование. Это обстоятельство необ ходимо взвесить по отношению к сокращению размера матрицы для сравнения двух изложенных нами возможностей.
112 Глава 3
5. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ
Численное решение фпзпческпх задач часто связано с рядом математических приближений. Перевод математических формул в вычислительные алгоритмы иногда оказывается весьма слож ным. Кроме того, вычислительные машины являются пассивными устройствами, следующими лишь указаниям программиста. Все это приводит к необходимости иметь методы коптроля вычислений, чтобы иметь уверенность в корректности и точности пайдепных решений. Для этой цели рекомендуется применять следующие методы [S, 19]: принцип взаимности [6], закон сохранения энергии [21], проверку сходимости, использование различных базисов [19], сравнение с результатами других методов [14], выполнение гра
ничных |
условий [11, 17], экспериментальное подтверждение |
|
[14, |
19, |
20]. |
Ниже мы обсудим достоинства и недостатки каждого метода контроля. Следует отметить, что очень часто вычислительные про граммы составляются для широкого диапазона исходных пара метров. В этом одно из главных преимуществ использования вычис лительных машпн. Методы же контроля применимы лишь в огра ниченной области исходных параметров, поэтому никакой метод контроля не может дать полной уверенности в правильности реше ния и следует использовать несколько методов проверки, чтобы удостовериться в истинности результатов.
5.1. Принцип взаимности
Как было показано, решение системы линейных уравнений, полученной из интегрального уравнения, точно удовлетворяет принципу взаимности независимо оттого, пасколько приближен ным является это решение. Следовательно, взаимность является необходимым, но не достаточным условпем, которому должно удов летворять найденное решение. Тем не менее соотношение взаимно сти оказывается полезным средством контроля на ранних стадиях вычислений как грубый критерий адекватности алгоритма и до пустимости ошибок округления. Такой контроль выполняется сравнительно легко и поэтому является желательным.
5.2. Закон сохранения энергии
По закону сохранения энергия, падающая на пассивное рассеи вающее устройство, должна равняться полной энергии, переноси мой отраженными волнами. В ФАР мощность возбуждающего типа волны превращается в мощность различных распростра няющихся волн, существующих внутри и вне элементов решетки. На первый взгляд может показаться, что численное решение,
Методы решения |
113 |
удовлетворяющее закону сохранения энергии, является верным. Однако, из-за того что при расчете мощности принимаются во вни мание только амплитуды модальных коэффициентов (без учета фазовых соотношений), это требование оказывается недостаточно строгим. Существует много путей распределения мощности падаю щей волны по рассеянным волнам, в то время как полная мощность будет сохраняться неизменной. Это означает, что мощности отдель ных типов волн могут быть рассчитаны неверно, а сумма этих мощ ностей все же будет равна мощности падающей волны.
Достоинство метода Рнтца — Галеркина состоит в том, что в решениях автоматически выполняется закон сохранения энергии. Доказательство этого положения приведено в приложении 1 к дан ной главе. Как и принцип взаимности, закон сохранения энергии может служить лишь в качестве необходимого контроля грубых ошибок в программе. Его нельзя использовать как меру коррект ности и точности решения.
5.3. Проверка сходимости
При построении приближенного решения интегрального урав нения с помощью конечного числа членов в разложении неизвест ной функции первый шаг проверки решения состоит в определении числа членов, которое необходимо для удовлетворительной точно сти. Для этого систематически и постепенно увеличивается число гармоник и при этом проверяется сходимость решения. Решение интегрального уравнения обычно дает распределение поля (или токов) в апертуре. Хотя распределение поля представляет большой интерес, для инженерных целей важнее другие связанные с рас пределением поля в апертуре величины, такие, как входное сопро тивление и поперечное сечение рассеяния. Эти величины можно найти как скалярное произведение или результат усреднения реше ний. Таким образом, сходимость этих средних величин часто пред ставляет основной интерес.
Характер сходимости решений или средних величин от реше ний зависит от свойств оператора и базиса приближенного реше ния. В задачах, где фигурируют волны только одного типа (ТЕ или ТМ), сходимость обычно оказывается монотонной. Это связано с тем, что модальные сопротивления (или проводимости) высших
типов волн |
являются монотонными функциями индекса моды. |
|
В более общих случаях, когда имеются ТЕ- и |
ТМ-волны, |
|
сходимость |
обычно представляется осциллирующей |
функцией |
(ио с уменьшающейся амплитудой). Напомним, что с увеличением числа учитываемых гармоник растет порядок матрицы. В результа те сильно увеличиваются объем используемой памяти ЭВМ и за траты машинного времени. Число операций, необходимое для обра щения матрицы размером п X п пропорционально 7г3. Таким обра-
8 - 0 1 6 8
114 |
Глава 3 |
зом, увеличение порядка |
обращаемой матрицы может привести |
к большим ошибкам округления.
Для проверки рекомендуется брать диапазон параметров зада чи как можно шире. Число гармоник базиса должно увеличиваться до тех пор, пока рост этого числа будет вызывать малые изменения интересующих величин. Степень допустимых изменений опреде ляется желаемой точностью (это могут быть доли процента или несколько процентов). На практике часто требуется включить в рассмотрение большое число параметров задачи. Тогда время вычислений становится важным фактором. Для инженерных задач достаточна точность в несколько процентов. Поэтому целесообраз но выбирать порядок матрицы исходя из инженерной точности. Однако для уверенности в том, что эта точность достигается рав номерно в диапазоне параметров задачи, следует провести выбо рочный контроль вычислений. Если это возможно, то надо уде лить особое внимание тем значениям параметров, при которых наблюдаются резкие изменения расчетных результатов.
5.4. Использование различных базисов
Как говорилось выше, скорость сходимости решения зависит от выбранной системы базисных функций. Если эта система вклю чает как можно больше независимых свойств решения, можно надеяться, что для получения хорошего результата потребуется небольшое число функций. С точки зрения выяснения правильно сти решения надо взять два существенно разных базиса и, если ре зультаты будут близки, можно считать, что оба приближения удов летворительны. Чем сильнее различаются базисы, тем больше вероятность правильности решения при совпадении результатов. Единственным недостатком этого способа контроля является необходимость дважды решить задачу при выборе алгоритма и со ставлении программы, что увеличивает время, затрачиваемое на решение задачи.
5.5. Сравнение с результатами других методов
В ряде случаев рассматриваемая задача для определенного набора параметров может быть эквивалентна задаче, для которой известны точные решения [15, 24, 25]. В качестве примера рассмот рим решетку из параллельных пластин, сканирующую в плоско сти Е. Если угол сканирования равен нулю, задачу методом зер кальных изображений можно, очевидно, свести к задаче о стыке двух волноводов из параллельных пластин, которая решается раз ными методами [28]. Следовательно, имеется много результатов для сравнения. Аналогично при сканировании той же решетки в плоскости Н при значении управляющей фазыф = л задача сво
Методы решения |
115 |
дится к задаче о скачкообразном расширении плоскопараллельыого волновода в плоскости Н. Такая задача также решена разными методами [28] и пригодна для сравнения. Другие случаи, допус кающие сравнительный контроль, относятся к решеткам из волно водов с диэлектриком. При диэлектрической проницаемости, рав ной 1, должны вновь получаться результаты для решетки без диэлектрика.
Задачу рассеяния электромагнитных волн во внешней области можно решать так, что рассеивающие тела произвольной формы будут рассматриваться в единой формулировке задачи. Форма рас сеивающего тела будет вводиться в программу как исходный пара метр. Для ряда тел (таких, как цилиндр, сфера, сфероид) известны точные аналитические решения. Эти решения могут играть роль тестов для численных решений. Итак, специальный подбор началь ных данных позволяет иногда сравнивать решения, полученные разными методами. В таких случаях можно сделать независимую проверку результатов для этих особых начальных данных.
5.6.Выполнение граничных условий
Взадачах анализа ФАР и в задачах о неоднородностях в волно водах можно вывести интегральные уравнения для тангенциаль ных составляющих электрического и магнитного поля. Решение одного из уравнений позволяет найти одну неизвестную функцию. Другая неизвестная функция определяется с помощью уравнений Максвелла. Решения для двух областей пространства должны удовлетворять условию непрерывности на границе раздела. Степень точности, с которой удовлетворяется условие непрерыв ности, может служить критерием правильности решения [11, 17]. В общем случае трудно найти прямую связь между степенью удовлетворения граничного условия и точностью вычисления какой-нибудь характеристики решетки, например коэффициента отражения. Поэтому ценность этого способа проверки правиль ности решения обычно невысока.
5.7.Экспериментальное подтверждение
Прямым методом проверки является сравнение расчетных и эк спериментальных результатов. Для задач рассеяния можно изго товить отражающие объекты требуемой формы. В случае анализа бесконечных ФАР можно использовать волноводные модели, одна ко для ограниченного числа значений углов сканирования. Это дает возможность лишь для выборочной проверки.
Другой путь состоит в том, чтобы изготовить решетку больших размеров и измерить взаимную связь между элементами и диаграм му направленности элемента в решетке. Затем по измеренным зна-
8*
116 |
Глава 3 |
ченпям коэффициентов взаимной связи на основе линейной супер позиции можно рассчитать на ЭВМ зависимость коэффициентов отражения от угла сканирования. При таком моделировании диапазон углов сканирования не ограничен. В результате получа ем смешанный расчетно-экспериментальный способ проверки реше ния, который обходится гораздо дешевле чем экспериментальное исследование большой ФАР.
5.8. Другие способы контроля
При некоторых условиях одну и ту же ФАР можно рассматри вать как решетку с прямоугольной сеткой расположения эле ментов п как решетку с треугольной сеткой расположения элемен тов. Примеры таких ситуаций приведены в гл. 5 и 7. В этих усло виях решения для двух математических моделей одной решетки должны давать одинаковые результаты. Это факт можно использо вать для контроля вычислительных алгоритмов.
Для целей контроля можно использовать симметрию геомет рии решетки. Допустим, в определенных плоскостях сканирования, например в Е- пЛ-плоскостях, геометрия решетки такова, что опре деленный тип волны не возбуждается. Подтверждение этого факта при численном решении может служить некоторым указанием на правильность алгоритма и программы.
6. КАНОНИЧЕСКОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
До сих пор мы рассматривали приближенные решения инте гральных уравнений, основанные на методе моментов. Это связано с тем, что задачи анализа ФАР слишком сложны, чтобы можно было применять чисто аналитические методы. Однако существует такая модель решетки, для которой при определенной идеализации возможно точное решение либо функционально-теоретическим методом [23, 24], либо методом Винера — Хопфа [25, 26]. Ниже мы кратко опишем оба метода.
Этот особый вид решетки представляет собой решетку из тон ких параллельных идеально проводящих пластин (рис. 3.4). Интегральные уравнения для такой решетки выводятся способом, описанным в гл. 2 и 4. Переход от интегральных уравнений к сис теме линейных алгебраических уравнений осуществляется обыч ным путем, за исключением выбора базиса. Обычно, если рассмат ривается уравнение для электрического поля, использование типов волн в волноводе в качестве базисных и весовых функций оказы вается весьма эффективным. В уравнении для магнитного поля целесообразно использовать в качестве базисных и весовых функ ций пространственные периодические гармоники внешней обла