Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

представляет потенциал взаимодействия двух бесконечно тонких дис­

вуют как две бесконечные плоскости, во 2-й — как два точечных заря­ да в свободном пространстве, в 3-й — посредством затухающей волны с наименьшим по абсолютной величине волновым числом h\ (на нуле­

ной волне в неограниченном пучке, для которой согласно формуле

В силу неравенства

оо

-справедливого при вещественном h и убывающей положительной функции G (г), минимальное значение Г, равное нулю, реализуется при h = 0, что соответствует бесконечно длинным волнам или бес­ конечно тонким электронным пучкам. Таким образом, при наложен­ ных выше условиях на G коэффициент Г есть монотонная функция hb (b — поперечный размер пучка), равная нулю при hb = 0 и еди­ нице* при hb = оо. Функция G в принципе может и не удовлетворять этим условиям, например быть комплексной из-за комплексности гр (х, у); тогда свойства Г изменятся.

Таким образом, коэффициент депрессии Г показывает, во сколько раз нерезонансное поле, усредненное по конечному сечению пучка, помещенного в данный волновод, слабее поля в бесконечно широком пучке. Мы рассматривали только квазистатическую часть нерезонанс­ ного поля, которая определяется функцией Грина G, удовлетворяю­ щей нулевому граничному условию, т. е. такой же, как в идеальном однородном волноводе. В некоторых особых случаях (например, когда коэффициент Г, вычисленный таким образом, оказывается малым) подобное упрощенное рассмотрение оказывается недостаточным, и сле­ дует учитывать «динамические поправки» (которые могут сделать коэф­ фициент Г отрицательным). Подробнее эти вопросы рассмотрены в при­ ложениях V и V I .

Согласно приведенным выше формулам коэффициент депрессии даже без учета динамических поправок является сложной функцией волнового числа h. Однако при обычных для электронных приборов значениях параметра усиления ( є ^ О , 1) и плазменной частоты (сор <со) это волновое число мало отличается от невозмущенных волновых чисел he или hs. Поэтому обычно вместо Г (К) можно брать Г (he) или Г (hs) или же пользоваться более точным выражением

Характеристическое уравнение (6.58) при е = 0, т. е. при от­ сутствии свази пучка с синхронной волной, имеет три корня

Первый корень соответствует невозмущенной волноводной волне, два других — волнам пространственного заряда; их волновые числа

* Это справедливо, если функция гр не изменяется при росте hb (например,

постоянна по сечению). В противном случае предельное значение Г иное [см. приложение V, формулу (V.68)].

Нарастающая волна (TJ* < 0) имеется в области изменения пара­ метра скорости | ' (области усиления), существенно зависящей от

максимальное значение — ц " падает. С ростом параметра затухания^" усиление также падает.

При исследовании электронных волн желательно иметь в частных случаях простые аналитические выражения для корней уравнения

усиление.

Для нахождения коэффициентов характеристического уравнения (6.75) нужно знать параметры электронного пучка (скорость электро­ нов, плотность постоянного тока и т. д.), фазовую скорость и затуха­ ние синхронной волны, а также усредненное сопротивление связи этой волны с пучком, коэффициент депрессии Г и его «логарифми­ ческую» производную Л.

Последние три величины зависят как от волновода (замедляю­ щей системы), так и от пучка, в частности от распределения перемен­ ного конвекционного тока по его сечению, т. е. от функции о|) (х, у). Однако ввиду доказанной выше стационарности корней характеристи­ ческого уравнения относительно выбора ф (х, у) достаточно знать эту функцию лишь приближенно.

Она удовлетворяет уравнению (6.20), причем в силу стационар­ ности характеристического уравнения в выражении (6.22) для g можно

пренебречь членами порядка (^-)2 = ( у ) 2 и порядка є и положить

130