Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 318

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

g » = _ f c » 1 -

(6.76)

различая два предельных случая — слабого и сильного

пространст­

венного заряда. При слабом пространственном заряде (—f—. <С 1

можно считать g2

= — h%

(или g 2 == — hi),

т. е. уподоблять

распре­

деление тока в пучке распределению

поля

медленной

волны. При

сильном пространственном

заряде (а2 >

1, практически

о2 >

2) это­

го делать нельзя:

поперечное волновое число g становится

вещест­

венным и г|) — функция распределения тока в сечении пучка — меняет свой характер, например, в сплошном цилиндрическом пучке она убывает от центра к краю пучка, в то время как в первом случае монотонно убывает от края к центру (предполагается, что поле и ток

распределены в пучке

симметрично). Действительно, при сильном про­

странственном заряде

значения

і], представляющие интерес, близки

и + о , поэтому из формулы

(6.76) получаем

 

 

(6.77)

кв силу условия (6.72) g вещественно.

Впромежуточном случае функция г|э и волновое число g комплекс­ ны, т. е. по сечению пучка изменяется не только амплитуда, но и фаза сверхвысокочастотного тока; однако этот случай в настоящее время мало исследован.

Физически эти результаты можно интерпретировать следующим образом: пространственный заряд, по крайней мере при Г — 1, в оди­ наковой степени влияет как на продольное движение, так и на по­ перечное распределение. При слабом пространственном заряде груп­ пировка электронов происходит под действием поля синхронной волны, поэтому функция ij; (х, у) воспроизводит составляющую Ег этой волны. При сильном пространственном заряде характер группировки определяется главным образом силами пространственного заряда, поэтому и распределение тока в сечении пучка такое же, как в волне пространственного заряда, т. е. определяется вещественным попереч­ ным числом g. Таким образом, поведение функции г|з в этих крайних случаях совершенно различно, и, несмотря на стационарность харак­ теристического уравнения, это явление должно учитываться при вы­ числении усредненного сопротивления связи и коэффициентов Г и Л .

Отмеченное явление имеет большое значение при продвижении к большим мощностям или к коротким волнам (миллиметровым или субмиллиметровым), когда в приборах типа О увеличивают плотность заряда и тока. Его надо учитывать при расчетах, несмотря на связан­ ные с этим громоздкие вычисления. К сожалению, это явление не улучшает, а ухудшает связь пучка с синхронной волной (см. при­ ложение V).

Вместе с тем надо иметь в виду, что при сильном пространствен­ ном заряде нарастающая волна по структуре поля существенно от­ личается от синхронной волны в волноводе, уподобляясь волне про-

5 *

131

странственного заряда. Это должно приводить к дополнительным про­ блемам, связанным с вводом и выводом энергии. Теоретическое иссле­ дование электронных волн при сильном пространственном заряде производится следующим образом: сначала изучаются (без какоголибо усреднения по поперечному сечению пучка) волны пространст­ венного заряда и находятся их волновые числа; затем уже с помощью усреднения и характеристических уравнений (6.58) и (6.75) рассмат­ ривается результат синхронизации одной из волн пространственного заряда с медленной волной в волноводе (см. также приложение V) .

В данной лекции основное внимание уделяется характеристическо­ му уравнению (6.58) или (6.75). Если это уравнение имеет корень, для которого

l m / i < 0 или т ) " < 0 ,

(6.78)

то появляется неустойчивость: малое начальное возмущение, создан­ ное в некотором сечении, распространяется вдоль пучка в виде волны, экспоненциально нарастая. Начальным возмущением может быть как переменное электромагнитное поле, так и модуляция пучка. Нараста­ ние возмущений, как легко показать (см. 7-ю лекцию), сопровождается сгущением электронов в тормозящем поле синхронной волны.

Корень, удовлетворяющий условию (6.78), возможен только один, другие два удовлетворяют противоположному условию

1 т / г > 0 или

г ) " > 0 ;

(6.79)

оответст вующие электронные волны

сгущают электроны

в ускоряю­

щем поле синхронной волны, отбирая у нее энергию, или же груп­ пируют их вблизи нейтральной фазы, вследствие чего полный обмен энергией между пучком и синхронной волной отсутствует. Эти две электронные волны не могут конкурировать с нарастающей электрон­ ной волной: последняя, пробежав сравнительно небольшой путь, становится преобладающей, и свойственное ей сгущение также нара­ стает— до тех пор, пока не начинают сказываться нелинейные эф­ фекты, о которых мы будем говорить в следующей лекции.

Таков основной механизм фазировки в лампе с бегущей волной, приводящий к большим коэффициентам усиления (в достаточно длин­ ных лампах). Если же длина лампы невелика, то небольшие коэф­ фициенты усиления в ней можно получить и в отсутствие нарастаю­ щей электронной волны, пользуясь побочным механизмом фазировки; при анализе этого механизма пользоваться характеристическим урав­ нением необязательно и можно применить метод последовательных приближений (ср. задачи 17 и 18).

Обычно усилительные лампы с бегущей волной имеют поглощаю­ щую секцию, предохраняющую лампу от генерации; в этой секции синхронная волна отсутствует и возможно лишь распространение волн пространственного заряда. Применяя изложенную выше теорию к расчету ламп в линейном режиме, нужно иметь в виду следующие обстоятельства:

1) при слабом пространственном заряде полный расчет лампы возможен, если известны параметры входного и выходного устройств

вотсутствие пучка;

2)при умеренном пространственном заряде происходит взаимное преобразование волноводных волн, электронных волн и волн прост­

ранственного заряда,

снижающее полное усиление лампы;

 

3) при сильном

пространственном заряде преобразование элек­

тронных волн в волны пространственного заряда и наоборот

происхо

дит практически

без потерь, однако возникают, как уже отмечалось

дополнительные

проблемы, относящиеся к вводу и выводу

энергии

ЗА Д А Ч И К 6-й ЛЕКЦИИ

1.Показать, что в линейной теории приборов типа О плотность тока дается выражением

 

, z = p e ~ d T '

 

 

 

 

 

 

 

(

где 2 1 = zl(t, z) — функция,

определяющая возмущенное

движение частиц;

координата частицы, пересекшей сечение 2 = 0 при t =

t0, равна

 

 

 

z = ve(t-t0)

+ z1(t,

 

ve(t

—

t9)).

 

 

 

 

 

Показать, что j z удовлетворяет уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

at

dz J

 

 

m

 

dt

 

 

 

 

 

Пользуясь этими формулами, вывести соотношения (6.13) и (6.16).

 

 

 

Р е ш е н и е . Уравнение движения

 

частиц

 

 

 

 

 

 

 

d2z

 

е

„

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

d

д

,

д

і

v 4 T 0 с в 0 "

в линейной теории можно упростить, заменяя г на г 1

и ^

на -щ +

ve

 

 

 

dz1dz1\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дится к пренебрежению слагаемым ^f^j-

 

В результате получаем

 

 

<•

д

д \2

 

е

г .

 

 

 

 

 

— + v e

— )

г1

= — Е

 

 

 

 

 

at

 

oz j

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

d z X

\

 

 

 

 

 

 

Полная плотность тока равна (pe-j-

р1 ) I ve

 

+

^~J> а в линейном приближении

dz1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пренебрегая произведением Р 1

^ . Для переменной

плотности имеем выражение

<fei

 

 

dz1

 

 

 

 

dz1

 

 

 

/г = РІ »в + р е — Г = ve Д + р е —

,

Л = р 1 + р е - — .

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

dz

 

 

 

Нетрудно показать, что А = 0; для этого воспользуемся уравнением непрерыв­ ности (1.04), которое в данном случае имеет вид

dt ^ dz

'

и подставим в него выражение для j z , выведенное выше. Мы приходим к соотно­ шению

дЛ

дА

dA

 

—

+ , е — = 0

или — = 0.

(с)

Таким образом, Л не изменяется по мере движения данной группы электронов (скажем, вошедших в лампу в какой-то малый промежуток времени). Если пер­

воначально пучок был невозмущенным, то А

0 и мы получаем формулу (а).

Из формулы (а) и уравнения движения в виде

 

 

д

д

dzi

е

дЕх

dt

•о. дг J

dt

т

dt

уже нетрудно получить уравнение (6), в силу линейности которого можно приме­ нить комплексные обозначения. Считая j z и Ег пропорциональными е ' ( ' 1 г — a t \

a ve и р е — не зависящими от х, у

и г, мы приходим к формуле (6.13). Заметим,

что при такой зависимости от г и t соотношение (с)- принимает вид

сое Д =

(со— hve) Д = 0,

откуда опять видно, что Д = 0. При ve =

0 (или при h = 0) из уравнения (6)

получаем соотношение (6.16).

 

 

Физический смысл соотношения Д =

0 становится прозрачным, если пере­

писать его в виде

 

 

 

р 1

dz1

ре дг

и иметь в виду, что правая часть дает относительное удлинение элементарного отрезка, образованного теми же электронами, по сравнению с невозмущенным пучком, а левая часть — относительное уменьшение плотности заряда в этом от­ резке. Равенство вытекает из закона сохранения заряда, который, разумеется, эквивалентен уравнению непрерывности (1.04); аналогичный подход использован

в7-й лекции.

2.Исходя из уравнений электромагнитного поля, получить для составля­ ющей Ег внутри пучка уравнение

Д ' £ 2

+ ( й 2 - / г 2 ) £

4 т

(а)

г = — (k2-h2)jz,

 

 

(СО

 

из которого вывести уравнение

(6.20). Считать, что пучок расположен в пустоте.

Р е ш е н и е . Из уравнений поля в пустоте следует уравнение

 

 

 

4т

=

4jx

k2).

(b)

— r o t r o t E - f & 2 Е = — -^~ikj

t'co

 

 

 

с

 

 

 

Учитывая соотношения

 

 

 

 

 

 

 

rot rot E = — Д E+graddiv E = — A ' E + A 2 E + g r a d

d i v E ,

4 л

,

4nh

д

, _

4nh2 .

d i v E =

div ] =

j z ,

d i v E =

i

\ z

ico

 

со

dz

 

 

со

 

и ограничиваясь вместо векторного уравнения (6) только уравнением, связыва­

ющим Ег

и j z , придем к уравнению (а). Подставляя в уравнение (а) выражение

 

lz =

^{x,

y)J(z)=—iu

 

Ez,

получим

уравнение

 

 

 

4 я

 

 

 

 

 

 

 

Д* Ez +

(k2 -

Л2) Ег

= - (k2 -

h2) [bzz (сое)

-\]EZ

или

 

 

 

 

 

 

 

 

AtEz +

(k2-h2)ezz

(сое ) £ г = 0.

 

Поскольку if>(#, у)

и Ez при г = const различаются лишь постоянным множите­

лем, мы получаем уравнение (6.20).

3.

Показать,

что характеристическое уравнение (6.23) дает h как стацио­

нарный

(в смысле вариационного исчисления) функционал от

Р е ш е н и е .

Варьируя уравнение (6.23), получаем

<5Е „

— - 6/i + 6E = 0, dh

где бЕ есть первая вариация Е при h = const. Благодаря симметрии ядра К имеем і

бЕ = 2 I 6г|з (*, у) dS

(х, у)+

j К {х, у- х, у; h) ф (х, у) dS],

5 .

L

S_

откуда в силу интегрального уравнения (6.18) получаем бЕ = 0 и 6А = 0. Это значит, что, беря вместо точной функции if> некоторую приближенную функцию •ф+бЧр. мы получаем из уравнения (6.23) или совпадающего с ним уравнения (6.58) значение /г, имеющее погрешность порядка (бг|з)2.

4. Выяснить смысл величины S, определенной посредством формулы (6.55), рассмотрев два примера: 1) функция (х, у) постоянна на одной части попереч­ ного сечения пучка и равна нулю на другой его части; 2) функция і|з для пучка кругового сечения экспоненциально (и достаточно быстро) убывает при удалении от поверхности пучка.

Р е ш е н и е .

Если через

обозначить ту часть поперечного сечения

Se,

где г|) = const Ф 0,

то

в силу

условия

(6.03) г|) = 1/S*

не S | ,

г|з= 0

на

остальной части Se.

Формула (6.55) в этом случае дает S =

Возьмем теперь

 

 

 

 

 

 

г—а

 

пучок круглого сечения

(радиуса

а), в котором ij) пропорциональна

е d . При

d <g а мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г—

а

а

 

 

 

о

так что S = 4nad. Таким образом, величина S равна произведению окружности пучка 2яа на 2d; последняя величина характеризует глубину, на которой пере­ менный ток в пучке того же порядка, что и на поверхности (ср. теорию сильного скин-эффекта).

5. Обозначим через Je = peveSe

постоянный ток пучка, через Ue =

= — его напряжение. Показать, что параметр (6.59) можно представить

в виде

-Г 4Ue \ he

где

Rs S

S e

есть полное сопротивление связи, a S —• эффективная площадь сечения пучка, определяемая формулой (6.55). Показать, что параметр 8 в отличие от параметра (6.60) постоянен, если he меняется вдоль лампы (при постоянном S). Выразить Ks при слабом пространственном заряде через средний квадрат продольного электрического поля синхронной волны; для незатухающей синхронной волны." выразить сопротивление fts также через поток мощности волны в данном попереч­ ном сечении (см. задачу 7 к 5-й лекции).

Смотрите также файлы