ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 277
Скачиваний: 10
|
Принимая во внимание, что и0м = |
2ѵ\ со = |
ягі2/4; а0 = |
4/з и |
|||
Л = 0,01563 |
Re2, из уравнения (177) |
можно |
получить |
форму |
|||
лу |
(175). |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, переходное сечение, |
соответствующее |
концу |
||||
начального |
участка, |
располагается |
|
на |
расстоянии |
х и' = |
|
= |
0,0625 Red от полюса струи. |
|
|
|
|
||
|
Чтобы найти длину |
хя начального |
участка, выделим |
в его |
|||
пределах элемент струи постоянной массы радиуса /ур и протя женностью dx и запишем для него уравнение изменения количе ства движения в проекциях на ось х. При этом учтем, что струя
изобарическая, |
а из внешних сил действуют лишь |
касательные |
напряжения Тц, |
вязкости: |
|
|
pQd(a0v) = — Тц2яггрс?д:. |
(178) |
Для решения этого уравнения необходимо установить изме нение радиуса ггр; касательного напряжения т р и коэффициента количества движения ао в зависимости от х. Найдем прежде всего выражение для радиуса ггр границы струи постоянной мас сы на основном участке. Выделим в некотором сечении этого участка, расположенном на расстоянии х' от полюса струи, коль цевой элемент радиусом г и толщиной dr. Расход, проходящий через этот элемент, определяется выражением dQ = 2nruxdr.
|
ггр |
Расход |
струи постоянной массы Q = 2я f uxrdr. С учетом |
формулы |
о |
(172) молено записать: |
Q = 2я их |
ГР |
гdr |
|
|
|
|
|
г \2 |
|
|
|
||
|
1+А |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Введем новую переменную z = |
1 + А (г/х')2. Тогда |
|
||||
2а |
х '2/2Л |
dz и |
Q = |
2яи*м |
л-ГР |
|
dr = — —г dr, откуда гdr = |
dz/г. |
|||||
X |
|
|
|
|
J |
|
Используя формулу (171) и интегрируя, получаем |
о |
|||||
|
||||||
Q = 8яѵх' |
1 |
1 |
п |
|
(179) |
|
д ( - » |
■ |
J |
||||
|
1 + |
|
||||
Приравняем этот расход расходу, протекающему через труб |
||||||
ку, Q = пи: |
|
—ѵа —ѵ nd2 |
(180) |
|||
8яѵх' |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
||
1+ А |
' г р |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
118
Введя безразмерные величины rrp/r0; x' — x'/d и Re = vd/v
из равенства (180) после ряда преобразований находим
|
Для переходного сечения, разделяющего начальный и основ |
|||
ной участки, согласно выражению |
(175), можно записать: х н = |
|||
= |
0,0625 Re. |
_ |
|
|
А |
Подставляя это значение х' в формулу |
(181) и учитывая, что |
||
= 0,01563 Re2, получаем |
rvp/r0 = |
1. Это |
означает, что радиус |
|
ггр струи постоянной массы в конце начального участка равен
радиусу трубки, т. е. на начальном участке струя постоянной массы движется, не расширяясь, и имеет, следовательно, круг
лую цилиндрическую форму. |
Полученный вывод |
согласуется |
с данными наблюдений за |
распространением |
ламинарных |
струй [5]. |
|
|
Определим теперь коэффициент количества движения щ для струи постоянной массы. В начальном сечении струи при парабо лическом распределении скоростей сю = 4/з- В переходном сече
нии |
распределение скоростей выражается |
зависимостью |
(172). |
|||||
Для этого сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\uld(£> |
|
|
ггр |
г dr |
|
|
|
|
2пихм |
|
|
|
||||
|
со |
|
|
|
||||
|
Ѵ2Сй |
ü2Cü |
Jг !1+л(-г 2' 4 |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
«0м, ѵ — и0/2 аа = |
||
Для |
переходного сечения |
/'гр = г0, ихм = |
||||||
= яс/2/4. |
|
|
|
|
что А = 0,01563 Re2, |
|||
Производя интегрирование |
и учитывая, |
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 = 3-И ( Щ |
) 1 |
|
|
Re \2~ |
( |
182) |
|
|
|
|
|
+ ■ |
|
|
||
|
|
|
|
х' |
|
|
||
|
|
|
|
256 |
|
|
||
Переходное сечение |
располагается |
на |
расстоянии |
х н |
= |
|||
= 0,0625 Re от полюса струи. Подставляя это значение в фор
мулу |
(182) и производя вычисления, находим, что ао = 1,165. |
||
Таким |
образом, для струи постоянной |
массы |
коэффициент |
количества движения изменяется по длине |
начального участка |
||
от 1,33 на срезе трубки до 1,165 в переходном сечении. |
|||
Для определения касательного напряжения |
в я з к о с т и , дей |
||
ствующего на внешней цилиндрической поверхности струи постоянной массы, необходимо знать градиент скорости дих/дг при г = Го, так как тр = ц (дих/дг)г=г0■ Величину градиента оп-
119
ределяют для граничных сечений начального участка. В началь
ном |
сечении |
при |
параболическом |
|
распределении |
|
скоростей, |
||||||||||
определяемом |
уравнением |
их/и0х = 1 — (г/г0) 2, |
градиент |
ско |
|||||||||||||
рости (дих/дг) г=Го |
= |
— 2и0х/г0. В |
переходном |
сечении распре |
|||||||||||||
деление скоростей |
выражается |
зависимостью |
(172). |
Градиент |
|||||||||||||
скорости для этого сечения может |
быть |
получен |
в |
следующем |
|||||||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ |
дих |
|
АиохАго |
|
|
|
|
0,01563 |
|
|
|
|
|
"од- |
|||
|
|
|
|
[1+ |
4 |
|
Ы |
|
] |
||||||||
V |
дг |
Г |
/ |
Г |
Л-2 |
|
|
|
|
го |
|||||||
|
|
|
\2 1 3 |
|
|
|
Г |
0.01563 |
/ |
Re |
\2] |
|
|||||
|
|
Но для переходного сечения х' |
= |
0,0625 Re, поэтому |
|
||||||||||||
|
|
|
|
дих |
= - 0 . 5 |
Чах |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
дг г=г0 |
|
|
|
Го |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для произвольного |
сечения |
начального |
участка |
градиент |
||||||||||||
(dujdr ) r_r0 |
можно представить |
следующей |
зависимостью: |
||||||||||||||
|
|
|
|
дих |
— |
|
f(x* |
Чох У |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
~дГ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Го |
|
|
|
|
|
|
||
где |
f(x# ) — некоторая |
функция |
|
относительного |
|
расстояния |
|||||||||||
**х/Л'„.
В настоящее время данные об изменении функции f(x * ) по длине начального участка отсутствуют, однако можно найти ее приближенное выражение, воспользовавшись известными значе ниями f(x..i:) на концах начального, участка, а также условием асимптотического приближения функции /(х .,.) к значению 0,5 Это значение, достигаемое в переходном сечении, на основном участке, где имеет место автомодельное течение, сохраняется постоянным.
Представим функцию /(х * ) в виде полинома, ограничиваясь тремя его членами:
f(x^) = a + bx^ + cx].
Коэффициенты a, b и с находим из следующих граничных
условий: /(0 ) = 2 ; /(1 ) = 0,5; |
d^ x*). |
0. При этих |
|_ |
dx* |
J X,= 1 |
условиях функция f(x%) имеет вид:
/(**) = 2 — Зх*+ 1,5х;.
Радиальный градиент скорости на границе струн постоянной массы в пределах начального участка можно представить следующей зависимостью:
дих |
= — (2 — Зх* + 1,5х®)- Чох |
(183) |
~дГ |
Го |
|
120
Обратимся теперь к уравнению (178). С учетом полученных данных его можно записать в виде:
pQuda0 = p (2 — Зх* + l,5xf) —— -2nr0dx.
Так как Q = осо, а со |
= |
-----, то |
|
|
4 |
р d aQ° Kd |
= |
2лр (2— Зх.н + 1,5х^) uÜKdx. |
4 |
|
|
тогда
1,165 |
1 |
Re [ |
da0= 16xH f (2 — Зх* + 1,5x']) dx^. |
I ,33 |
ü |
После интегрирования получаем, что хи = 0,0103 Re или
х„ = 0,0103 Re d. |
(184) |
Полюсное расстояние х0 = х'и — хн определим с учетом фор мул (175) и (184): х0 = 0,0625 Re d — 0,0103 Re d = 0,0524 Re d.
Значение коэффициента, полученное по этой формуле, совпадает с данными опытов [14]. В общем виде формулу для х0
можно записать:
Xg = £ 0 R e d . |
(185) |
Длина ламинарной части свободной струи. Для определения |
|
местоположения сечения перехода можно воспользоваться |
ана |
логией между переходом пристенного ламинарного пограничного слоя в турбулентный вблизи тонкой плоской пластины, обтекае мой в продольном направлении безграничным потоком и пере ходом ламинарной свободной струи в турбулентную [30].
Для пристенного пограничного слоя число Рейнольдса,
составленное по длине (отсчитываемой |
от передней |
кромки |
пластины до сечения перехода), скорости |
набегания |
потока и |
кинематическому коэффициенту вязкости, |
при заданной возму |
|
щенное™ набегающего потока есть величина постоянная. С из менением возмущенное™ меняется и указанное число Рейноль дса (см. п. 5 гл. II).
Для струи |
аналогичное число Рейнольдса |
можно |
составить |
|
по длине |
Хо + |
хп (рис. 43), отсчитываемой от |
полюса |
ламинар |
ной струн |
до |
сечения перехода, и средней скорости ѵ |
на срезе |
|
сопла:
(* 0 + -ѵ'п) Ѵ_ f' |
(186) |
|
V |
||
|
121