Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл (16,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 310

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поле, соответствующее этой плотности		заряда,	при є = const и j z = const есть
поле плоского конденсатора; оно имеет единственную составляющую
	4яст	4я
L z =	є	=• - те	]г,

Если же комплексная диэлектрическая проницаемость є переменна, то согласно формуле (5.04) она может зависеть от х и у; точно так же j z может зависеть от х

и у (г	= га	± б). Однако выведенная выше формула для Ez остается	в силе,
поскольку любые малые противолежащие площадки на сечениях г =			z„ ± 6
можно	рассматривать (при о -> 0) как пластины плоского конденсатора		с исче-
зающе	малым краевым полем.
Таким		образом обосновываются приведенные выражения для полей.
5.	В однородном волноводе выражения для полей собственных волн можно
писать в виде (5.01) и (5.02). Если к тому же считать

j = j V " z

и положить

C e = C s V ( A - A a ) 2 , C _ . = C l s e ' < * + V * , то выражения (5.07) и (5.10) принимают вид

H = 2 ( C s ° H s 4 c l s H i s ) e ' f t z ,

			S
	Е =	2 (Cs°Es° + C°-sEls) e'f t z		+ —		j « e ' f t z .
		s			me
			dCs	dC—s
Написать выражения		для производных — - и			1	и	сравнить	с уравнением
			dz		dz
(2.17). Рассмотреть	частный		случай, когда j° не зависит				от z .
Р е ш е н и е .	Выражения (5.12) принимают вид
		dz	».		-t
	dC—s ,		• ,u .к і. \ о»	1	\ j°E°dS.
	dz		i(h^hs)C-s=——		\ j°E°dS.
	dz
Эти уравнения по форме подобны уравнению					(2.17), различие			в знаках объяс
няется тем, что зависимость от z взята в виде					e i l l z ,	а зависимость от t — в виде

е- ш . Если j° не зависит от г, то С° и C|!_s также не зависят от г; они пропор

циональны і ф h ) и П Р И ^ Т А8 » 0 велики: это — резонанс в пространстве,

в то время как при ш г ш , реализуется разонанс во времени.

Таким образом, оба вида резонанса подчиняются одинаковым закономер ностям.

6. На оси круглой металлической трубы с внутренним радиусом а при z = 0 находится точечный заряд. По какому закону изменяется создаваемое им


электростатическое поле			при \| z \| > а? Сравнить	с убыванием поля	в свободном
пространстве и объяснить			различие.
Р е ш е н и е .		Это поле убывает как е — 2 , 4 0 5		'г ^ а , поскольку заряд возбуж
дает на нулевой		частоте	симметричные электрические волны Еоп		(п =	1,2,...).
Наименьшим затуханием в продольном направлении обладает волна Е01,						харак
теризуемая	выписанной		экспонентой, остальные волны затухают		еще быстрее
и поэтому	при \| z \| > а несущественны.

Поле в свободном пространстве убывает, как известно, обратно пропорцио нально квадрату расстояния. Более быстрое убывание поля в трубе можно объяс-

нить как «связыванием» силовых линий	на стенках, так и появлением в стенках
зарядов-изображений, компенсирующих поле данного заряда.
7. Показать, что норма (5.13) в волноводе без		потерь (е и	ц вещественны)
для распространяющихся волн пропорциональна		мощности.	Воспользоваться
соотношением
E _ S = ± E * ,	H _ s = T H s ,		(а)

предварительно доказав его (в этом соотношении надо брать либо верхние, либо нижние знаки). Рассмотреть случай малого затухания, практически не влияю щего на распределение поля при z = const.

Р е ш е н и е .	Поля	Е*,	Н*	удовлетворяют уравнениям	rot Е* =
= — ik\iH, r o t H = t f e E *		(є*	= є,	\і* = [І), поэтому поля	E _ s , H _ s ,

определенные соотношением (а), удовлетворяют уравнениям (5.03) и, кроме того, имеют нужную зависимость от z (е ' s Z ) . Имеем

W S = = F - ^	f {[ES H] + [EHS ]) l d S = T ^ R e	f [ E s , H s *] 2 d5=T4P s ,
s	-	s

где Ps — активная мощность, переносимая волной номера s через поперечное сечение.

Если затухание мало и не влияет на поперечное распределение поля, то последнее соотношение справедливо, если под Ps понимать активную мощность при г = 0, поскольку при достаточно больших | z | отличие Ns от Т 4PS станет заметным.

8. Найти соотношение между полями прямых и встречных волн в периоди ческих волноводах с зеркальной симметрией (например, в гребенке), где

є(х,	y,—z) = e(x,			у, z),	[А(х,	y,—z) =		\i(x, у,	г),
и периодических	волноводах		с центральной			симметрией (например, в				спирали),
где
г( — х,	—у,	—z) =	e(x,	y,z),	ц(—х,		—у,	—г) =	ц(х, у,	г).
Р е ш е н и е .	В	первом	случае,		записывая		уравнения		(5.03) для		поле і
прямых волн, рассматриваемых в точке х, у,						— г, и производя замену г' =					— z,

получим уравнения, совпадающие с уравнениями для встречных волн, если по ложить

E L S ( * .	у,г)=Т*1(х,у,	- г ) ,	1\[_5(х,	у, г ) = ±Н\(х,	у,	- г ) ,
Е І 5 ( х ,	У, г) = ±Е13(х,у,	— г ) ,	Hl_s(x,	у, г ) = Т Hls(x,	у,	—г).

Аналогично, получается связь между полями прямых и встречных волн для си

стем с центральной

симметрией

E_s(x,

у, z) =

E s (—X,

—у,

— z),

H _ s (х,

у,

z) =

¥ H s ( — х,

—у,

—г).

Разложить поля (5.16) в ряд по пространственным гармоникам

и найти

волновые числа

последних.

Из

теории

волн в

периодических

структурах

известно,

что

при

условии

е' s _

_j_ j формула

(5.16)

соответствующая

ей

формула для встречной

волны

где

-s =

Е—s (х, у,

~s ,

H _ S = H _ S ( * ,

у, г)е

~ s ,

h.s=-hs+—^-

2лр

(р = 0,

± 1 , ± 2 , . . . )

НО

становятся неприменимыми. Выяснить смысл этого положения, конкретизиро вать его на примере волн в однородном волноводе без потерь. Показать, что при

			llt4L	,	I
учете потерь	условие е		8 =	±	1 выполняться			не может.
Р е ш е н и е .		Разлагая		Е°	и	Щ — периодические функции				z — в ряды
Фурье, получаем
				. 2nnz					. 2япг
									i-
откуда
E s =	2	Е<"> (х,		у) е "s		,	H s «=	2	Н І » ) ( х , у ) е	!
где	П =	— оо					п= —		оо
где				2ля
				2ля
		ь — S = А , 4 — Г "				(я = 0, ± 1 , ± 2 , . . . )
волновое число л-и пространственной							гармоники.
При условии
		е « = ± 1, As = ^ - (9 = 0, ± 1 , ± 2 , . . . )
волновые числа пространственных					гармоник прямой и встречной волн становят
ся неразличимыми, ибо
		ш	я(2р +		2п-д)		1 п ,		л(2я + <?)
		- s	~	L			'		L
и
				A ( n +		P - < 7 ) = A ( « s ) )

так что это условие означает, что все волновые числа пространственных гармоник для прямой и встречной волн совпадают. Таким образом, исчезает различие меж ду прямой и встречной волнами, т. е. формулы для E s и H s фактически совпадают

сформулами для E _ s и H _ s .

Воднородном волноводе с идеально проводящими стенками ( без потерь) на критической частоте, как известно, h = 0 и, таким образом, нет различия между прямой и встречной волнами—между затухающей в положительном на правлении оси z и затухающей в отрицательном направлении. Поскольку мно жители

F (г) = е ± ' А г ,

определяющие в общем случае зависимость полей от г, получаются в результате решения дифференциального уравнения

—+ № 0 ,

при h = 0 они заменяются либо на единицу (что тривиально), либо на линейную функцию г, что и показывает недостаточность экспонент в этом особом случае.

Этот особый случай не может реализоваться при учете потерь, когда l m / i s > 0 и \ u l h ' L \ < \

и, следовательно, прямая и встречная волны всегда имеют экспоненциальную зависимость от z.

10. Перенести соотношения (2.59) и (2.60), а также более общие соотноше ния, полученные в задаче 7 ко 2-й лекции, в теорию возбуждения волноводов

и вскрыть их физический смысл. Воспользоваться решениями задач 5 и 7. Счи тать, что hs = h's + t'Aj причем коэффициент затухания h"s положителен

идостаточно мал.

Ре ш е н и е . Воспользуемся уравнением

dC ^		1	С
dz	S-^i(h-hs)C°s=	—	j»E» _ s dS,	(а)
	т 4

полученным в задаче 5, и будем считать в нем волновое число h вещественным,

как раньше мы считали		частоту		со в формулах (2.01) и (2.02) вещественной.
Согласно формуле (2.51) имеем
	j =	2j (t) е	ш	,	jo = 2 j (0 e''{ a t ~ h z ) .
Согласно	задаче 7 норму Ns можно				считать вещественной, поэтому, умножая
уравнение	(а) на C°S*NS	и беря	комплексно сопряженное уравнение, мы придем
к соотношению
Учитывая,	что согласно	задаче	5
		E ° _ ! S = ± E S ° , Ws = + 4 P S ,
и обозначая через Р мощность			волны номера s