Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 328

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3. Вывод аппроксимационных схем

319'

которую следует рассматривать как функцию ап, ßm,y ы, ат, хм и, возможно, t. Этот гамильтониан несколько отличается от ана­ логичной величины для обычной механической системы, так как в него не входят импульсы, сопряженные с ап. Это случилось

потому, что ап не входят в L. Тем не менее, используя (36)—(38)г нетрудно доказать справедливость следующих гамильтоновых уравнений движения:

*

дН

 

„ .

^

= ^ 7 -

 

(39а>

Хк1~ ~ Ж 1 ’

 

(39б)

 

^ 15^ ’

 

(39в*

® » = - Ж Г ’

 

<39г>

1

^

=

0 .

Как и в случае последнего уравнения Эйлера — Лагранжа (36в),

последнее уравнение Гамильтона,

(39д),— не дифференциальное;

в принципе его всегда можно

решить, выразив

ап (t) через

остальные переменные.

следует

 

Из уравнений Гамильтона

 

 

d H

__ d H

(40)

 

d t

 

d t

 

 

 

Это уравнение и выражает теорему энергии. Оно

справедливо

при л ю б о м выборе функций Ф,

и

(32). Интересен частный слу­

чай,

когда ни одна из функций Ф,

и Мь, не зависит от времени

я в н о .

Тогда уравнение (40) имеет тот же вид, что и аналогичное

соотношение для реальной физической системы, так как правая

часть может отличаться от нуля, только

если функции р0 (г, t),

Іо

(г, t) и U (г, V,

t) зависят

от

времени

явно.

Если же и р0, j0

и

Uk не

зависят

от времени явно, то

в

реальной физической

системе

энергия сохраняется

и

уравнение

(40)

сводится к

 

 

 

 

d H

0 .

 

 

(41)

 

 

 

 

 

 

 

d t

Из (41) следует, что в случае рассматриваемой аппроксимационной схемы, как и в реальной физической системе, энергия сохраняется.

В заключение приведем формулы для L и Н в случае, когда отсутствует материальная среда и ни одна из функций Ф, j f и Мъ. не зависит от времени я в н о . Общие формулы будут приведены в приложении Б.

3 2 0

 

 

Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

 

 

 

 

 

 

Так

как

материальная среда отсутствует, то

яр (Е ,

г,

t)

и X (В, г, і)

имеют простой вид, (13),

и потому D =

Е и Н =

В

Ісм. (14)]. Учитывая, что функции не

зависят от времени явно,

мы

будем

писать в

формулах Ф [г, {ап (t)}],

J#lr,

{ßm

(£)}]

и

Ли

tr',v ',

{yki (0}]

вместо Ф [г, t,

{ап (і)}], &

[г, t,

{ßm

(*)}І

и j#ft[r', v',

{Yhz(0}b Выражение для L можно получить, если

подставить эти функции в уравнение

(16):

 

 

 

 

 

2

J л'Л'Ѵ»c'.

о)

 

[ 2 т«Цг]!-

 

h=l

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

- ^ ( ^ ( г ' . ѵ ' . Ы ) , ^ ^ , t ) -

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

— Qk®{Mk( r', v', {уйг}), {«п})-г

 

 

+ I

Qk [ 2 т« - I f f ] • Я {Ми (г'’, V', {VW}), {ßm}) } +

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

+ J dh{і [ ~ ѵф(г’ К } ) - т 2 ß- ж ; ] 2-

 

 

V

 

 

 

 

 

m

 

 

 

“

¥

1V x,i#(r, Iß'»})]2 — Po (r, t) Ф (r, {an}) +

 

 

 

 

 

 

 

+ -ij(r,* ).j# (r,{ ß m})}.

(42)

Обобщенные

импульсы

[см.

(37)] имеют вид

 

 

° т -

ій г

I Л ж

- [

ѵф<г' (“ " » + т 2 ß- ж ] ■

(43а)

t hl = j

d*r'd*v'fh(r', v \

0) - Ц - . [Ми 2

Ум

дМи

 

 

— ^yUh{Mh {г',

Ѳум

І /" в ^г

 

дуиі

 

 

v ',

 

(Tfe7->), t)V,

ѴмШи/дѴы)

 

 

 

 

 

 

 

 

v= 2

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

V &•*(■#*(r',

V', {yJh}), {ßm})} .

(436)

В выражении (43а) обобщенный импульс ат и обобщенные скоро­

сти ß; связаны линейной зависимостью. Если Uh (г, v, t) равно нулю или зависит от скорости только через ѵ2, то уравнение (436) тоже связывает линейной зависимостью обобщенный импульс хы

и обобщенные скоростиyhi. Если не накладывать каких-либо огра-

 

 

 

 

 

 

§ 4. Конечное число частиц

 

 

 

 

 

 

 

321

ничений на Uk (г, v, t), то гамильтониан (38) принимает вид

 

Н = У}

 

j

dh' d W fh (r',

v',

0 ) { 4 ' М ъ{ ЗѴ йг-

^

-

 

] 2 +

 

 

Й

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2г

 

 

"

1

ГUh{Mk {v',

v',

{

V

f

e

 

z Ум» -,

 

<>Уы '-

2

*

) ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

думг

 

-\-QkQ>(-&h(r',

 

 

 

 

 

 

 

~,+

 

 

1 Vhl(d&k!dVki)S ( « п

 

Ѵ

*

г

V

І

7

 

й

г

’

}

)

 

 

} ) }

 

 

 

а

д

*

 

 

 

 

ІУм}),

V

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

] -

V

v

£

 

M

 

 

^

 

 

M

 

 

r

'

,

V

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

djf.

- 1

2

 

 

 

 

( •

-

^

[

 

Ѵ

 

 

Ф

(г, t);-г2

 

ß

m,

{

J +

.

 

 

 

іРѵ

 

 

1

2 г

[+

 

(

 

г \

а

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

m

 

Т

 

5

dßm

 

 

 

 

 

 

 

 

t'V X

(Г’

Iß™})]2 +

Po

 

 

 

Ф (r, («„}) —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 7 "/o(r,

 

 

 

 

 

 

 

{ßm})|

,

(44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

где обобщенные скорости нужно выразить через обобщенные координаты и импульсы с помощью (43).

§ 4. С л у ч а й кон ечн ого чи сла ч а сш и ц

Вариационный подход легко применить для численного моде­ лирования плазмы с помощью конечного числа точечных частиц. Простейшие численные методы для конечного числа частиц тесно связаны с другими находящимися в употреблении методами [3—5]. При конечном числе точечных частиц вариационный метод при­ водит к специфичным аппроксимационным схемам для потенциалов и к специфичным методам расчета полей, которые входят в урав­ нения движения частиц. В этом параграфе мы рассмотрим два частных случая: одномерный электростатический случай и дву­ мерный электростатический случай.

1.

Одномерный электростатический случай

 

Рассмотрим

случай одной пространственной переменной

х

с периодическими граничными условиями, налагаемыми при х =

0

и X = %. Будем рассматривать только один тип частиц при наличии заданного однородного нейтрализующего фона с плотностью заряда р0. Векторный потенциал можно положить тождественно равным нулю, так как имеется только одно измерение. Начальная

21-0 1 2 3 6

322

Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

функция распределения задается суммой 8-функций:

N3

f(x', v', 0) = 2 8 (x' — Xi)ö(v' — Vi), (45) t=i

где Xi и Vi — соответственно координата и скорость t-й частицы и N 3 — число частиц. У функции в рассматриваемом случае будет только одна х-компонента. Обозначив эту компоненту через £, выберем I и Ф в виде

 

 

N1

 

 

Ф [х,

t,

{ап (£)}] = 2

“ п (0 Фп (х)

(46а)

 

 

П~1

 

 

 

 

Nз

ѵ')-

(466)

[x', г;',

*,

{уг ( * ) } ] = - 2

 

 

i= 1

 

 

Соотношения (46) — частный случай (33). Функции Ф,г (х) долж­ ны удовлетворять граничным условиям при х = О и х = X. Так как начальная функция распределения сингулярна, удобно опре­ делить величину Х г так:

 

Хі(х', н') = {

1 ,

если х' = хі и v' —ѵі,

(47)

 

О в других случаях.

Тогда начальные условия для уг (t) будут иметь вид

 

 

 

Уі (0) =

хі

и yt (0)=vi.

 

(48)

Очевидно, что уг (t) — координата частицы I в момент t.

Подстав­

ляя (45) и (46) в лагранжиан (42), получаем

 

 

%

N3

 

 

 

 

 

 

N3

 

L = j dx' j

d v'2

6 ( x ' - x t) 6 ( v ' - v i )

{ 4 - M ^ y i X i i x ’, v ' ) J -

 

i = l

 

 

 

 

 

 

г=1

 

 

— Q 2 « п Ф „ (

2 УіХі{х’, г / ) ) }

+

 

 

 

n = l

 

 

1

 

 

 

X

 

N1

 

■= 1

JVi

 

 

j

{"жг [ 2

«»фп(*)]2-Ро 2

=

 

0

 

JV3

ti= 1

 

 

JVi

n = l

 

 

 

= 2

 

 

 

 

2

а »ф » ы }

+

 

 

Ä.

1= 1

 

 

A'l

 

n = l

JVi

 

 

4“ J d x

 

 

2

апфn(>r)J

Po 2 апФп('Г)}’ 1

(49)

71—1

71=1

§ 4. Конечное число частиц-

323

где

ф п(г) = - ^ Фп (*)■

Уравнения Эйлера — Лагранжа (36а) и (36в) для этого лагран­ жиана имеют вид

 

м Уі = — Q 2

«г (0 Фі (уі),

(50а)

 

г = 1

 

 

АТ1

к

X

N3

 

-4^- 2 ai J ЛхФі И ф " (х) = Po

j dx®n (x)~\-Q 2

ф п (У і)- (506)

г=1

0

0

1=1

 

Уравнение

(50а) — обычное уравнение

движения

для частицы

с номером I, а уравнение (506) — некоторая аппроксимационная схема для решения уравнения Пуассона. Вследствие (41) из этих уравнений следует закон сохранения энергии.

Простой частный случай уравнений (50) тесно связан с чис­ ленным методом [3]. Из вариационного подхода следуют вариант этого метода, а также различные обобщения, в каждом из которых энергия сохраняется. Вариант метода [3], в котором энергия сохра­ няется, можно получить, если для скалярного потенциала использовать кусочно-линейную аппроксимацию. Мы приравняли скалярный потенциал в крайних точках ж = 0 и х = К нулю и использовали локальный базис для периодических, кусочно­

линейных

функций,

которые в крайних точках

обращаются

в нуль. Локальные

базисные

функции — это функции

gn (х):

 

(1/А) [X — (п— 1)А],

если (п—1)АОж<!пД,

 

gn (г) =

‘ (1/А) [(и + 1) А— ж],

если нД <ж <(н, +

1 )А,

(51)

 

 

0

в других случаях,

 

 

где А = X/ (Ni + 1). Если в качестве функций Ф„ (х) выбрать кусочно-линейные функции gn (ж), то ап (і) определит потенциал в точке ж = пА и интегралы в (506) будут равны

%

dxФ п (ж) = А,

(52а)

j

о

 

 

 

 

X

(

2/Д,

если і — п,

 

j йжФ| (ж) Фй (ж) =

<

— 1 /Д,

если j і — и | = 1 ,

(526)

0

I

0

в других случаях.

 

Матрица (526) — обычная центральная разностная аппроксима­ ция второй производной. Как следствие этих формул уравне­ ние (506) идентично формуле для уравнения Пуассона, используе-

21*

Смотрите также файлы