Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

к сферической системе координат, можно показать, что

На оси vz, являющейся осью симметрии, должны выполняться равенства df!dvx = df!dvy = 0 , так как иначе либо будут нару­ шаться условия симметрии, либо dfldvx или dfldvy станут разрыв­ ными, что нефизично. При этих ограничениях условия (46) и (47) непосредственно следуют из выражений (48) и (49).

Условия (45) и (46) верны и в пространстве (ѵ, р), а условие (4 7 ) — нет, так как

что приводит к неопределенности в dfld\i. Чтобы избежать труд­ ностей с граничными условиями на угле потерь, мы будем решать задачу в пространстве (ѵ, Ѳ).

2. Оператор Фоккера — Планка для ионов

Преобразование уравнения (3) к сферической системе коорди­ нат и его дальнейшая детализация для двухкомпонентной системы даны в приложении А. Приведем окончательный вид этого урав­ нения Фоккера — Планка:

+ fi (v',Q')]Q(v',W;v, Ѳ),

438 Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка

А и Q определяются через полные эллиптические интегралы

К и Е

А = і к ( т ) ’ a - w ( i r ) '

где

р = (4ѵу' sin Ѳsin Ѳ')Ѵа

9 = [у2 + п' 2 — 2ѵѵ' (cos Ѳcos Ѳ' — sin Ѳsin Ѳ')]^2.

3. Источники

Поскольку в некоторых задачах, в которых учитывались источ­ ники, моделировались эксперименты по инжекции частиц на уста­ новках типа «Алиса» [15], то в последующем мы будем предпола­ гать, что вводимый ток соответствует таким экспериментам. Мы не накладываем никаких ограничений на функцию, характеризую­ щую источники в пространстве скоростей, т. е. на функциональ­ ную зависимость S от ѵ и Ѳ, но предполагаем, что полный вводи­ мый ток

задается в виде

І = І 0+ Гп.

Второй член позволяет учесть увеличение ионизации из-за столк­ новений с увеличением плотности. Когда мы учтем в задаче про­ странственную зависимость, тогда определится и функциональная зависимость / 0 и Г от пространственных координат.

4.Разностные методы

Вэтом пункте, чтобы избежать недоразумений, индексъ^ обо­ значающие тип частицы, не будут употребляться.

а. Разностная сетка

На фиг. 3 схематически показана сетка, используемая для представления неизотропного оператора Фоккера — Планка в виде разностей. Индексы і и / используются для обозначения различных величин Ѳ и ѵ соответственно. Для обозначения раз­ личных дискретных моментов времени используется индекс п.

всего, поскольку функции распределения быстро спадают к нулю при больших скоростях (например, максвелловский «хвост»), области с большими ѵ не очень существенны и для них оправдано применение более крупного шага по ѵ. Особенно оправдано это в случае, когда в расчете учитываются холодные электроны, так как вызываемое ими охлаждение приводит к исчезновению ионов с большой энергией. Аналогично при наличии амбиполярного по­ тенциала функция распределения ионов должна равняться нулю

9 .

ѲІ + І

Оі

Ѳі* і

Оі

O i- t

Ф и г . 3. Разностная сетка в пространстве скоростей: Ѳ4 = Ѳк.п, Ѳт= я/2,

Vi = 0.

вплоть до некоторой минимальной скорости, и потому ясно, что не­ эффективно использовать мелкие шаги в области малых скоро­ стей, где потенциал обрезает функцию распределения. По этим причинам лучше выбирать шаг следующим образом: в задачах без потенциала шаг следует увеличивать с ростом скорости ѵ\ при наличии же потенциала наиболее мелкий шаг используется в про­ межуточной области, а в случае малых и больших скоростей шаг следует увеличивать.

Переменный шаг по Ѳ удобен, если желательно применять определенные квадратурные формулы, в которых используются неравные шаги для вычисления интегралов по Ѳ. Например, в программе, написанной для решения задач в полном простран­ стве скоростей, применялась квадратура Гаусса. Обнаружено, что, кроме удобства и точности квадратуры Гаусса, переменный шаг улучшает точность решения разностного уравнехшя по сле­ дующей причине: граничное условие при Ѳ = 0 есть df/дѲ = 0, и если аппроксимировать это условие равенством /" ,7- = то для достижения более высокой точности лучше, чтобы разность Ѳ2 — Ѳ4 была относительно мала. В случае квадратурной формулы Гаусса

Однако если есть угол потерь, то граничное условие при Ѳ = Ѳк-П будет следующим: / (ѵ, Ѳк.п) = 0, и, по-видимому, в этом случае нет преимуществ от использования переменного шага. Поэтому для таких задач использовались равные шаги по Ѳ.

Квадратурная формула, которая иногда использовалась для интегрирования по Ѳ и всегда для интегрирования по у , — это формула Симпсона. Для интегрирования по у в случае неравных интервалов метод Симпсона нуждается в обобщении. Это обоб­ щение приведено в приложении Б. Заметим, что на фиг. 3 один интервал по Ѳ лежит за точкой Ѳ = л/2. Это необходимо, чтобы сделать граничное условие при Ѳ = л /2 симметричным: / (у, Ѳ) = = / (у, я — Ѳ); причины, по которым это делается, будут изло­ жены в приложении Г.

Распределение обрывалось при некоторой величине у , обозна­ чаемой vj, для которой надо было установить, что функция рас­ пределения пренебрежимо мала. Поскольку из-за специфики ку­ лоновских столкновений частицы меньших энергий теряются из системы быстрее, то важно время от времени проверять эту аппроксимацию для задач, в которых охлаждение менее нагретым типом частиц недостаточно, чтобы предотвратить значительное увеличение средней энергии ионов. Если это произойдет, то при скорости обрезания появятся ложные потери ионов, которые могут оказаться немалыми.

б. Расчеты коэффициентов для оператора Фоккера — Планка

Из уравнения (50) видно, что коэффициенты уравнения в част­ ных производных, которое надо решить, содержат производные функции g (у , Ѳ). Опишем процедуру вычисления этих коэффи­ циентов, которая подобна соответствующей процедуре в [3], за исключением того, что мы использовали переменный шаг.

Вычисляя g (у, Ѳ), важно иметь в виду, что поскольку g опре­ деляется через интеграл от функции распределения по простран­ ству скоростей, то g относительно нечувствительно к изменениям формы распределения. По этой причине нет необходимости пере­ считывать g на каждом шаге по времени. Частота пересчета зави­ сит от скорости изменения формы /. Эмпирически мы нашли, что если использовать шаг по времени у предела устойчивости ра­ счета, то необходимо пересчитывать g только через каждые 25—