ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 331
Скачиваний: 6
258 |
|
|
Гл. 6. Система частиц конечных размеров |
||||
4. |
Hockney |
R . |
W., Phys. Fluids, 9, 1826 (1966). |
||||
5. |
Hess R ., ASD Tech. Report 61-15, Aero. Syst. Div. AF Syst.Comm., USAF |
||||||
6. |
W right |
Patterson |
Air |
Force Base, |
Ohio, |
1961. |
|
Mihran |
T. |
G., Y u |
S. |
P., Journ. Appl. Phys., 34, 2976 (1963). |
|||
7. |
Fried B. D., |
Conte S . D., The Plasma Dispersion Function, New York, 1961. |
|||||
8. |
Jackson |
J . |
D., Journ. |
Nucl. Energy |
(Part |
C), 1, 171 (I960). |
|
9.Morse R . M ., Nielson C. W., Phys. Rev. Lett., 23, 19, 1087 (1969).
10.Birdsall С. K., FussD ., Journ. Comput. Phys., 3, 494 (1969).
11.Morse R . L., Nielson C. W., Paper A4, в трудах [1].
12.Harlow F. H ., Evans W. M ., Los Alamos Scientific Lab. Report LA-2139, 1957.
13. |
Harlow |
F. |
H., |
Journ. Assoc. Comput. Mach., 3—4, 137 (1956—1957), |
14. |
Harlow |
F. |
H., |
Meth. Comput. Phys., 3, 319, New York, 1964. |
ГЛАВА 7
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
Дж. Байерс*, Дж. Киллин**
§ 1. Введение
Конечно-разностные методы, пригодные для математических моделей плазмы, в которой преобладают столкновения, обсужда ются в других главах настоящего тома. В частности, подробно обсуждается решение уравнения Больцмана — Фоккера — План ка и уравнений магнитной гидродинамики. Однако большинство теоретических работ последнего времени, особенно в исследовани ях по управляемому синтезу, основывалось на приближении бесстолкновительной плазмы. В настоящей главе мы рассмотрим конечно-разностные методы, пригодные для решения некоторых таких задач.
В большей части работ по численному решению уравнения Власова используется представление Лагранжа, т. е. интегриру ются траектории большого числа частиц (листов, стержней, обла ков и т. д.) и по этим распределениям частиц вычисляются плот ности зарядов и токов. В настоящей главе мы будем использовать эйлеров подход для уравнения Власова в фазовом пространстве. Будут даны методы прямого решения уравнений для функций распределения. Вначале рассматриваются некоторые методы и при меры для двумерного фазового пространства. Затем подробно обсуждаются проблемы в четырехмерном пространстве.
В § 3 мы обсудим некоторые задачи, используя уравнения движения в дрейфовом приближении. Здесь мы снова используем эйлерово представление для изучаемых моделей. Первым примером будет линейная модель, используемая при изучении устойчивости плазмы в ловушках с магнитными пробками. Обычная процедура решения таких задач состоит в том, чтобы получить дисперсионное уравнение и затем попытаться решить его. Мы же в этом примере будем исходить из задачи с начальными условиями для возмуще ний электрического поля и плотности ларморовских центров частиц. Описан конечно-разностный метод, с помощью которого решается сформулированная задача с начальными условиями.
* Jack A . Byers, Lawrence Radiation Laboratory, University of Califor nia, Livermore, California.
** John Killeen, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, California and Department of Applied Science, University of California, Davis, California.
17*
260 |
Г л . 7 . М о д е л и п л а з м ы без с т о л к н о в е н и й |
Затем в порядке изучения неустойчивостей плазмы с большими амплитудами колебаний мы рассмотрим двумерную нелинейную задачу. При этом используется двухжидкостная модель и реша ются уравнения в эйлеровой форме. Важной частью этого пара графа является обзор различных разностных аппроксимаций производных по времени в уравнениях для плотностей частиц.
§ 2. Ч и с л е н н о е р е ш е н и е у р а в н е н и я В ласова
1. Одномерные модели
а. Введение
Рассмотрим систему уравнений
9fe dt
dfi dt
dE dx
|
dfe |
,- v ~ - |
|
1 |
dx |
|
- 4 |
а |
= |
4яе |
|
m |
I?*=1= o , |
||
|
eE |
|
|
|
■ + eE |
\dfi |
= 0 , |
||
dv |
||||
1 |
M |
|
||
-foo
i № - f e ) du,
— оо
(1)
(2)
(3)
где / е (X, V, |
t) и fi (X, и, t) — электронная и ионная функции рас |
|
пределения, |
М я т — массы |
ионов и электронов, + е и —е |
(Z = 1) — их заряды и Е (х , t) |
— напряженность электрического |
|
поля. |
|
решения этой системе уделялось, |
С точки зрения численного |
||
вероятно, больше внимания, чем любой другой в физике плазмы. Это обусловлено ее ясным, простым видом и важностью в фунда ментальных проблемах физики Плазмы. Такое приближение используется при изучении неустойчивостей, например двухпото ковой неустойчивости, в теории бесстолкновительных ударных волн, затухания Ландау и в других задачах. Его называют «нели нейным уравнением Власова», что несколько длинновато. Очевид но, что оно нелинейно, так как Е зависит от / е и / г. Однако много усилий было затрачено на аналитическое решение линеаризован ного уравнения Власова.
Мы будем записывать уравнение (1) или (2) в виде |
|
|||
1L |
EL |
LL |
0. |
(4) |
dt |
дх |
дѵ |
||
Уравнение (4) можно переписать |
так: |
|
|
|
(5)
§ 2 . Р е ш е н и е у р а в н е н и я В л а с о в а |
261 |
где
=JL л- F —
Dt dt “Г Ѵ дх + Г дѵ '
Мы будем ссылаться на уравнения (4) и (5) как на эйлерову и лагранжеву формы уравнения. Уравнение (5) означает, что / оста ется постоянной вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнениям
( 6)
(7 )
т. е. fj постоянна вдоль кривых х, (t), Vj (t), где Xj (t) и Vj (t) — решения уравнений (6) и (7) при х (0) = Xj, ѵ (0) = Vj. Различные модели «листов» основываются на уравнениях (5)—(7). Другой метод, который также основан на уравнениях (5)—(7), называется моделью «водяного мешка». В этом методе используется кусочно постоянная функция распределения, и границы областей, в кото рых функция / постоянна, вычисляются как функции времени, интегрированием уравнений (6) и (7) для конечной сетки гранич ных точек. С помощью такой системы дискретных точек на каж дом шаге по времени строится новая граничная кривая.
Третий метод дает решение уравнения Власова в форме (4) и основан на двойном разложении / (х , v, t) по ортогональным функциям от ж и г;. Коэффициенты в разложении являются функ циями времени и удовлетворяют бесконечной системе обыкновен ных дифференциальных уравнений. Ряды обрываются, начиная с некоторых номеров, и полученная конечная система уравнений решается численно.
Три названных метода детально обсуждаются в других главах этой книги.
Четвертый метод представляет собой решение уравнения в эй леровой форме непосредственно методом конечных разностей.
Уравнения (1) и (2) можно записать |
в виде системы уравнений |
|||
df |
Л А |
df Л- И V |
0, |
( 8) |
-дГ+ А |
+ |
|||
где |
|
|
|
|
7 . |
|
V 0‘ |
В = |
Fe 0' |
J i J |
А = 0 V |
0 F; |
||
причем Fe = — (elm) Е |
и Ft = (еІМ) Е. |
|
||
Уравнение (8) является гиперболической системой, записанной |
||||
в виде системы уравнений |
переноса. |
Мы |
будем также писать |
|
262 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений
ее в виде
df |
dG |
dH |
(9) |
dt ~Т~ дх -г дѵ |
|||
где |
|
|
~Fe fe' |
|
|
н = |
|
|
|
J i fii • |
|
Уравнение (9) является |
гиперболической |
системой, записанной |
|
в консервативной форме. |
В следующем пункте обсуждаются раз |
||
ностные методы для гиперболических систем обоих видов.
б. Разностные методы для гиперболических систем
Гиперболическую систему можно записать в виде
дѴ . . dU . Tr Л |
( 10) |
|
-дГ + А ~д7-ігѴ = 0' |
||
|
где U и Г — ?п-мерные вектор-столбцы, А — т X т-матрица. Система (10) называется гиперболической, если матрица А имеет
только вещественные собственные значения и т линейно незави симых собственных векторов. Так как нас интересует главным образом слагаемое переноса, мы будем использовать более про стую систему
дЦ |
ѳи |
= |
0. |
( И ) |
|
dt |
дх |
||||
|
|
Рассмотрим конечно-разностную сетку с узлами xj = /Дх, tn —
— nAt, где / и п — целые числа и Щ — U (xj, tn). Простейшая разностная аппроксимация уравнения (11)
и г 1= т — ^ г А ц ѵ и ~ ѵ и )
неустойчива [1].
Простой разновидностью ее является схема |
|
|
|
и Г 1 = \ (<7?+ i + U U ) - |
А? (U?+і - |
0, |
(12) |
которая уже устойчива. Условие устойчивости имеет вид \а Д і/Д хК < 1 для всех собственных значений а матрицы А. (Обсуждаемые здесь критерии устойчивости получены в предположении, что коэффициенты постоянны, так что для наших нелинейных урав нений они должны рассматриваться как локальные условия, которые проверяются в ходе вычислений.) Несколько лучше так
§ 2. Решение уравнения Власова |
263 |
называемая разностная схема «вверх по течению — вниз по тече нию» г). Для скалярного уравнения
|
|
|
ди |
ди |
|
|
(13) |
|
|
|
|
dt |
дх |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
эта разностная схема имеет вид |
|
|
|
|
||||
ип+1 = ип----1 |
и?+1 — и?, если |
аѴ'СО, |
(14) |
|||||
иѴ— |
если |
0. |
||||||
] |
о |
А х |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Схема устойчива, |
если |
|а AtlAx \ < |
1. Повышенный порядок точ |
|||||
ности обеспечивает схема «с |
перешагиванием» 2),* |
разностные |
||||||
уравнения которой имеют вид |
|
|
|
|
||||
иг1= иГ1— Дх |
а](иг1 - игі). |
(15) |
||||||
Схема устойчива при условии \а /S.t/Ax\ <С 1, но она невыгодна из-за трехслойности разностных уравнений. Другая схема, кото рая также имеет второй порядок точности, но использует только два временных слоя, основывается на разложении
и Г 1 |
(Аг)2 / dW \п |
(16) |
||
2 |
I д& );• |
|||
|
|
|||
Если матрица А постоянна, то мы получаем разностное уравнение
и Г 1 |
2Ах A (ü?+1' |
■'иг,0+т(■4^)2 1 - 2и?+ игГі)- |
|
At |
|
|
|
(17) |
Если матрица А не постоянна, то уравнение (17) становится гораз до более сложным. Условие устойчивости имеет вид |а At/Ax \ < 1.
В некоторых случаях можно написать систему (11) в консер вативной форме
д и |
dF |
= 0, |
(18) |
dt |
дх |
где F есть ш-мерный вектор-столбец. Разностную схему второго порядка точности для системы (18) можно записать в особенно простой форме, которая называется двухшаговой схемой Лакса — Вендроффа. Она легко обобщается на случай двух измерений и имеет то преимущество, что сохраняет величину U. В качестве первого шага в промежуточных узлах сетки используется урав-
!) В оригинале: the «upstream-downstream» differense] scheme.— Прим,
перев.
2) В оригинале: the «leapfrog» difference scheme.— Прим, перев.
