Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 314

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В соотношениях (b) и (с) Ре — активная мощность электронного пучка на единицу его длины, Ре •— соответствующая реактивная мощность. Соотношение

(b) есть'закон сохранения энергии: активная мощность, отдаваемая электронами*

 

(

d P \

 

 

 

идет на увеличение мощности

волны I слагаемое

и

компенсирует

потери

этой волны (слагаемое 2h'^P)\ соотношение (с) — баланс

реактивных мощностей,

определяющий величину h +

^ при данном

г, т. е. фазовую скорость

волны

в данном поперечном сечении.

 

 

 

 

П. Поле элементарного

электрического диполя в свободном

пространстве-

(е = |Л = 1), как известно,

можно вычислить по формулам (5.61),

полагая

gikr

П = р - ^ — ,

где р — момент диполя, г — расстояние от диполя до точки наблюдения. Полу­ чить аналогичные выражения для квазистатических полей, удовлетворяющих уравнениям (5.56), и показать, вычисляя составляющие полей в сферической си­ стеме координат г, #, ф (направление # = 0 совпадает с направлением веществен­ ного вектора р), что при г 0 разности Е — Е й Н — Н имеют более слабые осо­ бенности, чем сами поля Е и Н. Учесть, что плотность тока j , соответствующая элементарному диполю, определяется формулой

j = — ш р б (г),

где г — радиус-вектор, проведенный из начала координат, в котором располо­ жен диполь, к точке наблюдения.

Р е ш е н и е . Вектор Герца квазистатического поля определяется урав­ нением

ДП = 4л. j = — 4itp6 (г)

ш

и имеет вид

1 П = р — .

г

Он определяет квазистатические поля по формулам

 

 

Ё~= grad div П ,

Н = — iferot П.

 

В сферической системе

координат

г,

й,

ср имеем

 

 

 

 

 

 

Й,

 

 

 

cos#

 

 

 

 

 

 

d i v n

 

=

— р

— ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г2

 

 

Е г = р

2cosd

,

-

 

„

sin -&

~

..

sin О

 

г

Еъ-Р

 

 

—,

Н

=—ikp-

т-

 

 

 

 

 

 

 

г3

v

 

т. е. поле Е совпадает со статическим полем электрического

диполя, а поле Н —

с полем элемента постоянного тока. Полное поле в той же задаче имеет состав­ ляющие

Ег = 2р cos # ( 4 — £ - ) е ' »

=

р sin * ( ±

_ 4 - 4 ) є'*',

 

, 1

ik

,

Jkr

Я ф = — ikp sin ф | — — —

) e

так что при kr ->- 0 мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + k2r2

 

„

 

 

1

£2

г 2

 

 

 

Ет =

 

,

 

п

 

2

 

 

 

 

р cos ft — —

 

 

= р sin ft

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + £ 2

л2

 

 

 

 

 

 

 

я т - —i k P s i n

$

;—

 

 

 

Er-Er=

&

fe2 р cos

,

ft

g,

—

 

fe2psinft

,

Я ф

-

.

 

 

 

Eft—Eft=

 

 

- Я ф

=—ik»psinft,

 

т. е. разность электрических полей имеет особенность

вида

Mr (вместо Иг3),

а

разность магнитных полей вообще не имеет особенности

(в то время как каждое

поле пропорционально

1/г2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

Пусть два электрона,

находящихся на

расстоянии г, движутся

со

скоростями t>i и v2,

образующими

произвольный угол. Вычислить силы электри­

ческого и магнитного взаимодействий между ними. Использовать решение пре­ дыдущей задачи, ограничиваясь квазистатическими полями. Особо рассмотреть

частный случай, когда скорости vx и v2

параллельны, равны и перпендикулярны

линии, соединяющей

электроны.

 

 

 

Р е ш е н и е .

Сила

электрического

взаимодействия, очевидно, равна

 

 

 

 

г2

 

это — сила отталкивания

согласно

закону Кулона, которым по предыдущей

задаче можно пользоваться при достаточно малых г.

Чтобы вычислить силу магнитного взаимодействия, найдем сначала маг­

нитное поле заряда,

движущегося

со скоростью vx. Для этого воспользуемся

формулой, полученной в предыдущей задаче для Н ф ; в этой формуле

 

 

1

Р

с

dt

Если учесть, что электрический момент двух точечных зарядов —е и е определяет­ ся выражением р = е\, где I — в е к т о р , идущий от заряда —е к заряду е, и если считать, что заряд —е покоится, то

 

 

dp

d l

 

 

 

 

 

~dt

= e " d 7 =

e

V '

 

где v — скорость заряда е. Применительно к нашей задаче имеем

 

 

 

eUiSinft

 

 

поэтому сила магнитного взаимодействия равна

 

 

V2

~

Є2

~Uj v2

 

 

Гт=е —

4ySin%

= —

 

sin х sin ft,

где ft —

угол между скоростью t>i и линией, соединяющей

1-й и 2-й электроны,

а X — У г ° л между скоростью v2 и магнитным полем Н.

задачи, vx = v2 = v,

В частном случае, о котором

говорится

в условиях

% = ft =

п

 

 

 

 

 

~2 и

 

 

 

 

 

 

 

 

V2

 

 

 

fm= 7~ fei

с2

причем fm — сила притяжения. При vzzc силы fe и fm почти полностью ком­ пенсируют друг друга, поэтому ультрарелятивистские электронные пучки почти не расходятся под действием сил отталкивания.

13. Если в однородном идеальном волноводе, в пустоте, имеется не завися­ щее от времени распределение заряда, то электрическое поле вычисляется по

формуле

(см. 6-ю лекцию)

 

 

 

Ё = — gradcp, Ф (х,

у, z) = J G (х,

у; х, у; г— г ) р ( х , у,

г ) d V,

где G —

функция Грина для уравнения

Пуассона, которая в силу

однородности

волновода по оси z зависит только от разности г — г (точнее, от абсолютной ве­ личины этой разности).

Если же распределение заряда р имеет вид

р = р (х. у, z — vt),

т. е. перемещается со скоростью v по оси волновода, то в общем случае выписан­ ную выше формулу применять нельзя. Вычислить электрическое и магнитное поля с помощью скалярного и векторного потенциалов по формулам

 

 

 

 

1

д\

 

 

 

 

 

 

Е = — йтайф — с

dt- ,

H = rotA,

 

считая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф = Ф ( х , у,z—vt),

А = А ( х , у,

z — vt)

 

и пользуясь волновыми уравнениями для потенциалов

 

 

 

 

1 <Э2Ф

 

1

д 2 А

4л

 

Выразить Ф и А через р с помощью функции Грина G, введенной выше для

Ф,

показать,

что Ф просто выражается

через Ф только при vie < 1. Показать,

что при vie С

1 сила, действующая на единицу объема, равна

 

 

 

f = —

pgrad6(x, у, z—vt),

 

(а}

причем относительная погрешность этой формулы порядка и2 /с2 .

 

Проверить выполнение граничных

условий

на идеально

проводящей стен­

ке

волновода.

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

В данном

случае плотность тока

имеет

составляющие

 

 

 

Іх=Іу'=0,

;'г = р (х, у,

г — vt)

v,

 

поэтому векторный

потенциал имеет единственную составляющую

 

 

 

 

Аг =

Ф.

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

Вводя обозначение (т. е., в сущности говоря, совершая преобразование Лоренца)

z — vt

можно переписать волновое уравнение для Ф в виде

д2Ф

д2Ф

д2Ф

 

дх2

1 ду2

^ dz' а - —4лр | х, у,

— ^ г'

в то время как Ф удовлетворяет уравнению Пуассона с несколько иной правой частью

 

 

д 2 Ф

д 2 Ф

д 2 Ф

 

у,

г).

 

 

 

 

 

 

 

 

— 4лр (х,

 

 

 

Решение уравнения для Ф имеет вид

 

 

 

 

 

 

Ф(х,

у, z') =

j G ( x , у;

х, у;

г' — ? ) р [іс,

у,

j / ^ l — ^ -

z'

j

или, если перейти к первоначальным переменным г и г ,

 

 

 

 

 

 

Ф = Ф / лг, г/,

г—vt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=—

G I х, у: х,

и:

 

 

р (де,

{Г, г—

vt)dV-

Таким образом, в общем случае тождество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф = Ф (х, у, z —of)

 

 

 

 

 

(Ь)

несправедливо, и

оно

получается

только при

vie

<

1,

когда

выражение

— и 2 / с 2

можно

заменить

единицей. В общем случае справедливы соотноше»

ния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с•Ех, Я 2 = 0,

вытекающие из связи Аг и Ф. При vie <С 1 сила (1.05), действующая на электрон со стороны заряда (и тока), имеющего данное распределение, определяется фор­ мулой (а), причем при использовании формулы (Ь) мы допускаем относительную ошибку порядка ч2 /с2 , а пренебрежение силой, обусловленной магнитным полем, дает ошибку того же порядка.

Если Ф = 0 на стенке, то Аг = 0 и Ег = 0 на стенке и другая тангенци­ альная составляющая Е также обращается в нуль на стенке.

14. Результаты, полученные в предыдущей задаче, заставляют предпола­ гать, что если определить величину v с помощью соотношения

а Р dt дР dz

то при отсутствии поперечных токов и при условии о « с силу, действующую на

единицу

объема, можно представить в виде

 

 

 

f = — р

gratis, Ф (х,у, z, t) = §G(x, у; х,

у; z—l)p(x,

у, z, t) dV

(а)

с относительной погрешностью порядка У2 /С2 ,

где G — функция Грина для урав­

нения Лапласа.

Проверить это утверждение, считая плотность заряда р пропорциональной £«<••«—ш<) и П р и м е н я я комплексные обозначения.

Р е ш е н и е . Из уравнения непрерывности мы получаем (Jx = j y = 0)

Уравнение для Ф имеет

В данном случае

v =

со h

и с относительной погрешностью порядка v2/c2 слагаемым со2 /с2 в уравнении для Ф можно пренебречь, после чего оно превращается в уравнение Пуассона и дает для Ф выражение (а). Сила, действующая со стороны магнитного поля по порядку

величины

равна \—г) р grad Ф или - j - p g r a d ® ,

откуда

и получается выраже-

ние (а) для f.

 

 

 

 

 

СП ИС ОК ЛИТЕРАТУРЫ К 5-й ЛЕКЦИИ

 

1.

Л. А.

В а й н ш т е й н.

Электромагнитные

волны.

Изд-во «Советское ра­

 

дио», М., 1957 (гл. X I V , § 79—82) или ЖТФ, 1953, т. 23, № 4, стр. 653—666.

2.

Л. А. В а й н ш т е й н.

Электронные волны

в периодических структурах.

 

ЖТФ,

1957, т. 27, № 10, стр. 2340—2352.

 

 

3.В. А. С о л н ц е в . Возбуждение однородных и периодических волноводов сторонними токами. ЖТФ, 1968, т. 38, № 1,стр. 100—108.

4. В. А. С о л н ц е в,

А. С. Т а г е р. Возбуждение волноводных

систем

электронным потоком

с заданной модуляцией. «Радиотехника и

электро­

ника», 1960, т. 5, № 7 , стр. 1100—1111.

 

Смотрите также файлы