|
|
|
Приложение Б |
|
|
|
333 |
4 & |
[ - ^ Г - + 2 |
Т |
* і |
- |
|
№( * ' , |
V', t, Ы » , |
X, м |
} |
ч- j |
|ii) ( — ѴФ (r, t, {ап}) ■ |
1 |
__ і_ |
dßm |
’ г’ *) |
|
|
|
|
|
с |
dt |
с 2 |
|
- X ( v X ^ ( r , |
t, |
{ßm}), |
r, |
t)—po(г, |
*)Ф(г, t, {ccn}) -j- |
|
|
|
|
|
+ 4-io(r, |
|
*, {ßm})} . |
(Б1) |
Обобщенные импульсы, которые определены уравнениями (37), имеют вид
*3т. — |
1 |
с |
,, |
X |
|
с |
\ |
d3r |
|
|
J |
|
т |
|
|
|
V |
|
г, t) I |
|
|
X ѴЕг|>(Е, |
(Б2а) |
|
|
|
|
Е = - Ѵ Ф ( г , t, { a n» - 4 - ^ ~ |
Щ |
|
|
|
|
S ^ Ѳ Л |
хы = j dh'd3x'fk (r', v', 0)
x { M , [ i f - +
— Vvt/fe( ^ ft(r', v', i, {yw}), V, 01 dMk |
V * |
dt - + |
2 ihV öy.h i |
+ 3-Qh&('%k(r\ v', t, {yw}), t, {ßm})j . (Б26)
Гамильтониан (38) имеет вид
2 J |
Л " # у ';„ (г ', v', |
0 ) { 4 -м » p g * - + 2 |
h=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— M b |
dâiu |
|
Г M h |
STfti |
дУм ] |
|
|
|
dt |
|
[■ d£ |
|
|
|
|
|
|
I . |
|
+ |
17/; ( |
(r', v', |
t, |
{Vh?}), |
dMh |
|
|
|
|
|
|
г v ; |
dMk 1 |
|
|
|
|
|
|
1.2 Vs« |
J X |
|
Х Ѵ Л (Mh (v', |
v', |
MYfti}), |
V, t) |
d$k |
334 |
Гл. |
8. |
Применение принципа Гамильтона |
|
+ |
& |
Ф ( А (Г', v ', |
t, |
{ y hi}), |
t, {a„}) — |
' - |
Q |
k |
^ |
- - s t i c k t * ' , |
v ', |
t, {n |
,}), t, {ßm})} + |
X V Ei|) ( E , r , t) I |
|
d j f |
V й |
9^ |
|
|
E = - V ® i r , t , { c c n } ) - |
1 |
|
|
|
c |
d t ■T 2 j ß m ä ß ^ ~ |
- |
+ ( v ® C. <■ K » - T |
- ¥ - f |
2 |
|
. ■•• |
') |
+ |
+ |
x(v X J# (r, £, {ßm}), г, |
|
m |
|
|
|
|
г) + Ро(г, г)ф (г>Б {an}) — |
|
— |
|
3 |
o t, ( |
r{ |
ß, |
m } ) } |
ЛИТЕРАТУРА
1.Proc. APS. Topical Conf. Numerical Simulation of Plasma, Sept. 18—20 1968. Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-3990.
2.Mjolsness R. C., «Variational Solution of the Vlasov Equation», в печати.
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Morse R . L., Nielson C. W., Paper A4 в трудах [1]. |
4. |
Rirdsall С. K., Fuss D., Paper DI в трудах [1]. |
5. |
Rirdsall С. K., Fuss D., Journ. Comput. Phys., 3, 494 (1969). |
6. |
Lewis H . R ., |
Melendez |
K. |
Paper B1 в трудах [1]. |
7. |
Goldstein //., |
Classical |
Mechanics, |
Reading, |
Mass., 1950. (См. пере |
|
вод: Г . Гольдстейн, Классическая |
механика, |
М., 1957. |
8.Lewis Н . R., «Hamilton’s Principe and Numerical Solution of the Vlasov Equations», Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-3803, 1967.
9.Lewis H . R ., «Energy-Conserving Numerical Approximations for Vlasov Plasmas», Journ. Comput. Phys., 6, № 1, 136 (1970).
10.Low F. E. Proc. Roy. Soc., A248, 282 (1958).
11.Sturrock P. A., Ann. Phys., 4, 306 (1958).
12. Thomas J . D ., Lewis H . |
R ., Melendez K. J ., «An Efficient Method |
for Computing a Class of |
Definite Integrals», в печати. |
ГЛАВА 92
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
К. Робертс*, Д. Поттер**
§ 1. В ведение
Численное моделирование поведения проводящей текучей сре ды или плазмы в магнитном поле представляет интерес в астро физике, геофизике, космической физике, а также в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу. Изучаемые явления, как правило, носят двухили трехмерный характер, причем значительная часть их имеет нелинейную природу. Это затрудняет аналитические расчеты, а проведение контролируемых экспери ментальных измерений часто является делом столь же трудным —- либо по причине недосягаемости физических процессов (межзвезд ные газовые облака, физика поверхности Солнца, проблема зем ного динамо), либо из-за того, что введение зонда в плазму может привести к разрушению и зонда, и плазмы. Поэтому широкое применение численного моделирования позволит понять основ ные процессы магнитной гидродинамики (МГД) и наглядно пред ставить их себе благодаря методам графической индикации. Такой путь исследований противоположен пройденному обычной гидро динамикой, где уравнения проще, а границы их применимости определеннее и где еще до начала теоретической разработки пред мета многие явления были хорошо знакомы из повседневных наблюдений.
В то же время следует признать, что МГД в сущности «незам кнутая» теория. МГД-модель плазмы — это лишь модель, и часто, если требуется сколько-нибудь точное совпадение с эксперимен том, простейшую систему уравнений приходится дополнять доба вочными членами, учитывающими конечный ларморовский радиус, анизотропию теплопроводности, ионизацию и рекомбинацию с ней тралами, испускание и поглощение волн и т. д. Часто МГД-модель оказывается непригодной, и тогда необходимо использовать более полные уравнения Власова или Фоккера — Планка. Во всей плазме или локально может возникать мелкомасштабная турбу лентность, которую необходимо моделировать эмпирическими коэффициентами диффузии. Для полного исследования вопроса путем наблюдения и эксперимента с применением аналитической
* |
Keith |
V. Roberts, Culham Laboratory, Abingdon, Berkshire, England. |
** |
D. E. |
Potter, Imperial College, London, England. |
теории и численного моделирования потребуется, по-видимому, значительное время. Пока что вычислительная физика и числен ный анализ дают возможность проводить интересные исследования.
1. Одномерные расчеты
Для случая одной пространственной координаты в течение последнего десятилетия в нескольких лабораториях проведены реалистические расчеты динамики цилиндрических плазменных установок [1 —7] и достигнуто хорошее согласие с экспериментом, в особенности для Ѳ-пинча [2, 4, 5, 7—10] и для жестко стабилизи
рованного z-пинча |
[11—13]. Большая часть расчетов |
выполнена |
в предположении, |
что плазма полностью ионизована, |
хотя было |
разработано и несколько простых моделей частично ионизованной плазмы [14, 15], а также учитывались возбуждение и ионизация примесей [16]. Рядом авторов [17—21] проводились численные расчеты по магнитогидродинамическим ударным волнам. Исчер пывающий обзор и библиография по ударным волнам в плазме даны Чу и Гроссом [221, а в качестве общего обзора применений численных методов в физике плазмы могут быть использованы лекции Киллина [23].
В одномерной магнитной гидродинамике существуют две основные численные проблемы: перенос магнитного поля и харак теристик плазмы движущейся средой и высокое значение альфвеновской скорости в области низкой плотности плазмы. Описываю щий перенос член ѵ-V/ входит во все уравнения, и если применя ется эйлерова схема счета, то возникающие при вычислении этого члена ошибки округления могут привести к нежелательному раз мытию и рассеянию величины /. Хотя имеются эйлеровы схемы повышенной точности [24], простейшее решение одномерной зада чи достигается использованием лагранжевой сетки, движущейся вместе с плазмой, поскольку в этом случае переносный член совсем выпадает. Разработанная Хейном и др. [1] неявная эйлерова схема была позднее преобразована в лагранжеву форму Д. Л. Фишером (не опубликовано), а явная лагранжева схема была писана Оли фантом [6 ].
Максимальный шаг по времени At, который может быть исполь зован в вычислениях по явной схеме, ограничен условием Куран
т а — Фридрихса — Леви [25], имеющим вид |
CAA t /A x < ii, где |
Ах — шаг по |
Пространственной координате, |
СА ~ |
7?/р3/2, В — |
напряженность |
магнитного поля, р — плотность. |
Если плот |
ность р мала в некоторой локальной области или продолжитель ность численного эксперимента велика по сравнению с характер ным временем колебаний плазмы, вычисления по явной схеме могут потребовать чрезмерных затрат машинного времени, поэтому Хейном был развит более мощный неявный метод, в котором не
накладывается таких ограничений И]. Этот метод, естественным образом распространенный на двух- и трехмерные задачи [26], будет описан в § 3.
В настоящее время одномерные МГД-расчеты по ряду причин выглядят проще, чем в 1959 г. В то время было широко распро странен стабилизированный пинч с тонким скином [27] и перво начальные вычислительные схемы предназначались для случая больших изменений зависимых переменных в узких интервалах по радиусу, особенно вблизи границ плазмы, которые по данным расчетов были очень резкими. По этой причине было предусмотрено автоматическое перемещение узлов сетки в те узкие1 области, где они были нужнее всего [1]. В последнее время преимуществен ный интерес представляют диффузно-стабилизированные пинчи, такие, как в эксперименте Окавы и др. [28], эксперимент «Зета» [29] и эксперименты на новой строящейся в Калэме тороидальной установке с высоким значением ß, в которых физические величины изменяются более плавно и потому проще описываются на дискрет ной сетке. В экспериментах по Ѳ-пинчу [9] получены указания на то, что области больших градиентов магнитного поля (высо кой плотности тока) саморасширяются под влиянием увеличения удельного сопротивления, вызываемого микронеустойчивостя ми [30, 31], которое в свою очередь выключается, когда плотность тока падает. Учтя этот эффект в вычислительной схеме, Мак-Кар- тан получил хорошее согласие с экспериментом [10, 32]; в то же время численные зависимости и граница плазмы стали более плавными, так что расчеты упростились.
В будущем в МГД-расчетах, по-видимому, будет фигурировать ряд увеличенных коэффициентов переноса этого общего типа, моделирующих физические диффузионные процессы, вызванные локальной турбулентностью плазмы, уровень которой определяет ся параметрами основного решения. Интересно, что аналогичное развитие происходит в численной гидродинамике, где уравнение Навье — Стокса несжимаемого течения при высоких значениях числа Рейнольдса приводит к сильным градиентам скорости, достигающим наивысшей степени при турбулентности, которая не может быть адекватно представлена на конечной сетке. Влияние этой турбулентности на основной поток может быть смоделировано с помощью набора коэффициентов турбулентной диффузии, опре деляемых самосогласованным способом из уравнения турбулент ного переноса, которое должно численно интегрироваться сов местно с описывающим средний поток уравнением Навье — Стокса [33—36].
Остается еще одна важная физическая проблема. Если время столкновения частиц велико, то МГД-уравнения могут непра вильно описывать внутреннюю структуру ударных волн и потому дать неверное распределение энергии ударной волны между
