Приведем еще некоторые формулы, которые понадобятся в после
дующих выкладках. |
|
новые величины A,, (z) и A* (z): |
Нетрудно видеть, что если ввести |
|
Ar(z)exp(ikrz\ |
|
Ei-rt |
= A*r(z)exp( |
— ikrz), |
(11.49) |
то вместо (11.46) следует |
написать: |
|
|
Щг = ет [Ат (z) ехр і (кг z — сог t) + A* (z) ехр — i (kT z—cor t)\ ( 11.46а)
(ег |
— единичный вектор в направлении <ßr). |
виде |
|
Если |
же еще записать |
комплексную |
величину А,, (г) в |
|
|
Ar(z)^\Er\expi(f,.(z), |
|
(11.50) |
где |
\Е,. \ — действительная |
величина, то |
для распространяющейся |
в среде |
волны получим: |
|
|
|
|
|
Iß,. -- <?,. |
I Ет I cos [krz—со,. / -| - ф,. (г)]. |
(11.466) |
Ограничимся для простоты изотропным случаем. Тогда, подстав ляя выражения (11.48) и (1.148а) в уравнение (11.45) и беря волны, распространяющиеся в среде, в виде (11.46), получаем, приравнивая члены при экспонентах с одинаковыми показателями, следующие урав нения для амплитуд волны и ее второй гармоники:
ь |
' - ^ Е Ѵ + ^ ^ х ь а Л - г с о . ^ ^ - ^ ^ - О , |
(11.51) |
dz2 |
|
1 |
с2 |
|
д*Еа |
(2) |
, |
г-<2) , 16л |
(11.51а) |
dz2 |
|
|
kl ET + ~ со2 % a b b (оз, со) (Е^У = 0, |
|
|
|
|
где /г± =г—|/е0 ; |
|
k2 = — "|/"е0 . |
|
Отметим, что при этом получается не одна, а две пары уравнений ком плексно сопряженных между собой. Учтем, что между компонентами тензорах;;; выполняется соотношение %аЪЪ((л, со) = %ЬаЬ(—2со,со). Тогда,
вводя новый коэффициент kx = |
-^1аьъ \tö> ю )> |
получаем |
более ком |
пактную форму |
записи уравнений (11.51), (11.51а): |
|
д2 |
Е{~1} |
+к\ЕКь" |
+ \<s?k%É~^-^Ъ, |
|
(11.52) |
|
ь |
|
|
dz2 |
|
|
|
|
|
" |
\-k\E? |
+ Ъ®*кх{Е{ьУ |
= 0. |
(11.52a) |
|
dz2 |
|
|
|
|
Заменим теперь комплексные амплитуды Е с соответствующими индексами согласно выражению (11.49), причем будем считать, что комплексные амплитуды Ат (z) как функции z меняются достаточно
медленно, так что |
<^ kAr. Тогда при подстановке (11.49) в урав- |
|
|
дгА |
нения (11.52), (11.52,а) вторыми производными |
в них можно пре |
небречь. В результате получаем два уравнения для комплексных ам
плитуд: |
ЗА* |
|
|
|
|
|
A'2Alexpi(2k1~k2)z, |
(11.53) |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
dA2 |
^A2iexpi(2k1~k2)z. |
(11.53a) |
|
|
dz |
|
|
|
|
Отметим, что переход от уравнений (11.52), (11.52а) к уравнениям (11.53), (11.53а) является примером достаточно общего подхода к опи
санию нестационарных процессов. Условие |
<^ kAr по существу |
означает квазистационарное приближение; заметное изменение поля происходит на расстояниях, много больших длины волны. Уравнения квантового генератора (6.76) также получены в квазистационарном приближении, однако если при выводе уравнений (11.53), (11.53а) предполагалось медленное изменение полей в пространстве, то при
выводе уравнений (6.76) — медленное [по сравнению с периодом
Т = |р| изменение всех переменных во времени.
Наконец, используем для комплексных амплитуд Аг вид (11.50). Подставляя этот вид в уравнение (11.53) (11.53а) и разделяя действи тельную и мнимую части, получаем вместо уравнений (11.53), (11.53а):
д\Е, |
2co2k |
Е2 |
J sinO, |
|
|
dz |
ki |
|
|
|
|
|
|
д\Е2\ |
4(ù2k |
I 2 |
sin 0 |
|
(11.54) |
dz |
Г \ЕІ |
|
k2 |
|
|
|
|
dz |
Л/г+4со2 & |
ki |
\Ei\ |
cos Ѳ, |
|
|
|
|
где Ѳ = 2фх (г) |
Фг (z) — Akz |
и Ak = |
— |
2k,. |
Наиболее интересно решение системы( 11.54), если амплитуда второй гармоники мала по сравнению с амплитудой волны основной
частоты: | £ 2 | <<^ \ Ех\. Тогда можно считать, что правая |
часть перво |
го уравнения системы (11.54) близка к нулю, т. е. | Ех | « |
const. В круг |
лой скобке третьего уравнения системы (11.54) можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым. Нетрудно показать непо средственной подстановкой, что решение системы (11.54) при сделан ных допущениях имеет вид
|
|
|
|
|
Akz |
Akz |
я |
_ |
, |
іко2 k% |
IÊ, I2 S 1 " 2 |
|
|
\Ea\ |
= |
|
(11.55) |
|
|
|
|
|
Ak |
на |
Решение удовлетворяет граничному условию |
[ Е2 (z = 0) [ = |
0, т. е. |
границе |
среды волна |
второй |
гармоники |
отсутствует.Очевидно, |
Д k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-у- |
можно |
представить |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Оі |
[п |
(2CÛ)— п (со)] |
4я |
. |
. . |
|
|
2 |
|
|
— |
— |
^ |
|
|
— — [п (2со) — « (со)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
Я, |
|
|
ах = |
|
Учитывая |
это выражение, |
а |
также |
вводя обозначение |
|
16co2 /L , |
получаем |
из |
(11.55): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s i n j — Г » ( 2 C Ö ) — « ( C O ) ] |
|
|
|
|
|
Е2 (z) |
I = |
огх I £ i |
I |
4JT |
|
|
|
(11.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— [п(2ш) —n(a)] |
|
|
где |
= |
const = \ЕІ (0)|, т. е. амплитуда падающей |
волны. |
|
Используя формулу (11.56), запишем выражение для потока энер
гии на частоте 2со. С одной |
стороны, |
для монохроматической волны |
связь между потоком / (z) и амплитудой волны имеет вид |
|
1(2) |
= 8 п |
E(z) |
|
|
|
Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.57) |
h(z) |
8 л |
|£2|2. |
|
|
Возводя выражение (11.56) в квадрат |
и умножая на |
получаем |
с учетом (11.57) |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
4я |
(я |
(2co)— n |
(со)) г |
(11.58) |
|
|
4зг |
|
|
|
|
|
(n (2со)—/г |
(CD)) |
|
т. е. выражение для потока энергии волны с частотой 2со в точке z через поток энергии падающей волны (частота со) в точке z — 0.
Видно, что в точке 2 = 0 поток І2 (г = 0) = 0, т. е. на границе среды волны с частотой 2со нет. В среде падающая волна создает не линейную поляризацию, и за счет этого возникает волна на частоте 2со. Интенсивность волны по мере увеличения z растет, но лишь до тех
пор, пока аргумент синуса не станет равным у . Это будет при z = г0. При z > z0 волна на частоте 2со начинает ослабляться вплоть до точки
2 = 2z0, где ее интенсивность вновь падает до нуля, а энергия, запа сенная в волне, передается опять падающей волне. При z > 2z0 ин тенсивность волны на частоте 2а» опять растет, затем падает и при z = 4z0 снова обращается в нуль. Точки, в которых интенсивность волны на частоте 2со обращается в нуль, нетрудно найти, приравняв аргумент синуса в выражении (11.58) целому числу я:
~ [п (2(0) — п (СО)] Zq — nq,
где q—целое число.
Отсюда
qX
^ |
Расстояние между соседними точками q и q + 1, в которых |
поток |
/ 2 |
(z) обращается |
в нуль (выше оно было обозначено 2z0), |
равно: |
|
|
2zn |
— |
^ |
• |
(11.59) |
|
|
|
4[n(2(ù)~n((ù)} |
|
ѵ |
' |
и для кристалла |
кварца составляет примерно 10'3 см. |
|
|
|
Ясно, что если пропускать |
интенсивную |
волну частоты со через |
кварцевую пластинку, изменяя длину оптического пути, проходимого
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучом в пластинке, |
то поток энергии |
второй |
гармоники, |
выходящий |
из пластинки, |
тоже |
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менится, |
причем |
можно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подобрать |
такие |
усло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вия, |
чтобы поток менял |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся от максимального зна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чения |
до |
нулевого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
рис. |
11.2 |
пока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зана |
экспериментальная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависимость |
|
интенсив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ности |
второй гармоники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
выходе |
|
кварцевой |
|
30 |
20 |
10 |
D |
W |
20 |
30 |
У |
пластинки |
от |
угла г|э |
|
между направлением па |
Рис. 11.2. Экспериментальная |
зависимость |
интен |
дающей волны |
и |
|
нор |
сивности |
второй гармоники на |
выходе кварцевой |
малью |
к |
|
поверхности |
пластинки |
от |
угла |
поворота |
пластинки |
относи |
пластинки. |
|
|
|
|
|
тельно |
падающей |
волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение угла \р эквивалентно изменению длины пути падающей
|
|
|
|
|
|
|
волны в |
пластинке. Действительно, |
если d — толщина |
пластинки, то |
путь Z, |
проходимый |
в пластинке |
лучом, |
равен Z = |
d cos и ме |
няется при изменении |
угла |
Из рисунка |
видно, что |
интенсивность |
второй гармоники на выходе кварцевой пластинки проходит перио дически через ряд максимумов и минимумов.
В экспериментах с кварцевой пластинкой, в которых была снята
|
/max |
зависимость рис. 11.2, отношение |
составляло всего 10_ 1 а . Это |
|
/і(0) |
означает, что ничтожная доля энергии падающей волны преобразова лась в энергию второй гармоники. Однако существуют условия, при которых почти вся энергия падающей волны передается второй гармо нике. Для выяснения этих условий прежде всего обсудим вопрос о фа зовых скоростях падающей волны и ее второй гармоники в среде.
Фазовая скорость падающей волны Ѵф (со) определяется через ча стоту волны и волновой вектор к, соотношением (со) ----- -~. Выра жая фазовую скорость волны через показатель преломления среды,
имеем: |
(со) |
. С другой |
стороны, фазовая скорость |
волны на |
удвоенной частоте уф (2<о) = ^ |
-; |
Так как в области |
нормаль |
ной дисперсии |
показатель преломления увеличивается с ростом ча |
стоты, т. |
е. а (2о>) > а (со), |
то |
(2со) < Ѵф (со), причем |
разность |
фазовых скоростей равна: |
|
|
|
|
|
|
0 ф И - 0 ф ( 2 « ) ) = |
|
(11.60) |
Волны имеют одинаковую (разовую скорость лишь при к2 |
=-- 2кх. Это |
равенство |
можно в общем случае |
представить в векторной |
форме: |
|
|
|
k2=2ki |
|
(11.61) |
Вернемся снова к формуле (11.59). Если разность показателей преломления на частоте второй гармоники [n (2co)j и частоте падаю щей волны In (со)] уменьшается, то расстояние между соседними точка ми, в которых интенсивность второй гармоники обращается в нуль, увеличивается; при выполнении равенства п (2со) = п (со) это расстоя ние обращается в бесконечность. Условие п (2со) = п (со) нетрудно записать в виде равенства фазовых скоростей соответствующих волн:
Как было установлено выше [см. формулу (11.61)1, фазовые ско рости основной волны и ее второй гармоники одинаковы, если выпол
няется условие к2 |
2кѵ. |
|
|
|
Условие равенства фазовых скоростей носит название условия |
синхронизма. При выполнении |
условия |
синхронизма |
величина 2г0 |
в формуле (11.59) обращается в бесконечность. Следует |
отметить, что |
если формулы (11.58) и (11.59) |
получить |
для реального кристалла |
(с учетом рассеяния |
волны в кристалле и нагревания |
кристалла), то |
при выполнении условия синхронизма величина 2z0 будет максимальна,
но |
конечна. |
|
При выполнении условия синхронизма условия передачи энергии |
падающей волной второй гармонике наилучшие. |
|
Обратимся снова к формуле (11.58). Если значение п (2со) достаточ- |
но |
близко к п (со), то для величин г, для которых у - [п (2со)—п (со)] х |
