Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

е. Гидродинамические модели

Гидродинамические уравнения можно вывести из уравнения Больцмана вычислением моментов в пространстве скоростей и добавлением некоторого уравнения состояния. При этом ценой потери некоторых физических эффектов, описываемых моделью частиц, удается получить легко решаемую систему дифферен­ циальных уравнений в частных производных для макроскопиче­ ских значений плотности и средней скорости. Эта система не может описывать изменения в форме распределения по скоростям, кине­ тические неустойчивости, а также задачи, связанные с учетом взаимопроникновения пучков или большого ларморовского радиу­ са, так как такие задачи нельзя описать полем средней скорости. Если, кроме того, предположить наличие квазинейтральности, как это делается в случае магнитогидродинамической модели, то потеряются и эффекты инерции электронов и электронных плаз­ менных колебаний. При некоторых разумных и обоснованных приближениях гидродинамические модели обычно гораздо точнее описывают реальные физические установки, чем модели частиц. С другой стороны, очевидно, что модели частиц больше подходят для изучения основных микроскопических плазменных явлений.

Переходим к описанию некоторых приложений моделей частиц в различных областях физики.

2. Физика плазмы

Модель частиц была использована при изучении переноса плаз­ мы поперек стационарного внешнего магнитного поля. Во многих физических экспериментах наблюдалось, что такой перенос на несколько порядков превышает тот, который можно объяснить столкновениями частиц плазмы. Целью численного эксперимента было выяснение возможности воспроизведения такой аномально высокой диффузии.

На фиг. 13 показано развитие во времени одного численного эксперимента. Электроны и ионы изображены в верхних левом и правом квадратах на каждой фигуре. Частицы с полумаксвелловским распределением по скоростям инжектируются через верхнюю границу квадратной области. Система продолжена периодически влево и вправо, а нижняя сторона квадрата соответствует стенке камеры. Сильное магнитное поле направлено перпендикулярно к рассматриваемой области. Ларморовский радиус как электронов, так и ионов меньше чем расстояние до стенки, так что в отсутствие каких-либо дополнительных эффектов нет никакого переноса плазмы к стенке. Масштаб величин таков, что ларморовские радиусы нельзя считать малыми; в этом случае наиболее естественно использовать модель частиц.

и особенно при t = 800. Эффект образования желобков в электро­ статическом потенциале виден на аксонометрическом изображении потенциальной поверхности. На этом изображении стенка нахо­ дится со стороны читателя. При t = 800 на потенциальной поверх­ ности наблюдается сильная волна. Электрическое поле этой волны параллельно стенке, и дрейф в скрещенных полях, Е X В/В2, вызывает движение плазмы к стенке.

Мы уже упоминали, что модели частиц сильно увеличивают столкновительные эффекты и что столкновительные эффекты вызы­ вают диффузию плазмы поперек магнитного поля. Поэтому при­ менение модели частиц для изучения диффузии нуждается в обос­ новании. Описываемый эксперимент проводился на IBM 7090 при максимальном количестве частиц 2000 и таком масштабе величин, что на дебаевский квадрат приходилось около десяти частиц. Было установлено, что в этих условиях весь перенос частиц вблизи плоскости инжекции может быть объяснен столкновения­ ми, но в большой части области (и особенно вблизи стенки) перенос можно целиком объяснить колебаниями потенциала. Для под­ тверждения этого вывода был проведен контрольный эксперимент, в котором колебания потенциала были искусственно подавлены, что привело к уменьшению переноса до нескольких процентов ■от первоначальной величины. На вычислительных машинах третье­ го поколения, позволяющих изучать движение 100 000 частиц, можно проводить эксперименты, в которых столкновительные эффекты пренебрежимо малы.

Расчет выполнялся на сетке 48 X 48. При 1200 частицах шаг по времени требовал 1,73 с счета на IBM 7090 без учета времени вывода на экран.

3.Электронные приборы

а. Модель ионной пушки

На фиг. 14 показано временное развитие модели плазменной ионной пушки. В верхней трети квадратной области содержится плазма, из которой с помощью набора электродов вытягивается пучок ионов. На электродах поддерживаются заданные значения потенциала, для чего использован метод матрицы емкости, опи­ санный в § 2, п. 6. Кроме того, необходимо определять моменты уда­ ров отдельных частиц о поверхность электрода, с тем чтобы зареги­ стрировать эти события и удалить каждую такую частицу из моде­ ли. Расчет этих событий требовал много времени, так как в прин­ ципе должна быть проверена возможность перехвата каждой частицы каждым электродом. Это время несколько снижалось за ■счет того, что проверка проводилась лишь для частиц, находящих-

ся в определенной близости к электродам. Таким образом, большая

возникла трудность в связи с изменением плотности. Если бы все машинные частицы обладали одними и теми же зарядом и массой, то все частицы находились бы в области плазмы и едва ли какиенибудь частицы оказались в области пучка. С целью уменьшения этой трудности для моделирования пучка была введена группа легких ионов, с зарядом и массой, составляющими 0,1 от соответ­ ствующих характеристик частиц плазмы. Когда частица плазмы попадала в область пучка, она делилась на десять легких ионов, распределенных в небольшой окрестности исходной частицы. Начиная с десятого шага, можно было наблюдать, как образовав­ шиеся группы частиц вытягиваются из плазмы. Но даже несмотря на такую уловку, описание области пучка в изображенной на фиг. 14 модели из 2000 частиц было слишком грубым. Тем не менее можно надеяться, что результаты эксперимента на ЭВМ третьего поколения для модели, содержащей 100 000 частиц, будут вполне удовлетворительными.

б. Виртуальные электроды в цилиндре

Хокни [19] на двумерной численной модели изучал поведение заряженных частиц, инжектируемых в откачанный цилиндр. При некоторых значениях тока инжекции внутри образовывались устойчивые виртуальные электроды. Устойчивость таких элект­ родов важна в исследованиях по контролируемому термоядерно­ му синтезу для обеспечения работы некоторых электростатиче­ ских ловушек, описанных Хиршем [40].

На фиг. 15 показано развитие во времени системы с четырьмя отдельными инжектирующими пушками. Вначале инжектируе­ мые электроны проходят прямо сквозь систему (от t = 0 до t = 40). При t = 50 пространственный заряд попавших в систему элект­ ронов становится достаточным для того, чтобы замедлить, а затем и вернуть инжектированные частицы к месту на стенке вблизи точки инжекции. К моменту t — 70 против каждой пушки обра­

в виде фонтана. Численная модель давала возможность показать устойчивость виртуальных электродов по крайней мере в течение восьми пролетных времен частицы.

Этот пример в большей степени, чем остальные, показывает полезность модели частиц. Геометрия и нелинейность задачи исключают возможность применения аналитических методов,

а сложное взаимопроникновение электронных пучков (характер этого взаимопроникновения меняется со временем) служит пре­ пятствием для применения гидродинамической модели. Кроме того, присутствие в модели лишь одного сорта частиц устраняет трудности с масштабом времени, часто возникающие в моделях частиц.

Вычисление потенциала проводилось на квадратной сетке 48 X 48, причем потенциал на цилиндрической поверхности под­ держивался примерно равным нулю с помощью метода матрицы емкости. Один временной шаг требовал 4 с счета на IBM 7090, включая и время записи на магнитную ленту для последующего построения графиков на устройстве микрофильмирования 4020 фирмы «Штромберг — Карлсон».

4. Сильное магнитное поле и вихревое течение

Леви и Хокни [30] проводили численное изучение устойчивости

и нелинейного поведения электронных пучков низкой плотности

всильном магнитном поле. Эта работа была вызвана новой идеей ускорителя тяяшлых ионов (HIРАС): ионы попадают в глубокую

потенциальную яму, которая создается электронами, удерживае­ мыми сильным магнитным полем [41].

На фиг. 16 показана модель линейного варианта такой установ­ ки. Система периодически продолжена влево и вправо, а на верх­ ней и нижней сторонах квадрата поддерживается нулевой электро­ статический потенциал. Сильное магнитное поле, направленное перпендикулярно к рассматриваемой области, удерживает пучок электронов в центре системы (ларморовский радиус электронов мал по сравнению с размерами пучка и установки). Самосогла­ сованное электростатическое поле пучка имеет противоположные направления для электронов, находящихся сверху и снизу от центральной линии. Следовательно, и дрейф электронов в скре­ щенных полях, Е X В/В2, направлен в разные стороны сверху и снизу от центральной линии. Это приводит к сдвигу в распре­ делении по скоростям.

Линейный анализ показывает, что если пучок тоньше, чем Ѵ5 пространственного периода, то система неустойчива по отно­ шению к образованию вихрей. На фиг. 16 изображен случай доста­ точно тонкого пучка, в котором неустойчивы несколько длин волн. Наибольшим инкрементом обладает мода т = 3, поэтому вначале образуются три вихря (t = 30), которые затем объединяются в два вихря (t = 60) и, наконец, в единственный устойчивый вихрь (t — 100 — 400).

Этот результат интересен; он показывает, что неустойчивость не всегда приводит к разрушительным последствиям, поскольку ни один из электронов не достигает стенок камеры. Режим линей-

ного роста (от t = 0 до t = 30) исследован теоретически, и пред­ сказанные инкременты хорошо совпали с наблюдаемыми в чис­ ленной модели. Но численная модель обладает тем преимущест­ вом, что она предсказывает нелинейное поведение при больших амплитудах, которое, видимо, трудно изучать иными методами.

Можно показать [30], что поток электронов в сильном магнит­ ном поле в точности аналогичен движению системы вихрей в дву­ мерной несжимаемой невязкой жидкости. Это означает, что фиг. 16 можно рассматривать как изображение неустойчивости Кель­ вина — Гельмгольца, возникающей на границе раздела двух потоков жидкости с разными скоростями. Таким образом, модель настиц дает еще один метод решения гидродинамических задач, содержащих системы вихрей, в котором жидкость описывается движением большого количества отдельных вихревых нитей. Сохранение интенсивности вихря переходит при этом в сохране­ ние числа вихревых нитей (сохраняется точно), а функция потока ф вычисляется по интенсивности вихря £ с помощью уравнения Пуассона. Таким образом,

у 2ф = £ (х, у),

а поле скоростей определяется производными

Сэтой точки зрения фиг. 16 иллюстрирует передачу энергии

вдвумерной турбулентности от коротких волн к длинным — в на­ правлении, противоположном таковому в трехмерном случае.

Заметим, что двумерную турбулентность трудно создать в лабо­ раторных условиях, но ее легко точно воспроизвести в двумерной численной модели. Аналогичный подход применяли Абернэти и Кронауэр [42] при изучении вихревой дорожки Кармана.

Описанные расчеты были выполнены на IBM 7090 с простран­ ственной сеткой 48 X 48. При 1000 заряженных частиц один шаг по времени требовал 2,1 с. Сюда входит и время записи координат настиц на выходную ленту для изготовления фильма с помощью устройства 4020 фирмы «ІПтромберг — Карлсон».

5. Моделирование галактик

Существует очевидная аналогия между движением ионов и электронов в электростатическом поле полностью ионизованной плазмы и движением звезд в гравитационном поле галактики. В обеих физических системах пренебрежимо мала роль столкнове­ ний, чем и обусловлена пригодность описанной выше моделичастиц. Для перехода от плазменной модели к гравитационной достаточно лишь изменить знак вычисляемого потенциала, чтобы обеспечить