Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 315

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Соотношение (6.13) показывает, что воздействие поля бегущей волны на электроны при hmhe также имеет резонансный характер. Подобный двухсторонний резонанс в пространстве есть главное преи­ мущество приборов с длительным взаимодействием.

Прямой вывод соотношения (6.13) дан в задаче 1. Наиболее корот­ ко его можно вывести, опираясь на формулу для диэлектрической проницаемости электронного газа в покоящейся плазме

е „ Н =

1 — 'И",

(6-15)

в которой под действием переменного поля возникает

переменный

ток с плотностью

 

 

U = -ШРг = - к о

*»•(«>>-- Е г і

( 6 . 1 6 )

поскольку в направлении оси г электроны перемещаются свободно. Здесь Pz — составляющая вектора поляризации плазмы, т. е. диполь-

*

d P z

ного момента на единицу объема, и производная -щ- как раз дает плотность тока. Заметим, что в формуле (6.15) движение ионов не учтено, поскольку на сверхвысоких частотах оно пренебрежимо мало влияет на диэлектрические свойства плазмы. Точно так же в линейной теории приборов типа О влияние ионов (если они и присутствуют в пучке) можно не учитывать, если мы уже сделали какие-то пред­ положения об электронном пучке в отсутствие сверхвысокочастотных полей. Более существенно то обстоятельство, что электроны дви­ жутся со скоростью ve, и поэтому эффективная частота поля, дейст­ вующего на электрон, равна

 

сое = со —hve.

(6.17)

Если h =

(дій, где и — фазовая скорость волны, то эта

формула

принимает

вид

 

^ - . ( i - f )

и выражает эффект Допплера (см. задачу 1 к 4-й лекции). В общем случае мы имеем

е-<**--•) = е - п р и z = v„t,

откуда и следует формула (6.17). Беря в формуле (6.16) ггг (сое) вместо ezz (со), приходим к соотношению (6.13).

Подставляя выражение (6.04) в соотношение (6.13) и учитывая формулы (6.02), (6.07) и (6.12), получаем интегральное уравнение

гр(х, у) + ^К(х,

у , х, у ; h)^(x,

y)dS = 0

(6.18)

для функции (х, у), определяемой формулами (6.01) и (6.03). Ядро этого интегрального уравнения

К(х, у; х, у; h)=

 

—~

(A —

he)2

(h -

A.) N,

 

 

 

 

4л

 

 

 

 

 

 

 

Щ^-чЛ*. У) Ф . ( *, у) +

+ —

Г G(x,

у; х,

у;

г)е

l h z dz

(6.19)

 

ю

J

 

 

 

 

 

 

 

симметрично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К{х,

у;

х,

у; h) = K(x,

у; х,

у;

п),

 

как следует из формулы

(6.09). Однородное интегральное уравнение

(6.18) имеет нетривиальные

решения

(х, у),

г|)2

(х, у),

... лишь при

некоторых значениях

hi, /і2 ,

эти собственные

функции -ф (х, у) и

собственные значения h дают нам электронные волны в данной системе. Часто наряду с интегральным уравнением (6.18) удобно исполь­

зовать для функции -ф (х,

у) дифференциальное уравнение

 

 

A 4 + g 4 > = 0,

(6.20)

в котором

 

 

д2

,

д2

 

 

 

А*

(6.21)

 

 

дх2

 

ду2

 

 

 

 

 

есть двухмерный

оператор

Лапласа,

а поперечное

волновое число

 

g = V{h*-h*)B„

 

(©,)

(6.22)

зависит от продольного волнового числа h. Функция

ezz (со) опреде­

ляется формулой

(6.15), по существу

 

это есть составляющая тензора

диэлектрической проницаемости плазмы в бесконечном магнитном поле (гхх = гуу = 1, остальные составляющие равны нулю). По­ перечное движение электронов, о котором говорилось выше, можно учесть, беря диэлектрический тензор электронной плазмы в конечном магнитном поле; это сильно усложняет все соотношения. Вывод урав­ нения (6.20) дан в задаче 2.

Отметим, что электронный пучок можно характеризовать диэлек­ трической проницаемостью или диэлектрическим тензором, но при ve=£0 эти величины зависят от эффективной частоты (6.17), т. е. не только от частоты со, но и от волнового числа h. В общем случае за­ висимость электрических свойств вещества от волнового числа назы­ вается пространственной дисперсией; она характеризуется тем, что электрическое поле, действующее на вещество в данной точке, вызы­ вает электрические токи не только в ней, но и в других точках, т. е. связь между током и полем не имеет локального характера. В нашем случае возмущения, вызванные полем в пучке, «сносятся» вдоль пучка благодаря движению электронов со скоростью ve, и поэтому прояв­ ляются вдали от точки приложения поля.

В дальнейшем дифференциальное уравнение (6.20) мы будем использовать в основном при изучении свойств функции г|) (х, у) при наличии симметрии вращения. Используя же интегральное урав­ нение (6.18), удается построить общую теорию электронных волн не­ зависимо от формы электронного пучка и граничных условий на по­ верхности замедляющей системы. Как уже отмечалось, наибольший интерес представляет вычисление волновых чисел электронных волн: нам нужно знать, какие электронные волны распространяются в вол­ новоде с пучком, какое при этом получается усиление или ослабление, какие фазовые соотношения. Для определения волновых чисел элект­ ронных волн можно вывести характеристическое уравнение, корни которого являются стационарными функционалами (в смысле вариа­ ционного исчисления)функции "ф (х, у) и, следовательно, слабо зависят от вида этой функции; а именно, умножая обе части интегрального уравнения (6.18) на функцию -ф (х, у) и интегрируя по поперечному сечению электронного пучка Se, получаем уравнение

где

 

 

 

Е(Л, я|>] =

0,

 

(6.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е(Л, Ч>]=

^ ( х ,

y)dS

+

 

 

 

 

 

 

Se

 

 

 

 

 

+

§К

(х,

у, х, у;

h) г|) (*,

у) ф (х,

у) dSdS

(6.24)

есть

функция

от h и функционал

от г|>.

 

 

 

Уравнение (6.23) и есть нужное нам характеристическое уравне­

ние:

оно определяет

волновое

число

h, соответствующее

функции

•ф (х,

у), причем если функция i|5 (х,

у) нам известна с некоторой малой

погрешностью

6т|), то погрешность

в волновом

числе h будет

порядка

(6ij))2; это показано

в

задаче 3.

 

 

 

 

б. УСРЕДНЕННЫЕ ПОЛЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Характеристическое уравнение (6.23) выбрано выше из чисто математических соображений, связанных со стационарностью. Его можно вывести несколько иным путем, позволяющим лучше понять физическую сторону дела и получить выражения для полей, которые можно обобщить на случай нелинейных режимов (см. 7-ю лекцию). Положим

Е 2 = \Ez^dS,

(6.51)

т.е.образуем усредненную продольную составляющую электрического поля по сечению пучка, используя в качестве весовой функции функцию of) (х, у), определяемую формулами (6.01) и (6.03).

124

Подставляя в формулу (6.51) выражение (6.04) и используя вы­ ражения (6.07) и (6.12), получаем

 

 

2{h

— ha)

mS

J,

 

(6.52)

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я . =

-

^ % ^

Ф ! ,

 

 

(6.53)

 

 

 

 

со ™ s

 

 

 

 

 

Г = ^

-

[G(z)e"»dz,

 

 

(6.54>

 

 

4л

J

 

 

 

 

 

_ 1 _

 

= j 4 2 d S ,

 

 

(6.55>

 

5

 

 

 

 

 

 

G (z) = Ц G (*, у;

*,

y; 2) * (*, 40 Ч> (*,

dS dS.

(6.56)

Величины i?s , Г, S, G, введенные в результате усреднения, имеют

следующий смысл: S — эффективная

площадь поперечного

сечения

электронного пучка,

Rs — удельное

сопротивление

связи

пучка и

волны, определяющее эффективность взаимодействия пучка

и волны,.

Г — коэффициент депрессии

сил пространственного

заряда,

характе­

ризующий изменение

поля

пространственного заряда при

переходе

от бесконечно широкого пучка

к пучку конечного сечения, G — усред­

ненная по двум сечениям электронного пучка функция Грина, опре­ деляющая потенциал квазистатического взаимодействия этих сече­ ний. Читатель сможет уяснить этот смысл по мере чтения этой лекции и решения задач к ней (см. задачи 4—7 и 13—15).

Усреднив таким же образом

соотношение (6.13),

получим

Е ы

it^Lj.

( 6 .57>

то

hp

 

Приравнивая усредненные поля (6.52) и (6.57), придем к характеристи­ ческому уравнению, совпадающему с уравнением (6.23), которое мы получили выше из иных соображений.

Это характеристическое уравнение можно записать в следующем развернутом виде:

(А — Л.) [(Л—KY—T{h)h*p ] = — г3hi,

(6.58)

где безразмерный параметр

 

 

^

я . 4 -

( б - 5 9 >

8 я

he

 

определяет связь между электронным

пучком и синхронной волной и

называется параметром усиления. Заметим, что в литературе часта параметром усиления называют параметр

С = е ^ у / 3 ,

(6.60)

125

при hs = he совпадающий с є. Однако в общем случае, при hs « he, удоб­ нее использовать параметр є, так как он не зависит от скоростей волны и пучка; в частности, в лампах с периодической электростатической фокусировкой е = const, а С меняется вдоль лампы (см. задачу 5).

Перейдем теперь к исследованию характеристического уравнения (6.58), определяющего главные свойства лампы в линейном режиме. При постоянных є и Г это уравнение — кубическое и поэтому имеет

три

корня, т. е. дает три электронные волны*,

из которых одна при

некоторых

условиях

является

нарастающей

(Im h < 0). Однако

на

самом

деле

уравнение (6.58)

является

трансцендентным, так

как

величины

є и

Г зависят

от

h: они получаются в результате

усреднения и потому зависят от функции г|з (х, у), а через нее и от h. В большинстве случаев ввиду стационарности h как функционала от г|) этой зависимостью можно пренебречь.

Вместе с тем, из формулы (6.54) видно, что величина Г непосред­ ственно зависит от К. Преобразуем эту формулу, учитывая, что усред­

ненная по сечениям

функция

Грина

G удовлетворяет уравнению

d2G(z) ^ _ і я _

[ б

( 2 ) _ _ д ( 2 ) ] )

( 6 6 1 )

 

гіг2

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

G (г) = — А - Л

A' G (х,

у; х,

у; г) ф (х, у) г|> {х, у) dSdS.

(6.62)

"Se

Соотношение (6.61) получается непосредственно из уравнения (6.10), если умножить обе его части на г|з (х, у) і|з (х, у) и проинтегрировать по двум сечениям, полагая

Д = Д ' + - ^ - .

(6.63)

Используя соотношение (6.61), с помощью интегрирования легко преобразуем формулу (6.54) к виду

 

 

оо

,

оо

Г ( Л ) =

—

f ^-e-ih*dz=l~

[b(z)e-ihzdz. (6.64)

 

4я

J

dz2

J

 

 

— oo

 

—oo

Примерный вид функций G и G изображен на рис. 6.1: функция G (z) имеет при z = 0 скачок производной, функция G (г) — логарифмиче­ скую особенность (см. задачи 13 и 14). Физически ход функции G (z) можно понять, учитывая, что согласно формуле (6.56) функция G (z)

* В литературе часто рассматривают уравнение четвертого порядка, чет­ вертый корень которого h = — hs (с точностью до слагаемого порядка є3 ) соот­ ветствует встречной волне, не находящейся в синхронизме с пучком. Поскольку синхронная волна, как мы предположили с самого начала, одна, а несинхронных волн в реальном волноводе много, то выделение одной из них — встречной пред­ ставляется нерациональным и лишь затрудняет исследование.

Смотрите также файлы