Файл: Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие.pdf

или в более компактной

форме

NÎ . О , = 0,

(7.15а)

где буквой О; обозначено выражение в квадратной

скобке.

Подставляем решение (7.14) в равенство (7.15) и

производим

инте­

грирование,

учтя,

что

S3

dz c o s - ^ z = 0,

(7.16)

33

о

EL

2шц

2ntij

для

1 =

] ,

dz cos

z cos

z ••

(7.16а)

S3

33

2

іф\.

о

О

для

Пусть генерация происходит на всех продольных типах колебаний

вплоть до номера і±.

Тогда для любого і < іх

интегрирование с учетом

(7.16) и (7.16а)

дает:

0 , =

1

+C1giàN0^~C1xgiNf-2Clx

%BiNty

(7-17)

рез

Если же / > іі,

то

О

І =

-

- ^ - + С 1

^ А Л / 0 ( і - 2 С 1

т

<1

(7.18)

tgjNf).

Трез

\

1=1

I

Видно,

что в выражении (7.18) нет члена

CxxgiNf,

который есть

в выражении

(7.17). Дело в том, что этот член получается в результате

и

2лпі

2ntif

интегрирования выражения, пропорционального 2 cos

z cos

z.

j= I

S3

S3

Если i ^

ii,

то в этой сумме

всегда

есть член, для которого

і = j ,

колебаний, на котором происходит

генерация (т. е. для всех

t ^ іх),

Nf Ф 0; следователоно, уравнение (7.15а) может

удовлетворяться

только, если 0{- = 0 (/

іг).

Тогда из выражения (7.17) сразу следует:

C 1 T g , A / f + 2 C 1 T .

%gjNf

= l -

1 1

.

(7.19)

j=\

W ёг

о Трез

а л

,

о

Уравнение (7.19) можно

решить

относительно

Nf:

i

1

Ci igj

C i gt ДЛ'о Трез

L

І ( і

1 —

(7.20)

ся, что (7.20)

является

решением уравнения (7.19).

С другой

стороны,

для всех типов колебаний с номером і >

іг

(т. е. типов колебаний, на которых не происходит генерация)

TV* =

0

и, следовательно, уравнение (7.15а) удовлетворяется для

Ot ф 0.

Подставляя выражение (7.20) в (7.18) , получаем.

, 2gi V

1

1

ДЛЯ і > І і .

(7.21)

если

для

типа

колебаний

с

номером

і = іг

-f- 1 JV*+i = 0, то

0,+ i < 0;

но как

только

Л/*+і

становится

отличным

от

нуля,

Оt+i

обращается в нуль.

Это и есть

условие самовозбуждения

типа

колебаний с номером і = іх

+

1. Это условие, как следует из равенства

(7.21),

имеет вид

C l

M

^ ' ( 1

- è ) +

+

2 g / '+

1

У

- і -

l

- = 0.

(7.22)

( г ^ - ф ^ Т р е з

/fT,

gj

Трез

Подставим в равенство (7.22) выражение

(7.11) и введем

безразмер­

ный параметр а а

= Сгс AN от:рез. Тогда

из равенства (7.22) для пара­

метра аг

нетрудно

получить

выражение

a 1 = ( 2 / 1

+ l ) ( l + / î - ^

Дѵ2

_ ( 2 і 1 +

1 ) / - ^ +

M ' i + D

2*f

(7.23)

Лѵ2

2 « І ^ 1 J

Ѵ

U h + l

ством (7.23), равно 2іх + 1 — один на вершине коэффициента

кванто­

вого усиления (соответствует іх

= 0) и по два симметрично

располо­

женных относительно вершины

(соответствуют каждому іх Ф 0).

ах — 1

или

С І с Д Л ^ 0 т р е , = 1.

(7.24)

Оно

совпадает с условием возбуждения типа колебаний,

располо­

разность населенностей

создается

в

активном веществе, а также чем

больше г р е з . Поскольку

т р е з =

-

(а> — частота перехода), условие

на котором возникает

генерация.

Назовем величину АЛ/о =

CJ%

— АЛ/по р пороговой

разностью

населенностей

рабочих

уровней.

Тогда

нетрудно понять,

что ах —

— лтг~^' т - е -

параметр

ах

характеризует

относительное

превышение

разности

населенностей,

создаваемой

накачкой, над пороговой

раз­

ностью населенностей.

Применим условие (7.24) для определения пороговой

населенности

в оптическом квантовом генераторе

на кристалле рубина. Обратимся

к рис. 7.1, на котором

показана диаграмма

энергетических уровней

иона С г 3 +

в рубине. Нас будет

интересовать

пороговое

условие гене­

рации на линии Rx рубина,

т. е. уровень Е является верхним рабочим

уровнем,

а уровень 4 Л 2

— нижним

рабочим уровнем.

Уровень

Е

двукратно , а уровень 4 Л 2

четырехкратного вырождены. При вычисле­

уровней, поскольку между ним и верхним

рабочим уровнем с очень

коротким характерным

временем устанавливается

термодинамическое

равновесие, так что распределение частиц

между

уровнями 2А и Е

подчиняется закону Больцмана. Если N2^

и N-g — населенности уров-

ней 2А и Е, то

= ехр

— — 0,87. Здесь, как и всюдѵ ниже, все

N-ß

kT

величины будут

снабжаться индексами

2/1, Е, 4 Л 2 , указывающими,

Л ' 2 Д + % + ЛГм, = ЛГ.

(7.25)

У Ѵ М а + 1 , 8 7 % = Л^=1,6-101 9

\/см3.

(7.26)

Теперь обратимся к условию (7.24). Если учесть, что согласно фор­

муле (8.13)

Q

,

S3

>

(7.27)

рез— ~

т , п Ч

0)

с ( і _ г о т р )

то из равенства (7.24) с учетом выражений

(7.5) и (7.6)

получим:

й Д * = %

- 4 ^

-

^ .

8

- ^ .

(7.28)

Подставляем сюда следующие численные значения: g-^ = 2, £ м 2 = 4 ,

готр =0,9,3 5 5 = 5 сл.

Av =

1,65

• 1011

гц,

— — ~

3-IQ-8 сек.

рубинового кристалла

с показателем

преломления

пт = 1,76

Я

Я = ~ , где Яв , •— длина

излучения в вакууме: Я да 0,7

мкм. Под-

ставляя в формулу (7.28) эти величины, получаем:

%

— - ~ / Ѵ М з = 4 , 5 . 1 0 1 7

Mсм3.

(7.29)

("в ^

населенность I — >

~—

\ SE

ё1АГ

а х = 1 + 3 [~~У. Если 6 ѵ = 1,5.10е гц, А ѵ = 1 , 5 - 1 0 п гц, то

( - ^ ) =

Ю-*. Таким образом, превышение порога в этом случае всего

на 0,03%

приводит к возбуждению уже трех типов колебаний.

параметром а, единицы (в %)] для различных значений

( ^ ]

.Зависи­

мость получена из формулы

(7.23). По оси абсцисс отложен

параметр

ее,, по оси ординат — число

32

возбужденных типов

коле­

баний.

При экспериментальном

исследовании

спектра

из­

лучения рубинового

лазера

приходится применять при­

боры с очень высокой раз­

решающей

способностью,

так как

спектр

излучения

очень узок. Например, для

этой цели

используют

эта­

лоны

Фабри—Перо.

Если

лазерное излучение

пропу­

Рис. 7.8. Зависимость числа возбуждаемых ти­

стить

через эталон, то оно

дает

интерференционную

пов колебаний

от превышения

параметром ai

единицы

(в °/о)

для разных

значений

(-Y

картину,

состоящую из ко­

лец.

Если

в

лазере

воз­

ѴДѵ/

бужден

один

продольный

тип колебаний, то каждое

кольцо соответствует определенному

по­

рядку

интерференции.

Радиус

кольца

определяется

длиной

волны

излучения, а толщина

кольца — шириной спектра

излучения.

Если