Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 323

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

странственного заряда существенно различаются между собой, поэтому синхро­ низироваться с волной в волноводе может только одна волна. Условие | г о означает, что медленная волна пространственного заряда имеет приблизительно ту же фазовую скорость, что и волноводная волна; при этом, как мы видели, воз­

можно усиление. Соотношение а 2

=

| 2 — 1/2£ при £ > 1 дает

0

ж £, поэтому

полученное выражение для % 2

согласуется с

выражением,

найденным

при

а > 1.

 

 

 

 

 

 

При конечных о* (скажем, что

при О < 0 <

1) с волноводной

волной

син­

хронизируются обе волны пространственного заряда и кубическое уравнение нельзя свести к квадратному.

Учитывая слагаемое єАт|, вместо формулы (а) получаем формулу

2 =

 

Е - с т

 

 

где

 

 

о = 0

+ єЛо ж о +

єЛо2 .

Таким образом, учет члена порядка є в характеристическом уравнении приводит при 0 > 1 к замене 0 на а, т. е. как бы к увеличению параметра про­ странственного заряда; отсюда и следуют выводы, сделанные в тексте.

11. Если комплексный параметр £ изменится на малую величину 6£, то корень уравнения (6.75) изменится на

8ri — —— б£.

1 d | 6

Полагая 6 | = т. е. рассматривая затухание синхронной волны как малое возмущение, учесть влияние затухания на корни характеристического уравне­ ния во всех случаях, исследованных в предыдущей задаче.

Р е ш е н и е . Из уравнения (6.75) получаем

dr\

 

 

i f — о 2 ( 1 + є Л г ) )

 

 

1

 

dl

 

ті2 —о2 (1-|-єЛї)) +

(г1 — І)(2г| — еЛа2 )

 

1 — (т) — g)2

(2г) — єЛо2 )

откуда

вытекают

следующие

результаты:

 

 

 

 

1) дополнительное

затухание

поровну распределяется между тремя элект­

ронными

волнами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о%, 2 , з =

«Е73;

 

 

2) при больших | = | '

дополнительное затухание поровну распределяется

между

нарастающей и затухающей волнами

( 6 г [ 1 2 = -g-

так как

 

 

 

б т 1з = Г Т ^ Т • б т 1 і , 2 =

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ±

у 2 6

3 / 2

 

3)

при 0 >

1 имеем

 

 

 

 

 

 

 

при д =

0 и

£' = о,

т.

е. в

центре

области

усиления

8гц,2 = ~?г~£" ,

дополнительное затухание распределяется так же, как в предыдущем случае;

140

4) при Л Ф 0

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

I'—

о— — єЛа2

 

6 і 1 ь 2 =

 

11

, # =

?

/ 2 а

 

2(1

— # 2

± і # | / Т ^ Р )

 

2

 

— вывод

тот же,

что в

предыдущем

случае.

 

 

12.

Написать

и исследовать функцию г|>(г) для симметричных

электронных

волн пространственного заряда в пучке кругового сечения при слабом прост­ ранственном заряде, когда g = iq и q вещественно, и при сильном пространст­ венном заряде, когда g вещественно.

Р е ш е н и е . Для симметричных по азимуту ф электронных волн урав­ нение (6.20) принимает вид

Оно имеет решение

q(r) = DJ0(gr),

где постоянная D определяется условием нормировки (6.03), в данном случае принимающем вид

ь

Ь

b

2п j ф (г) гАг = 2nD j J0 (gr) rdr = 2nD — J1 (gb) = 1.

о

о

 

откуда

ib П =

g J ° ( g r )

 

4 4 0

2nbJ1(gb) '

При вещественном g, т. е. при сильном пространственном заряде, функция

(г) максимальна при г = 0 и медленно убывает, осциллируя, при увеличении г; такое поведение Цэ (г) характерно для волн пространственного заряда. При мни­ мом g (g = iq, q > 0), т. е. при слабом пространственном заряде, мы имеем

 

 

 

 

•

( г ) -

Я 1 Л Ц Г )

 

 

 

(а)

 

 

 

 

т

1

 

2Шг (qb)

 

 

к

и поведение функции

ф (г)

иное: она минимальна

при г — 0 и монотонно возра­

стает при увеличении г, подобно составляющей Ez

медленной симметричной вол­

ны в волноводе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Используя выражение для функции

Грина G в круглом волноводе ра­

диуса а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi = T

S

2

B m „ e ~ V m ? l

а

J m ( v m n — U m ( v m n - M c o s m f a _ ? ) ,

 

в n = i

m=0

 

 

 

 

v

a

j

\

a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где v m n

— положительные

корни

уравнения

/ m ( v ) =

0, a

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( 2 - 6 m e )

 

 

 

 

 

 

 

>mn

 

Vmn Jm+

1 (Vmn)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и_применяя формулу (а), полученную в предыдущей задаче, вычислить функции G(z), G(z) и Г(Л). Показать, что коэффициенты ряда для G(z) при п ->- <х> ведут себя^так же, как коэффициенты ряда для потенциальной энергии взаимодей­ ствия двух равномерно заряженных окружностей радиуса Ь, находящихся на расстоянии |z|, и вывести отсюда, а также непосредственной оценкой ряда, закон изменения G(z) при \г \ 0. Показать, что G(z) — положительная убывающая функция |z, | если функция г|; (г) вещественна.

Р е ш е н и е . Согласно формуле (6.56) получаем выражение

 

 

 

_

 

1

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ( г ) = —

2

В0пС%е-*п\*\,

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

gn = Von

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

qh

(gn Ь) /х (<?&) ^ g n

Ух (g n

/3) / 0 (qf>) _

 

C n = / i ( < ? 6 )

 

 

 

<?a + g„

 

 

 

из уравнения

(6.61)—выражение

 

 

 

 

 

 

 

rs

 

S

°°

glBontie-Sn*

 

(z

 

 

 

G ( z ) = —

 

2

 

>

0),

 

 

 

4 j

t a n = l

 

 

 

 

 

 

согласно которому

G(z)

есть действительно

положительная убывающая функция

\г\, по крайней мере при вещественных q

или вещественных g, т. е. при вещест­

венной функции Ч>

величина

 

 

 

 

 

 

S

=

l£L

 

/ і

(gft)

=

4я_

 

У?

(gb)

 

 

q*

II

(qb)

- l \

(qb)

g*

j

\ (gb)

+ jf (gb) "

Согласно формуле

(6.64)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ала £ x

h2 + g

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Если в исходном

ряде для G мы ограничимся

членами, у которых т — 0,

и положим г — г =

Ь, то полученный ряд

 

 

 

 

 

 

 

Go ( г ) = 4 ~

S

. *oWo(gnft)

e - « n Iz I

 

 

 

 

 

л = 1

 

 

 

 

 

сходится так же, как ряд для G(z): при п ->• оо отношение неосциллирующих ча­

стей коэффициентов обоих рядов стремится к положительной константе. Поэтому при \г | -* оо обе функции имеют одинаковую особенность, и так как у G„(z) осо­ бенность логарифмическая (она пропорциональна \nbl\z\, как при взаимодейст­ вии двух окружностей или двух параллельных прямых в свободном простран­ стве), то и у G(z) — такая же особенность.

Непосредственно это можно показать так: при п -* оо мы имеем

и,

заменяя функции

Бесселя Jo(gnb) и Ji(gnb)

их асимптотическими выражения­

ми,

приходим к ряду

 

 

 

 

 

° °

 

— Л Я - І - І І

,

| 2 |

 

 

 

2

е

а

^

— я — \

г а

п р и л і г і ^ а

 

 

;

= — 1 п \ 1 — е

а / « I n — • — —

 

„ = i

 

L"

 

 

L n \ z - \

 

и к другим рядам, которые при z = 0 сходятся и дают (вместе с начальными чле» нами ряда, которые нельзя заменить асимптотическими выражениями) некоторые конечные слагаемые, которые влияют на постоянные множители, стоящие под знаком логарифма.

142

14. В предыдущей задаче показано, что функция G(z) имеет при z -* О ло­ гарифмическую особенность. Исследовать этот вопрос для плоскопараллельного пучка в свободном пространстве, имеющего толщину 26 и бесконечную ширину. Воспользоваться тем, что потенциальная энергия двух заряженных нитей (с еди­ ничным зарядом на единицу длины каждой) равна — 21пг, где г — расстояние между нитями. Рассматривая пучок бесконечной ширины как предельный случай пучка конечной ширины 2а, при переходе к пределу а ->• оо изучить свойства

функции

G (z)= Um -— G(z) = lim

— - G ( z «

a-*oo о

a->oo

do

Показать, что она имеет логарифмическую особенность при z ->• 0 и, монотонно

убывая

с ростом | z |, стремится к нулю при | z | ->•

оо.

 

 

 

Р е ш е н и е .

Функция G(z)

определяется

формулой

(6.62), в которой Se

возьмем в виде прямоугольника (— а <

х < а,

— 6 <

у

< 6), положим S =•

=

4 ab

и затем перейдем к пределу а -»• оо ; тогда получим функцию

 

 

 

 

W

 

\

пл

$2

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

— й

*

 

 

 

 

 

 

А Ь

-ь

- ь д

 

у

 

 

 

b -ь

у

G/-f-&)2 -fz2

и

окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Т / 4 6 2 + г 2

1 ,

26

 

 

 

 

 

0 (

г )

:

= ^ 1 П

^ Г " Ж

^ 1 П 7 ^

п Р " | г | « 2 6 .

С увеличением

| z | функция G монотонно убывает, стремясь при | z | ->- оо к нулю.

 

15.

В задаче 5 было введено полное сопротивление связи пучка с синхрон­

ной волной. Эту величину можно представить в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к*=к1в,

 

 

 

 

где Kg — сопротивление нитевидного пучка, на который

действует синхронная

волна с напряженностью £ ° z

[см. формулу (6.05)], а в — поправка на конечное

сечение пучка. Считая, что цилиндрический пучок имеет радиус b и что электрон­ ная волна симметрична, вычислить величину в при слабом и сильном простран­ ственных зарядах, а также при равномерном распределении тока по сечению пучка.

Р е ш е н и е . Согласно формуле (6.53) и определению Ks в задаче 5

имеем

Располагая нитевидный пучок при г = 0 и учитывая, что (см. задачу 12)

из формул (6.06) и (6.55) получаем

-

q

hs 10 (gb) Л (hs

b)-qh{qb)

/0 (hsb)

 

hl-q*

 

I l { q b )

 

 

S

4

l\(gb)

 

q*b* r0{qb)-l{{qb)

При слабом

пространственном

заряде

можно положить q ~ he

^hs,

и мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Є =

/ 2 ( й е

 

b)~l\(heb),

 

а при сильном

пространственном

заряде

 

 

 

 

 

 

4

[hs

J0

(gb) Ix

(ft. b) +

gJx (gb) I„ (hs b)}*

 

 

(hUg2)2b2

 

 

 

Jl(gb)

+

J\(gb)

 

При равномерном

распределении

тока,

когда

q =

0,

 

 

 

 

 

 

I

hsb

J *

 

 

В первом

и последнем

случаях

в

можно

вычислять непосредственно

по

полученным формулам, а при сильном пространственном заряде надо еще знать зависимость g = g(h) или Г = T(h). Эта зависимость для волн пространственного заряда дана в приложении V; там же приведены численные значения в .

16. Написать соотношения, позволяющие дать полный «внутренний» рас­ чет лампы с бегущей волной, т. е. рассчитать поле <£(z) в конечном сечении лампы

по полю $(0)

в начальном сечении (через c£(z) обозначена резонансная

часть

усредненного

поля

Ег,

т. е. без

поля пространственного заряда). Учесть в по­

глощающей

секции

zx

< z <

z2

две волны пространственного

заряда,

а при

0 < Z < 2 1

И Z > Z2

— три ЭЛеКТрОННЫе ВОЛНЫ. ПреДПОЛОЖИТЬ, ЧТО При Z = Zj

и z = z2 преобразование электронных волн в волны

пространственного

заряда

характеризуется комплексными

коэффициентами Эх и

82 (|6i | <

1, 16а | < 1).

Написать условие, при котором модуляцию пучка в поглощающей секции можно рассматривать без учета пространственного заряда.

Р е ш е н и е .

На отрезке 0 < z

< zx

согласно формуле

(6.52)

можно на­

писать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g ( z ) = g ( 0 ) M i e' A » z - f Л 2 е ' ' А « 2 - М 3 е ' А з г ] ,

 

 

 

J(z)

=

AS

[ ( A x _ A e ) A 1 ^ ' +

 

 

 

(ht-ht)Aie:lh»'4-(hs-he)Aaelh'zl,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

Rs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где hy, h2, h3

— корни

 

характеристического

уравнения (6.58)

a Alt

A2,

A3 —

постоянные,

которые определяются из начальных условий

 

 

 

 

 

 

Л і ф Л 2 + Л 3 = 1 , У ( 0 ) = 0 , 4 ^ ( 0 ) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

причем два последних условия выражают тот факт, что в лампу поступает

немо-

дулированный пучок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На отрезке zx

<

z

<

z2 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ( z ) = S(0)

 

[А+^+'+А-е"1-*],

 

 

 

 

 

—

=

*Ж (0) [h+ А+ е'Л +

ft_

Л_ е *~2 ] ,

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Л+

и /г_ определяются

формулами

(6.70), а постоянные Л +

и А_

находятся

из двух

условий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У(г1 +

0) =

9 1

У ( г 1 - 0 ) , ~

( г і +

° ) = е

і

Ч~ ( z i - 0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

dz

 

 

 

причем полагать 6Х =

 

1 можно лишь тогда, когда

распределение переменного

тока по сечению при z

 

< Z j и z > zx

одинаково; так будет в обоих

предельных

случаях

— при слабом

и при сильном пространственном заряде. Обычно

перед

144

Смотрите также файлы