Будем, как и раньше, считать, что поле <Е (/) |
меняется по гармони |
ческому закону и |
что | со — (о0 | |
y.s, т. |
е. |
рассматриваем |
нере- |
|
|
d d ù ' |
|
|
|
зонапсиый случай. |
Тогда член |
Vn~jf |
значительно меньше |
чле- |
d2 £f> '
н о в - ^ р - и co25ù' и им можно пренебречь. Нелинейный член, пропорцио нальный 55 '3 , будем также считать малым (первого порядка малости). Решение для поляризации 3"д' будем искать в виде суммы двух членов:
|
&>'= |
+ |
(11.32) |
где 3й |
ô — член нулевого порядка |
малости, a 5s ! — член |
первого по |
рядка |
малости. |
|
|
Подставляя вид решения (11.32) в уравнение (11.31) и собирая отдельно члены нулевого и первого порядка малости, получаем два уравнения:
|
|
|
-Ь со„2 ®'о = — |
<§ (0, |
|
|
(11.33) |
|
~ - Н - |
»5 ®\ |
V |
|
^ |
= О- |
|
(И-33а) |
|
dr2 |
|
|
|
me-Nii |
|
|
|
|
|
Первое уравнение мы уже решали |
выше [см. решение уравнения |
(11.22) при у,л |
= 0], это решение |
вдали |
от резонанса |
имеет вид |
|
= |
-Т^^Чг $ |
(*) = |
X (œ) » (О- |
|
(1 |
|
|
/и (cog — со ) |
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
это выражение |
в уравнение |
(11.33а), |
имеем |
|
|
i ! ^ |
i + |
û ) 2 ^ ' = |
|
i£-ga(t). |
|
|
(11.35) |
|
Л 2 |
г |
0 |
1 |
m«2 m |
w |
|
v |
; |
Так как напряженность поля $ (/) меняется |
по |
гармоническому |
закону, то |
|
|
|
(зc o s 0 ^ |
_j_ cog зni). |
|
|
|
£ 3 |
= |
|
|
|
Используя это равенство, запишем уравнение (11.35) в виде |
|
- f c o n |
2 = |
— |
|
|
(з c o s 0 ^ + |
cos з at). |
(11.36) |
Это уравнение гармонического осциллятора, на который дейст вует внешняя сила (правая часть уравнения). Внешняя сила состоит из двух членов: один меняется с частотой со, другой —• с частотой Зсо. Поэтому будем искать решение (11.36) в виде
5 5 ; - 5 u !,o ) C o s c o /+5 s ; , 3 M cos3co^ |
(11.37) |
Подставляя его в уравнение (11.36) и приравнивая порознь ко эффициенты при cos со/ и cos Зсо/ нулю, получим:
|
|
|
|
4mN*e'«ù*0-<ù*) ' |
. |
g |
|
|
|
|
4mN* e2 (cög—9Û)2 ) |
|
|
Объединяя |
решения |
(11.38) |
и (11.34), |
получаем |
окончательно: |
3:" - |
+ |
= X (со, #0 ) £ 0 |
cos со/ + X (Зм, g0 ) g'o cos Зсо/, |
(11.39) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xK».) = x N |
|
|
|
|
|
|
Л К |
' |
Л |
' |
4mN*e2 |
(cog |
— оз2) |
|
|
|
X ( 3 c o , g 0 |
) = - ^ l M l i ^ , |
|
(П.40) |
|
|
|
|
4/?2ІѴ2 e2 (со2 |
— 9CÙ2) |
|
|
а величина %(co) определяется формулой (11.29).
Следовательно, в сильном световом поле частоты со поляризация является не только гармонической функцией частоты со. В поляриза ции появляется компонента частоты Зсо. Известно, что заряд, совершаю щий гармоническое колебание с некоторой частотой, излучает моно хроматическую электромагнитную волну той же частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна с частотой со, другая — с частотой Зсо.
Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле появляются гармоники (конкретно третья гармоника). Далее разберем более строго генерацию второй гармоники.
§ 11.3. Генерация второй гармоники
На рис. 11.1 показана установка для наблюдения генерации второй гармоники световой волны в кварце.
Основные элементы установки — рубиновый лазер / и тонкая квар цевая пластинка 3. Световая волна от рубинового лазера фокусируется линзой 2 на кварцевую пластинку. Выходящее из пластинки излуче ние проходит через призму и попадает на фотопластинку. После про явления на ней видны два пятна: одно образуется световой волной от
рубинового лазера (X = |
0,6943 мкм), а второе связано с генерируемой |
в |
кварцевой пластине |
второй гармоникой световой волны (Я = |
= |
0,34715 мкм). |
|
Для описания этого явления будем исходить из уравнений Мак свелла (11.1). Магнитными свойствами среды пренебрежем и будем считать, что вектор макроскопической намагниченности среды Ж равен нулю. Тогда из второго материального уравнения (11.2) имеем
В = Ж. Применив операцию")^ к правой и левой частям первого урав нения Максвелла, получим:
rot rot g : |
- ^ - r o t ß = |
• rot Ж. |
|
dt |
dt |
С учетом В — Ж. Подставим сюда значение rot Ж из второго уравнения
системы (11.1) и |
используем первое |
материальное |
уравнение (11.2). |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot r o |
t |
i |
= - - 4 |
^ - |
. ^ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с 2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\- 4я |
. |
|
|
|
|
|
|
с2 |
V dt |
|
dt* |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.41) |
|
|
|
|
|
|
Считая, что_внешние токи |
|
|
|
|
|
|
отсутствуют, |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
rot rot Щ |
1 |
д*Ш - f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
Рис. 11.1. Наблюдение |
удвоения |
частоты |
|
4 Я |
d2gù = |
0. |
(11.42) |
|
с2 |
' |
~d~F~ |
|
|
световой |
волны: |
|
|
|
а — схема установки: |
/ — рубиновый |
лазер; 2 — |
|
Кроме того, разобьем век |
фокусирующая |
линза; |
3 — кварцевая |
пластинка; |
тор макроскопической |
поля |
4 — коллиматорные линзы; |
5 —призма; |
б —экран; |
|
б — картина на |
экране: / — основная |
гармоника |
|
ризации среды на |
две |
части: |
(А-0,6943 |
мкм); |
2 — вторая гармоника |
|
|
U-0,34715 |
мкм) |
|
|
= |
У'Л + ¥'НЛ, |
(11.43) |
|
|
|
|
|
|
где Зд'л — часть вектора поляризации, линейно зависящая от напря женности электрического поля, а 3й н Л — нелинейная часть вектора поляризации.
Для простоты будем считать, что линейная часть вектора поляри зации 3й'], связана с вектором напряженности электрического поля со отношением (11.3,а).
Тогда
|
|
4л |
д2£Рл |
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
dt2 |
dt |
|
|
|
|
1 |
ÊL?. |
|
e0 |
|
d2% |
|
|
( 1 + 4 я х о ) = - ^ - . " |
dt2 |
|
|
с 2 |
' |
dt2 |
|
|
|
|
|
и уравнение (11.42) принимает вид |
|
|
|
|
|
rot rot Щ - f |
ö 2 f |
4n |
d2£PHn |
(11.44) |
|
ât2 |
c2 ' |
dt2 |
|
|
|
|
|
Будем учитывать пространственную зависимость напряженности электрического поля и нелинейной поляризации лишь в направлении
одной из осей (например, оси г). Тогда rot rot Щ сводится к — |
и |
урав |
нение (11.44) принимает окнчательный вид |
|
|
|
Ü J L _ - ? L |
^ _ Ы _ |
0 ' ^ H J = = O |
|
П1 |
45) |
dz2 |
с2 |
' dt2 |
с2 ' dt2 |
' |
\ |
• I |
Задачу генерации второй гармоники поставим следующим.обра
зом. |
Пусть имеется полубесконечная среда z > 0. На границу среды |
(z = |
0) в направлении оси z падает монохроматическая волна частоты |
оз. В среде же могут одновременно распространяться как волна основ ной частоты, так и гармоники.
Волны, |
распространяющиеся в среде, запишем в виде |
|
|
I r = I('>(z)exp( — i(ùrt) |
ехр («вг 0, |
(11.46) |
где E{~r\z) |
= (E(r) (z))*, а связь между вектором поляризации и напря |
женности |
электрического поля — в виде |
(11.19). Тогда, |
если учиты |
вать в нелинейной части вектора поляризации только члены, квад ратичные по компонентам вектора напряженности электрического
поля, то |
нетрудно видеть, что нелинейная часть і-й |
компоненты век |
тора поляризации |
имеет вид |
|
|
|
^ / н л = |
2 |
X ^ K . « s ) £ / S ) ^ r ) e x p [ - / K + |
( D r ) / ] , |
(11.47) |
|
|
1. |
t, г, |
s |
|
|
где частоты |
cos и <вг могут принимать как положительные, так и отри |
цательные |
значения; |
Хш — компоненты тензора. Индексы |
г, s от |
личают волны в среде по частотам. |
|
|
При решении задачи генерации второй гармоники нас будут инте |
ресовать |
компоненты |
вектора поляризации на основной частоте <д |
и частоте |
второй |
гармоники 2со. Для определенности будем |
считать, |
что поле основной частоты направлено вдоль некоторого направления
Ь, |
а |
поле |
второй |
гармоники — вдоль |
некоторого |
направления а. |
Тогда |
из выражения (11.47) |
получаем, |
что нелинейная поляризация |
на |
частоте |
второй |
гармоники |
|
|
|
|
|
|
|
|
®'а нл = ХаЬЪ К |
® ) |
( £ " ' ) * вХр (-2Ш) |
+ |
|
|
|
|
+ |
%аьь(-«>, |
-(о)(Е[-уехр(2Ш). |
|
(11.48) |
|
Нелинейная |
поляризация |
на |
основной |
частоте |
|
|
|
|
№'ь ..л = 2%ЬаЪ ( — 2(0, |
(о) Еа~2) |
Еь} |
ехр (Ш) - f |
|
|
|
+ |
2хЬ а Ь (2со, — (о)Еа~2) Е{ь~1) |
ехр(—Ш), |
(11.48а) |
Множитель 2 в выражении (11.48,а) появляется вследствие того, что в сумме (11.47) есть по два одинаковых члена, содержащих ехр (i(àt) и ехр (—iat). Действительно, член с ехр (tat) получается, если взять (os = — и, cùr = 2со, а также сог = —со и COS = 2<B.
