ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 324
Скачиваний: 6
328 |
Гл. |
8. Применение принципа Гамильтона |
|
|
где |
|
|
|
|
|
gj (x') = |
— F + At sin |
.‘fora. х ' -{-Bi cos 2^то- x ' , |
(67а) |
|
g2 (x’) = F + Аг sin |
х' + ^ 2 cos 2^та x' |
(676) |
|
и |
|
|
|
(68) |
|
/г (x') = -у- + C* sin |
x' + Di cos 2лm |
||
В этих формулах т — целое число, F — скорость, п0 — началь |
||||
ная |
средняя пространственная |
плотность, а A t, B t, Ct |
и D t — |
|
константы, определяющие отклонение начальной функции рас пределения от равновесной. Плотность заряда фона можно выра
зить |
через п0 и Q: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ро = |
— n0Q. |
|
(69) |
|
Имеется только |
одна функция |
J2h, ^-компоненту которой мы |
|||||||
обозначим через |
|
Мы выберем £ и Ф в несколько более общем |
|||||||
виде, |
чем в (33): |
|
|
|
|
|
|
||
Ф [X, |
t, { а п ( 0 } ] |
= |
«о (t) + |
2 4" |
1 Г Х |
|
|
||
|
|
|
|
П = 1 |
|
|
|
|
|
|
X |
| а |
(27і) (if) s i n |
ж + |
а (2г1_і) |
(t) c o s - ^ ^ - z | , |
( 7 0 a ) |
||
I [x', |
n', F (у« (t), |
(*)}] = x '+ |
2 |
(ж', |
i/) X |
|
|||
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
N 3 |
|
|
|
|
|
|
X {vi? (0 + |
|
2 |
[vii ( 0 sin - x - |
+ ^ 2 ( 0 cos- ^ V ] |
(706> |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
( |
gi(x ')> если v ' = gl (x’), |
|
|||
|
Zi(x |
, |
V ) = j[ |
0 |
в других случаях. |
(71) |
|||
Начальные условия для уФ(£) и yf^(t) имеют вид |
|
||||||||
|
|
|
|
ТІі) (0) = |
Ті(2) ( ° ) = 0 , |
|
(72а) |
||
|
|
|
УгР (0) = У$ (0) = 0, |
если |
I Ф 0, |
(726) |
|||
|
|
|
|
|
7 Й (0) = |
1. |
|
(72в> |
|
330 Гл. 8. Применение принципа Гамильтона
М jj |
dx'fi (x ') gl (x’) sin |
|
x' I 7$ + |
|
|
|
|
||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1= 1 |
__ |
Ni |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
— <? j |
/ x |
2 |
J ^ 7 ; (*') Si {x') sin -X " |
г' X |
|
|
|
|
|
|
|
n=l |
О |
|
|
|
|
|
|
X | a (2n)co s[^p -^(a:', gi(x’), |
7 )] — |
|
|
|
|||
|
|
|
— «(z^iiSin [ - ^ - E ( x ', |
g; (x'), |
7 ]} |
, |
(75r) |
||
я |
|
|
|
|
x' I 7 $ + |
|
|
|
|
i¥ j |
dx'/г (x') gf (x') cos |
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
[ Уіі |
sin ■¥■*' + 7$ cos X |
' *' ] } = |
|
|
||
|
|
г=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____ JVi |
X |
|
|
|
|
|
|
= |
— < ? j / x |
2 |
j dx'fiix') gi(x') c o s - ^ - X |
|
|
|||
|
|
|
|
n=i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
X x' |
| a (2n) cos [ —x ’ I {x', gi(x'), 7 )] — |
|
|
||||
|
|
|
— a^n-Dsin [ - х " £ ( я ', |
£*(*') i |
Y)"j} |
• |
(75д) |
||
Из этих уравнений следует, что энергия сохраняется.
Результаты численного интегрирования уравнений (75) с нерав новесными начальными функциями распределения показывают, что некоторые величины, которые могут быть получены из решения, не чувствительны к числу базисных функций (т = 1; ЛД ^ 5; 7Ѵ3 ^ 5). Властности, не чувствительны к числу базисных функций максимальная величина электрической энергии, время, когда энергия достигает максимума, средняя величина электрической энергии и распределение по скоростям по истечении длительного времени.
Интегралы в уравнениях (75в)—(75д), которые умножаются на
7 <р, Y/f и Y^> не содержат t, и потому их надо вычислить только
один раз. Другие интегралы в уравнениях (75) включают £ (x' , gi (x'), 7 ) и потому зависят от t, так как у<*2>, у)13 и 7 W зависят
ют t. Все интегралы, в которые входит \ (x', gt (x'), 7 ), можно
Приложение А |
331 |
представить как линейные комбинации интегралов вида
X exp j t [s9 + 2 (afecos/c9-|-6fts m M )j| , (76)
где s и М — целые числа, а ak и bh — линейные комбинации
иИнтегралы этого вида в общем случае нельзя вычислить
аналитически, и их численная оценка — главная трудность на пути получения численного решения уравнений (75). По этой причине были разработаны специальные методы точного и эффек тивного вычисления таких интегралов [12]. Если значения ah и bh увеличиваются, то трудности при интегрировании возрастают, так как подынтегральные выражения начинают осциллировать быстрее. Анализ показывает, что в случае неравновесных началь ных функций распределения решение уравнений (75) в конце концов приводит к таким большим величинам ah и bh, что инте гралы могут быть довольно точно вычислены методом стационар ной фазы. Эта возможность асимптотической оценки интегралов может привести к некоторому полуаналитическому описанию поведения двухпотоковой неустойчивости при больших t.
П р и л о ж ен и е А . Г р а д и ен т ы п о коор д гін а т а м и ск о р о ст и
Операторы Ѵг и Ѵг., действующие на функцию U (г, г), где
г = di/dt, определены по отношению к вариации U (г, г), кото
рая обусловлена вариацией бг и связанной с ней вариацией бг =
= (d/dt)8r. Когда говорят, что U есть функция г и г, то подразу мевают, что она есть функция трех независимых координат векто
ра г и еще трех переменных, которые определяют г для фиксиро ванного г. Предположим, что три последние переменные —
компоненты г в системе координат, выбранной для г. Зависи
мость U от г всегда может быть выражена через эти переменные.
Определим систему координат для г единичными |
векторами |
(г) |
и обозначим координаты г в этой системе через х,. |
Мы считаем, |
что |
U (г,г) — явная функция переменных xj и е7- -г. Производная г по Xj выражается, как обычно, через функцию hj (г):
(Al)
