Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

338 Гл. 9. МГД-методы

электронами и ионами, что выразится в неправильных значениях электронной Те и ионной T t температур. Эта ошибка в свою оче­ редь может исказить основной поток за фронтом ударной волны. Для решения этой проблемы необходимо либо экспериментально, либо путем аналитических или численных расчетов найти правиль­ ное описание структуры бесстолкновительной ударной волны и совместить его с основным МГД-решением, например, путем аппроксимации структуры ударной волны или выбором подходя­ щего набора повышенных коэффициентов переноса.

Этой проблемы нет в обычной гидродинамике сжимаемой жид­ кости. Хотя и здесь уравнения вязкой жидкости неприменимы внутри сильной ударной волны, для получения условий сшивания на фронте ударной волны трех величин: р (плотности), ѵ (скорости) и Т (температуры) — достаточно трех законов сохранения — массы, импульса и энергии (соотношения Рэнкина — Гюгонио). Основной поток не зависит от внутренней структуры ударной волны, поэто­ му при вычислениях можно проходить через фронт ударной волны, пользуясь искусственно введенной для уширения численного реше­ ния вязкостью [37, 25]. В магнитной гидродинамике для пяти переменных, р, ѵ, В, Те и Т имеется четыре закона сохранения: массы, импульса, потока и энергии, так что решение не определе­ но. Часто используют искусственную вязкость, однако такой

чин вычислительные трудности представлялись весьма значитель­ ными:

1) Если для подавления аномальной численной диффузии, вызванной неточным представлением переносного члена, исполь­ зовать подвижную лагранжеву разностную сеть, то выражение сложных МГД-уравнений в разностной форме становится весьма трудоемким, а их решение дорогостоящим; также невозмож­ но и применение неявной вычислительной схемы Хейна. По­ этому во всех расчетах, кроме тех, в которых искажения на сетке не слишком сильны, необходимо применять эйлеровы схемы.

2) Вне движущейся плазменной границы аксиального разряда ro ~ ro (z> t) вакуумные поля (В г, В ѳ, B z) уже не имеют такого простого вида В ѳ ~ 1/г, В г = const, В г = 0, как при одномер­ ной цилиндрической геометрии, и в общем случае приходится решать уравнение Лапласа в области, имеющей сложную и изме­ няющуюся на каждом шаге по времени форму.

3.R-коды и І-коды

Ввычислительной магнитной гидродинамике существует два основных подхода. При одном из них, уже обсуждавшемся, пы­ таются как можно точнее моделировать реальный эксперимент, что в физике плазмы означает преодоление трудностей, связанных

сплохой определенностью граничных условий и большим числом различных членов в уравнениях. Вычислительные программы такого типа будем называть «R-кодами». Другой подход подобен общепринятому в прикладной математике: выбирают простейшие идеализированные уравнения, граничные условия и геометрию, которые приводят к интересным результатам, а затем исследуют последствия такой идеализации. Примеры таких упрощений: прямоугольная область с прямоугольной эйлеровой сеткой, одно­ родные изотропные сопротивления, теплопроводность и вязкость, периодические граничные условия или твердые, идеально проводя­ щие, термоизолирующие стенки. Такие вычислительные програм­ мы будем называть «І-кодами».

Некоторая часть работ следует вторым путем, и одной из важ­

ных областей исследования является двумерная гидродинамика несжимаемой жидкости. В том случае, когда движение происходит только в плоскости (X, у), нужно решать два уравнения Пуассона: одно для гидродинамической функции потока i|)z в зависимости от завихренности £г и другое для векторного потенциала A z в за­ висимости от тока іх- Если геометрия достаточно проста, то можно использовать программу Хокни для решения уравнения Пуас­ сона [57, 58] или какой-нибудь другой метод быстрого преобразо­ вания Фурье, для которых сейчас имеются стандартные под­ программы во многих библиотеках. Этот тип І-кодов может быть использован для изучения нелинейной устойчивости, конвекции и турбулентности при низких значениях магнитного числа Рей­ нольдса.

4.Трехмерные расчеты

Внастоящее время І-коды позволяют изучать важный класс задач трехмерной магнитной гидродинамики сжимаемой жидко­ сти, представляющих интерес для астрофизики и других областей. Такие вычислительные машины, как IBM 360/91 и CDC 7600, обладают вполне достаточным быстродействием для решения задач этого класса на сетке 64 X 64 X 64, поэтому основное требование предъявляется к объему оперативной памяти, в которой прихо­

ІО9 бит и скорость передачи информации ІО9 бит/с, что более чем

достаточно для данной цели. Эти коды могут быть разработаны и отлажены на гораздо менее быстродействующих машинах при использовании меньшего числа узловых точек (§ 7).

§2. М Г Д -м одели

Вэтом параграфе обсуждаются некоторые возможные системы дифференциальных уравнений в частных производных и гранич­ ные условия. Это обсуждение носит скорее вводный, чем оконча­ тельный, характер, но оно должно послужить основой для пост­ роения разнообразных R- и І-кодов. Удобной отправной точкой служит система уравнений для изотропной сжимаемой проводящей

среды, предложенная Джефри [61]; она может быть приспособле­ на для более простых, легче решаемых на машине задач (напри­ мер, для случаев постоянных коэффициентов переноса и несжи­ маемого течения) или обобщена путем учета ряда физических эффектов, которые важны в реальной плазме. Программирование можно упростить, выбрав единицы таким образом, чтобы не появ­ лялись коэффициенты 4зт, с (скорость света) и к (постоянная Больц­ мана). Тогда давление среды связано с плотностью и температурой соотношением р = рТ, а магнитное давление имеет вид В2!2.

В эйлеровой консервативной форме уравнения имеют вид

таким образом, в случае трех измерений система содержит всего

а %— коэффициент продольной вязкости. Полная энергия имеет