Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

aS

hp

S

сор

е

S

8л

h?

8л

со2

2/шв2

S„

е 3 =

hs Ks Jp =

—

2mco2

4(7, V

2{El,zf

_ 2

S

2 (El

zYifosWS)2

h2sNs

Vs

Se

h*sN$Se

j > * d S '

В

этом выражении фигурирует средний квадрат поля, о котором говорилось

в

условиях задачи.

пространственного заряда Ег = —

и распределением тока /(г) при любой

зависимости

J от г. Выяснить, в какой мере поле при данном г зависит от тока

при других

значениях z, для чего воспользоваться решением задачи 6 к 5-й лек­

ции.

Р е ш е н и е .

Согласно формулам (6.08), (6.11) и (6.51)

dJ

d

-

~

• ~ ~

ф ( г ) = —

G ( г — 7 ) dz

(СО

dz

G(z—z)J

(z)dz,

так что

£ г ( г ) = -

dO>

d2

dz

G (z — z) У (z ) dz =

dz2

4л;

J (г)—

]

G(z — z)J

{z)dz

itoS

Первое слагаемое в квадратной скобке

определяется

током в том же сечении,

где вычисляется поле (локальная зависимость),

второе — током

при

всех

z

(нелокальная

зависимость).

Однако

квазистатическое

поле,

создаваемое

за­

рядом в

данной

точке, практически

простирается

только

на

расстояния

порядка

а от

данной точки

(а — внутренний

радиус

волновода),

поэтому

ного сечения.

Нелокальная зависимость поля от тока приводит к тому, что величина (6.64)

зависит

от А.

волне Ег и \ г , не зависящие от х

7.

Показать,

что в плоской электронной

и у, связаны соотношением "

4л

(а)

и,

следовательно,

Г =

1.

Р е ш е н и е .

Мы имеем

div Е =

dEz

р =

div j =

и,

dz = 4лр,

г со

ш dz

следовательно,

dEz

4л

djz

dz

/со

dz

Поскольку в электронной волне Ez

и j z зависят от г одинаково

(пропорциональ­

ны el f t z ), отсюда следует соотношение (а).

8.

Определим коэффициент связи К так, чтобы формула (6.52) приняла вид

4л

+ Г

_J_

(в)

-

К'-

• 2 ( h - A e )

S

ного поля примерно

так же, как коэффициент депрессии

характеризует ампли­

туду

нерезонансного поля. Найти

К и выразить є через

К. Использовать фор­

мулу

(а) для вывода характеристического уравнения.

Показать, что плазменное волновое число можно выразить через безраз­

мерный параметр

т

т

= - A - =

l / : 2\е\

\Ue\3'2

2е

^ _ « S _ _ R s _

е з и К hshp

К hs top

волн пространственного заряда по формулам

h+ = he-^R+hp,

h„ = he—R„hp.

tn\

Р е ш е н и е .

Для каждой

волны пространственного

заряда переменный

ток пучка равен

I

-

( « > ± « > о

Л

J(t,

2) = R e { 7 0 e t ' ( f t z - B ' ) } = R e

J 0 e

2 - г — at ]

или

1,4.

\

Г.

{ 1

' ( Л 2 ' ± Ш о ' Н

и

ы±®д

J(t,

z) = Re

\J0e

v

q

'і,

A =

ve

где J0 — комплексная

постоянная.

Последнее

выражение

показывает,

что мы

имеем дело с волной, частота которой равна ад

=

сод(Л).

входящие в формулу

В первом приближении коэффициенты редукции R±,

(а),

равны

во втором приближении

# + = Я _ = У Г 7 Л ) ;

R+

=

/

г

(А, + УГ7Й7) Ар) ж У г Т Л ) +

(К) hp,

я _ =

/

г

( А . - У П А Т ) Лр)з^

УПАТ) -

y

^

г ' ^

10, Исследовать корни уравнения (6.75):

1) при | =

0,

а = 0

и Л = 0;

2) при 1" = 0,

а- =

| 2 — ^ -

и Л = 0;

3) при о »

1 и Л =

0 (исходить из того, что в нулевом приближении корни

близки к І и ±

а; произвести уточнения,

считая

1~а,

и найти l m a x ,

£ m ; n и

| о Р (

при а >

1 и

І" =

0, а

также — т)" при і

=

l0pt);

4) при а >

1

и Л = £ 0 .

Дать физическую интерпретацию результатов, полученных

в трех

послед­

них примерах.

Р е ш е н и е .

При £ =

о =

Л =

0 мы имеем т]" =

—

1, откуда

1

. У э Г

Ц и 2 = =

— - ±

1

— -

,

Т|,=

— 1 .

При вещественном %, связанном с а 2

приведенным выше соотношением,

уравне­

ние (6.75) примет вид

(П-І)

( т і 2

- Е 2 ф ~ - )

=

- 1 ,

если

Л =

0.

Легко видеть, что это уравнение имеет корень г|3 =

—

I; другие два корня суть

При а >

1, Л = 0 и |

ищем

т] в виде

т| = а 4 - о ,

| 81 <

а

и в получен­

ном кубическом уравнении

б(2а +

б)(а - I +

S) =

-

1

заменяем 2а +

б на 2о (ЕО второй сксбке пренебречь слагаемым б нельзя, так как

разность а —

£ мала); тогда приходим к квадратному уравнению

1

І — о-

т

f

(1 — <у\2

1

6 2 * ( c - ! ) 6 4 -

= o.

в 1

, 2

= —

± у

(—)

_

— .

которое при условии а—

| / —

<

§ < ст +

| /

- j - дает комплексные корни

|_±_о_

. , / " 1

/ | - а \ 2

(а)

Таким образом, при Ь" =

0 получаем

Imin = а — У^~>

lopt = 0, Ътах = С + у

/

Г (

О

> 1),

Третий корень т)з »

— а вещественный.

Физический смысл этих результатов следующий: значения

г) = ± а

определяют волны

пространственного

заряда, а значение т] =

\ — волну

в волноводе. Действительно,

формула (6.73) дает

.

. „ ^ .

<й ± УГсОр

Л = А е ( 1 Т е о ) = -

а при г) =

Е имеем Л = hs;

таким образом, мы приходим к волнам, существующим

согласно

формуле

(6.70)

при отсутствии

взаимодействия пучка с

синхронной