Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 329

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

324

Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

мой в [3]. Метод [3] отличается от нашего только тем, что в [31 используется кусочно-линейная аппроксимация производных Ф[ ІУі) в уравнении движения (50а); из-за этой разницы в методе [3] энергия не сохраняется.

2. Двумерный электростатический случай

Наш второй пример в случае конечного числа частиц аналоги­ чен рассмотренному, за исключением того, что теперь мы учиты­ ваем две пространственные декартовые координаты, ж иг/. Нало­ жим периодические граничные условия на краях квадрата со стороной X. Как и прежде, будем рассматривать один тип частиц при наличии однородного нейтрализующего фона с плотностью заряда Ро и будем пренебрегать векторным потенциалом. Началь­ ная функция распределения имеет вид

 

ІѴз

 

 

/(r', v', 0) =

2 б (г' — гг)б(ѵ' — Vi),

(53)

 

i=l

 

 

где г, и ѵ; — соответственно

начальные радиус-вектор и скорость

частицы с номером г, а N s — число частиц. Как и раньше,

будет

только одна функция Ми,

обозначим ее через М и выберем М

и Ф в виде

N1

іѴ

 

 

 

Ф ІТ? {^пт Ш = S

2 ^пт ООФпттг (ж, у)

(54а)

 

п —1 т —1

 

И

М [г', v', t, {yix(t), Уіу (0 ) 1 = N3

= 2 у')+Уіу(і) & 1у(г', v')}. (546) l—l

Эти выражения — частный случай (33). Примем, что на краях квадрата потенциал должен обращаться в нуль. Для этого надо потребовать, чтобы функция Фпт (х , у) обращалась в нуль на краях квадрата. Базисные функции Mix и МіУ определим так:

3 i i x { r', v') = 1

i,

если г ' = г г

и v ' = v l,

(55а)

в других случаях

 

 

 

v') — 1

1,

если г' = Г/

и v '= v j,

(556)

.

0

в других случаях,

 

где і и ] — единичные векторы в направлении осей х жу соответ­ ственно. Начальные условия для j [x (t) и у1у (/) имеют вид

Уіх(0) І + Уіу (0) j = r ;

(56a)

 

 

 

 

§ 4. Конечное число частиц

 

 

 

325

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yzx(0 )i + Viy(°)3 = vi-

 

 

 

 

(556)

Очевидно,

что

y lx (t) і +

yty (t)

j

есть

радиус-вектор

частицы

с номером I в момент t. Подставляя в лагранжиан (42),

получаем

ІѴ3

 

 

 

 

Ni

N 1

 

 

 

( У і х 7У іу ) j"Н-

 

L —2 {іГ^ ^ Іх

 

2 2

 

 

 

I—і

 

Ь

X

 

71=1 т = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ni

Ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“Ь ^ dx j dy

[

2

2

а птУФпт (x> У) J

 

 

 

 

 

0

0

 

n = l m = 1N 1

JVi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po

2

2

 

 

 

y )j"

'

(57)

Введем

следующие

обозначения: n = l

m = l

 

 

 

 

 

Ф«т, X (x i У) =

Фпт (ж,

У),

 

Фпт, j(^)

У) =

 

Фпт

>У)>

(58)

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѴФ„т (ж, у) = ІФпт, х (Х, у) +

зФпт, I/(ж, у).

 

 

Если использовать эти обозначения, то уравнения

Эйлера —

Лагранжа

(36а)

и (36в) примут

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. .

 

JVi

JVi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ylx= — Q 2

2

anm(t)Q>nm, хІУіх,

Уіу),

 

 

(59а)

 

 

 

 

71=1

т=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ni

Ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Му ly =

Q 2

2 anm{t) Фпт, у {Уіхі

Уіу)і

 

 

(596)

 

 

 

 

тг= 1

т= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ni

Ni

X

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"4^- 2

2

а Ч \

d x \ d y [Фи. X (X,

у) Фтгш, X (*,

У) +

 

 

 

г= 1

і= 1

О

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“ЬФгі. у І.Х 1

у) Фпт, у {х , у)] =

 

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

Ni

 

 

 

 

 

 

 

=

Ро j d x I ^

Ф

п т ( Ж)y ) + Q

2

ф пт(Уіх,

Уіу)-

60( )

 

 

 

о

о

 

 

 

 

 

 

г=і

 

 

 

 

 

Уравнения (59) — обычные уравнения движения частицы с номе­ ром Z, а уравнение (60) — некоторая аппроксимационная схема для решения уравнения Пуассона. Как и выше, из этих уравнений следует закон сохранения энергии.

Простой частный случай уравнений

(59) и (60) тесно связан

с методом 13] и с одной из процедур [4,

5]. Как и в случае одного

измерения, из вариационного метода

следует вариант методов

326 Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

[3—5] и различные обобщения, в каждом из которых энергия сохраняется. Вариант методов [3—5], в котором сохраняется энергия, получается, если для скалярного потенциала использо­ вать кусочно-билинейную аппроксимацию. Локальный базис для периодических, кусочно-билинейных функций, которые обращают­

ся

в нуль

на краях

квадрата, задается функциями gn,

(51).

Локальные

базисные функции — это

произведения

вида

ё п

(х) ё т (У)•

Соответственно выберем теперь Фпт (ж, у) в виде

 

 

Фпт

У) ёп (х)ёт (у)-

(61)

Если использовать обозначение g'n (ж) = (didx)gn (ж), то уравне­

ния (59) и (60)

можно

переписать

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

N i

N i

 

 

 

 

 

 

-^ 7 ;* = —< ? 2

2

апт {t) gkiyix) ётІУіу),

 

(62a)

 

 

 

 

 

 

= l

 

 

 

 

 

 

 

. .

 

 

nN=il mNi

 

 

 

 

 

 

M 4 l y = — <?

2

2

Unm{t) ёп(Уіх) ётІУіу),

 

(626)

 

 

 

 

 

п ~ 1 m = i

 

 

 

 

 

N i

N i

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

-4^- 2 2

j dx j

dy [gi (®) ën (x) gj (y) gm (y) +

 

 

i = l

j=l

0

0

+ ëi (x) gn (x) gj (y) gm (y)] =

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

N 3

 

 

 

= Po

j dx j

dygn (ж) gm (y) + Q 2 gn (Vlx) gm (у ly)•

(63)

 

 

 

0

0

 

 

 

 

1=1

 

 

Интегралы

в

(63) равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j d x g n (x) = A,

 

(64a)

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

AÖnm +

А (б„, m+1 + бп+1,

т),

(646)

 

J dxgn (ж) gm(ж) = у

у

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ dxgn (х) gm (х) = у

б„т

у

(fin, т+1-f- б/і+1, m)•

(64в)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, уравнение (63), которое определяет аппроксима­ ционную схему решения уравнения Пуассона, можно переписать в виде

JVi JVi

”4лГ 2 2 аы [Збгпб;т ----g- (Sin + б(+1. п + бг, п+і) X i—l j=l

N 3X

X (6jm-j-6j+l. m + бу m+l)J = PoA2 + 2 ёпіУіх) gm(yiy)’

(65)

§ 5. Двухпотоковая неустойчивость при низких температурах 327

Последний член в правой части этого равенства в точности соот­ ветствует процедуре «весовых множителей для областей», которая применялась Морзом и Нильсоном [3], а также Бэрдсоллом и Фассом [4, 5| для расчета заряда в их аппроксимационных схемах решения уравнения Пуассона. Левая часть равенства (65) соот­ ветствует девятиточечной разностной аппроксимации двумерного лапласиана, матрица которой имеет вид

§ 5. П р и м е н е н и е к с л у ч а ю д вухпот оковой

н е у с т о й ч и в о с т и

п р и н и з к и х т е м п е р а т у р а х

для к о

н т и н у у м а ч а с т и ц

В этом параграфе мы используем вариационный метод для вывода аппроксимационной схемы в случае, когда рассматривается континуум частиц вместо конечного числа частиц [8 , 6 ]. Как мы видели в § 2 , именно в случае континуума аппроксимационная схема приводит к описанию плазмы в приближении Власова, когда частицы описываются одночастичными функциями распре­ деления, удовлетворяющими бесстолкновительным уравнениям Больцмана. Одна из наиболее привлекательных сторон вариацион­ ного подхода к численным методам — это возможность определить, как с помощью малого числа параметров эффективно описать континуум частиц. Пример, который мы рассмотрим в настоящем параграфе,— первый шаг в этом направлении. Данная возмож­ ность в настоящее время активно исследуется Льюисом и Мелендежем.

Рассмотрим плазму из одного типа частиц в пространстве одного измерения х при наличии однородного нейтрализующего фона с плотностью заряда рп. Наложим периодические граничные условия при і = 0 и х = 1 Так как имеется только одно измере­ ние, положим векторный потенциал тождественно равным нулю. Пусть сначала частицы образуют два, возможно искаженных, потока в фазовом пространстве. Начальная функция распределе­ ния есть

2

 

f(x', ѵ\ 0 )= S fi(x')ö[v' — gi(x')],

( 6 6 )

i= 1

Смотрите также файлы