ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 332
Скачиваний: 6
254 Гл. 6. Система частиц конечных размеров
имеет тот же порядок, что и отношение полученных здесь коэф
фициентов А I] |
(фиг. |
8). |
Однако убывание коэффициента Лц при |
||||||||||||||
|
----- |
|
|
|
|
|
увеличении |
размера |
облака |
||||||||
|
Уравнение Балеску-Ленарда |
зависит |
также |
от |
скорости |
||||||||||||
|
Уравнение Ландау |
|
|
облака. Например, при ѵ/ѵТ = |
|||||||||||||
|
— |
|
|
|
|
|
= 0,5 |
|
отношение Ац (R/XD = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
N d = |
102)/4„ (R/XD = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
— 5) |
fa 5 • ІО3, |
в |
то |
время |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
как при ѵ/ѵТ = 3 это отноше |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ние |
|
составляет |
|
примерно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2,5-ІО2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. |
|
Эффект |
от |
п р о |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
с т р а н с т в е н н о й с е т к и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Обычно |
при |
моделирова |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
нии |
мы используем |
сетку в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
пространстве х |
и определяем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
значения поля только в узлах |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сетки. |
|
Однако |
положения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
частиц |
все |
еще |
изменяются |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
непрерывно. Для связи зна |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
чений |
|
поля, |
определенных |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
только на сетке, и характе |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ристик частиц, |
которые явля |
|||||||||
|
|
|
ѵ/ѵТ |
|
|
ются непрерывными, исполь |
|||||||||||
|
|
|
|
|
зуют |
|
различные |
алгоритмы. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Важно знать, какие измене |
||||||||||
Ф и г . |
8. Коэффициент трения А, |
(по |
ния |
могли |
бы произойти в |
||||||||||||
лученны й из кинетического уравнения, |
физике |
из-за |
использования |
||||||||||||||
пригодного для |
лю бы х |
скоростей) |
для |
нефизической сетки. |
|
|
|||||||||||
сф ерических |
облаков |
с |
гауссовы м |
Рассмотрим |
сейчас |
алго |
|||||||||||
распределением |
как ф ункция скорости |
||||||||||||||||
|
пробного облака. |
|
|
ритм, |
|
который используется |
|||||||||||
Кривая с Nd = ІО2 соответствует точечным |
в методах |
«облака |
в ячейке» |
||||||||||||||
частицам. При |
малых |
скоростях, |
когда |
(СІС) |
|
[10] |
и «частицы в ячей |
||||||||||
Ац — V, |
можно считать, что коэффициент Ац |
ке» (РІС) |
[11], |
причем |
для |
||||||||||||
пропорционален частоте столкновений и, сле |
|||||||||||||||||
довательно, сечению рассеяния, представлен |
простоты |
ограничимся одно |
|||||||||||||||
ному на |
фиг. |
6; |
убывание из-за возраста |
мерным случаем. В обоих |
|||||||||||||
ния R примерно одинаково. При больших ско |
|||||||||||||||||
ростях убывание не так велико. А_р = 0. Ин |
методах |
заряды |
можно |
рас |
|||||||||||||
дексы _]_ |
и II обозначают направления отно |
сматривать как облака, при |
|||||||||||||||
сительно скорости пробного облака. Коэффи |
|||||||||||||||||
циент Ац |
должен |
стремиться к |
нулю, |
когда |
чем элементы каждого заряда |
||||||||||||
могут находиться в несколь ких ячейках; каждый элемент заряда облака с помощью линейной интерполяции приписывается
к ближайшему узлу сетки как при нахождении источников в уравнениях поля, так и при определении сил от полей, дейст-
§ 5. Эффект, от пространственной сетки |
255 |
||
вующих на частицы. Пусть уравнения |
для полей имеют |
вид |
|
Ѵ2ф = |
— 4яр ^ фг+1 — 2фг - ■фг-1 |
= — 4лргАх2, |
|
|
Е = — Ѵф ->■ E t = - Фг+1 |
ф г -1 |
|
|
2/S.X |
|
|
где Е і = Е (іАх) |
и т. д. Действующая на облако сила представ |
||
ляет собой сумму сил, действующих на все его элементарные заря ды, связанные с несколькими узлами сетки.
-----Уравнение Балеску-Ленарда
— Уравнение Ландау
Ф и г . 9. |
Коэффициент диффузии |
Ф и г . |
10. |
Коэффициент диффузии D _[_ |
||||
для облаков, представленных на фиг. 8. |
для облаков, представленных на фиг. 8. |
|||||||
Л || бы стр о |
уб ы в а ет , |
к о гд а |
р а зм ер |
о б л а к а |
С нова |
н а б л ю д а ется убы в ан и е, н о б е з зам етн ой |
||
у в ел и ч и в а ет ся от н у л я . З а в и си м о сть |
от с к о - |
|
зави си м ости от |
ск о р о сти , |
||||
|
р о с т а с л а б а я . |
|
|
|
|
|
|
|
Введение сетки ставит новую проблему. Сила F (х1; |
х2), с кото |
|||||||
рой частица в точке |
действует на частицу в точке х2, может зави |
|||||||
сеть не только от расстояния между частицами, но и от места их |
||||||||
размещения |
на сетке, |
а это нефизично. |
Нефизическую часть |
|||||
можно отчетливо представить себе, если проделать два простых |
||||||||
эксперимента с облаками однородной плотности. |
П е р в ы й : |
|||||||
закрепляем заряд в точке |
и изменяем хг\ при R = O(NGP) сила F |
|||||||
изменяется скачками; при 2R > |
0 (СІС, PIC) сила непрерывна |
|||||||
(dFldx2 изменяется |
скачками). В т о р о й : |
сохраняем расстояние |
||||||
V
256 |
Гл. 6. Система частиц конечных размеров |
||||
между зарядами х |
= |
х 2 — хі постоянным, но изменяем среднюю |
|||
координату X = (хі |
+ |
£2)/2; при R = |
0 сила F опять изменяется |
||
скачками, при R >> 0 сила F снова непрерывна и имеет гораздо |
|||||
меньшие флуктуации, чем при R = 0. |
Графики F легко построить |
||||
или |
можно воспользоваться фиг. 3 |
и 4 из работы Бэрдсола |
|||
и др. |
[21. |
|
|
|
|
Эти эксперименты подсказывают, что силу удобно разделить |
|||||
на две части, F — F + бF, где F — усредненная часть, которая |
|||||
не изменяется при перемещениях |
вдоль сетки, |
||||
|
F(xu x2) = F ( x l - x 2) = - L |
j f |
( x — j , x + ^ ) d x , |
||
|
|
|
|
Дж |
|
а бF |
— нефизическая сила, обусловленная сеткой. |
||||
Если эффектами от бF можно |
пренебречь, то систему можно |
||||
анализировать, используя обсуждавшиеся ранее методы. Напри мер, В ДИСПерСИОННОМ СООТНОШеНИИ НуЖНО УМНОЖИТЬ (iS2) без сетки на (sin kAx/kAx); некоторые предварительные вычисления для
холодной плазмы подтвердили этот эффект [2]. Таким образом, одна из функций сетки — сгладить взаимодействие, что, по наше му мнению, полезно.
Более подробное рассмотрение проблемы силы, обусловленной сеткой, показывает *), что главным следствием силы бF является связь возмущений, обладающих волновым вектором к, с возму
щениями, |
волновой вектор которых отличается от к на величину, |
|
кратную |
2л/Ах. Эта |
связь несущественна, когда XD^ A x . |
|
§ |
6. Н ем ного и с т о р и и |
В ранних численных экспериментах методы, используемые для связи характеристик частиц и сеточных характеристик, выбира лись в основном из соображений простоты вычислений. Например, принималось, что плотность частиц в узле сетки равна числу частиц в ячейке, поделенному на объем ячейки, содержащей этот узел сетки; так считалось в гидродинамическом методе «частицы в ячейке» (РІС) в работах Харлоу и Эванса [12], а также Харлоу [13, 3]. Такое распределение по ближайшим узлам сетки (NGP), примененное к плазме, приводит к некоторому сглаживанию, например уничтожает силы между двумя зарядами противополож ных знаков в одной и той же ячейке [4], но создает скачки плот ности и силы, когда частица пересекает границу ячейки.
Следующий шаг заключался в том, что плотность частиц и сила распределялись по ближайшим к частице узлам сетки путем линей ной интерполяции, как в методе «облака в ячейке», СІС (Бэрдсол и Фасс [10] развили идею Дж. Байерса, высказанную примерно
0 А. В. Langdon, неопубликованные результаты, 1969.■
§ 7. Заключение |
257 |
в 1964 г.), а усреднение скоростей по площади в методе РІС (см. 13], стр. 329) было приспособлено к вычислениям плотности плазмы и силы в методе Морза и Нильсона [11]. Такие интерполя ции устранили скачки плотности и силы, присущие методу NGP, и привели к заметному уменьшению шума [10].
Были проделаны параллельные попытки сглаживать процесс без сетки, чтобы, например, уменьшить ошибку из-за скачка силы, когда сталкиваются частицы нулевого размера (ZSP). Одна из попыток была связана с предположением о том, что плотность заряда является однородной между координатами зарядов [5]; родственным решением было использование тонкого силового цилиндра, указывающего на то, что моделируемый заряд являет ся цилиндрическим облаком [6]. Доусон и др. [1] снижали роль коротковолновых компонент разложения Фурье для поля. Их ре шения позволяли частицам относительно гладко проходить друг через друга.
Все эти шаги сыграли свою роль в эволюции концепции обла ков и стимулировали развитие изложенной здесь физики облаков.
§ 7. З а к л ю ч е н и е
Мы рассмотрели основные свойства плазмы, состоящей из частиц конечного размера (облаков), чьи взаимодействия сгла жены на малых расстояниях. Мы нашли, что, когда размер облака R меньше дебаевской длины XD, продольные волны и дебаевское экранирование почти такие же, как и для «реальной» плазмы, в то время как столкновения (и коротковолновые флуктуации, которые рассмотрены в других работах) сильно уменьшаются. Этот вывод не является неожиданным и подтверждает тенденцию к использованию моделей, которые содержат такие «искусствен но» сглаженные взаимодействия. Когда размер облака R становит ся больше дебаевской длины XD, столкновения и флуктуации быстро исчезают, но свойства плазмы сильно изменяются.
Благодарности. Наша группа в Беркли имела полезный контакт с Дж. Доусоном и его группой в Принстоне, за что мы им очень благодарны.
Мы |
также тесно сотрудничали |
с членами группы моделирования плазмы |
|
в |
Лоуренсовской |
радиационной лаборатории (Ливермор), особенно с |
|
Дж. Байерсом, X. |
Бэрком и Д. |
Фассом. |
|
ЛИТЕРАТУРА
1.Dawson J . М ., Ilsi С. G., Shanny R ., Paper AI, Conf. Numerical Simulation Plasma. Los Alamos Scientific Lab., LASL Report LA-3990. См. реферат
в Bull. Amer. Phys. Soc., 13, 1744 (1968).
2. |
Birdsall C. K., |
Langdon A . В., McKee C. F., Okuda H .,' Wong D., Paper |
3. |
D2, в трудах |
[1]. |
Harlow F. H., |
в книге Meth. Comp. Phys., vol. 3, New York, 1964, p. 319. |
|
17-01236 |
|
|
