Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 322

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

поглощающей

секцией

имеет значение

только нарастающая электронная

волна

с волновым числом hx

и можно

положить

 

 

 

 

 

Rs

 

 

 

 

dz

Rs

 

 

При слабом пространственном заряде А+

и h_ близки к 1ге, и если выполняет­

ся условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( А + - А _ ) ( г 2 - г і ) « 1,

 

 

 

то при zx < z

< z 2 можно пользоваться более простыми

выражениями

 

 

 

J(z)=cS(0)

(A + Bz)eifle

г ,

 

 

 

 

 

dJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— = % (0) [ihe

А + В (1 -t ihe z)] elHe z

,

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

соответствующими

перемещению модуляции

со скоростью

ve;

А и В — новые

постоянные, определяемые из тех же условий.

 

 

г <zly

На отрезке z

> г 2 надо брать те же формулы, что и

на отрезке

но надо взять новые постоянные Ах,

А2, А3;

они определятся

из условий

 

 

 

$ ( г 2 + 0) = 0,

/ ( г 2 + О ) = 0 г . / ( г а — 0 ) ,

 

 

 

 

 

dJ

 

п

dJ

 

 

 

 

 

 

 

— (г2

+ 0) = 9

2 — ( z 2 - 0 ) .

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

dz

 

 

 

 

В конечном сечении лампы обычно можно положить

Ч (г) = % (0) Ах e/ f t l Z .

17. Исследовать побочный механизм усиления в коротких лампах с бегу­ щей волной, применяя метод последовательных приближений. Для этого выве­ сти уравнения

 

 

d% J

 

dJ

 

, 2

ico о

 

 

 

 

 

 

d'S

', r„

Rs

 

 

 

 

 

 

— —ihs'S=—£j,

 

 

(6)

связывающие переменный

ток J{z) в пучке с усредненным резонансным полем

<£(z), введенным в задаче 16. В уравнение (а) входит величина

 

 

 

 

 

 

А , = ^ =

yrhp.

 

 

 

 

 

 

 

 

ve

 

 

 

причем зависимостью Г от Л мы пренебрегаем и под Г понимаем

T(he).

 

 

Найти первое

приближение,

беря

в качестве нулевого

приближения

 

 

 

 

« ( г ) = » ( 0 ) е * * а

 

(с)

и немодулированный пучок, и проанализировать его. Воспользоваться

решения­

ми

задач

1 и 16; считать, что поле

 

действует на пучок при z > 0.

 

 

Р е ш е н и е .

Умножая уравнение

(Ь) задачи 1 для временной

зависимо­

сти

e~'0}t

на і|з (х, (/), интегрируя и пользуясь формулой (6.52), получаем уравне­

ние

(а); уравнение

(b) непосредственно следует из той же формулы (6.52).

 

Уравнение (6) имеет решение

 

 

 

 

 

 

8(2) =

» < о ) —

 

 

e''A sг ,

 

ф')

а уравнение (а) также решается, если известна правая часть; поскольку соответ­ ствующее однородное уравнение имеет общее решение

J

(z) = A + e h + z - ^

Л _ e h - Z,

h± =

he±hq,\

неоднородное уравнение при подстановке (с) решается в виде

ш

ift.

2

 

/А

J(z)= — hp

(0)

 

2hq(hs—h+)

2hq{hs— hj) _

4л

( А , — А + ) ( А , — А _ )

где первое слагаемое в квадратной скобке есть частное решение неоднородного уравнения (а), а два других слагаемых—решения однородного уравнения, в которых А+ и Л_ подобраны из условий

 

 

У ( 0 ) = 0 .

dJ

(0) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя полученный ток в формулу (6'), получаем

 

 

 

 

 

 

# ( z ) = # ( 0 ) F ( z ) e

/А. z

 

 

 

 

 

 

 

где

ih\

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( A S - A + ) ( A S — А _ )

2А4

 

( А . - А + ) 2

 

 

( А , - А _ ) 2

Поскольку согласно формулам

(6.73)—(6.75)

 

 

 

 

 

 

 

 

ft+ = A e ( l + e a ) .

A_ =

A e ( l — e i ) ,

As

= Ae

(1 -4>е|),

А, = he

го.

 

то, вводя обозначение (см. 7-ю лекцию)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будем иметь

 

 

£ = eA e z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l _ e - ' № - f f >

С

l _

e

- '<Б + а> E

 

 

F ( Z ) = 1

g ° - a 2

2ст

 

( І - о ) а

 

 

 

(g Ф-ст)2

 

 

 

при вещественных

4

1

1-cos

( g - a ) g

1 - cos

(g-f-cQg

 

 

 

 

 

 

R e F ( z ) = l +

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

sin (g— a)g

 

sin(g-fo-)

£

 

 

I m F ( z ) = - ;

'—a2

2cr

 

 

 

 

 

(g +

o)2

 

 

 

Абсолютная величина f(z) может быть как больше единицы,

так

и

меньше.

Вводя энергию при z = 0 и извлекая

ее при данном г,

в первом случае

находим

усиление, во втором — ослабление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя полученное выражение для <£(z) в уравнение (а) и решая его, получаем второе приближение для J(z), которое с помощью формулы (А') позво­

ляет найти Щг) во втором приближении, и т.д. Как известно, построение

после­

довательных

приближений

по этому

методу

(метод Пикара) в пределе

всегда

приводит

к точному

решению, однако применимость первого или второго при­

ближения

ограничена небольшими значениями £, т. е. они позволяют рассчиты­

вать сравнительно короткие

лампы,

в которых небольшое усиление может и не

быть связано с условием (6.78), а имеет по существу интерференционный

харак­

тер. Неприменимость

первого приближения при больших

£ очевидна,

если рас­

смотреть случай, когда выполняется

условие (6.78) и 4§{z)

возрастает

экспонен­

циально: ни

первое,

ни второе приближения

этого возрастания

не передают.

18. Обобщить уравнение (а) и

все результаты, полученные

в

предыду­

щей задаче,

учитывая зависимость

Г(А) согласно формуле (6.68), которую

удоб­

нее переписать в виде

 

/

A— he

 

 

 

 

 

 

 

Г(А) = Г(Ав )

 

 

 

 

 

 

 

 

1-f А — — ~

 

 

 

 

Преобразовать уравнения (а) и (Ь) предыдущей задачи к безразмерным величи­ нам £, а, £ и т. д . , введенным при анализе ее решения, для чего перейти к медлен­

но меняющимся функциям

и <£°(£)

по формулам

 

J(z)=

J°£)eiheZ,

» ( * ) = » • (С) e'*e *.

Р е ш е н и е .

Вместо уравнения (а) задачи

17 получается уравнение

d

 

ІА і

d — ihe

\

J

 

 

—

-

6

I

4 я

 

 

he Л

 

 

 

гЛ

dJ<>

 

 

 

 

 

he

dz j

 

4 я

а вместо уравнения

(6)

 

 

 

 

 

 

d%<>-i(he-hs)c£°

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

Если перейти к переменной £ и ввести для сокращения письма обозначение

 

 

2&he

- ^° (С).

 

 

F° (С) = - т г 2

 

то мы получим систему

уравнении

 

 

 

 

d2

/о

— (єЛ

<£/<>

= — i f ,

(a)

d£

2 ^

 

 

 

 

 

 

 

-ilF°=—J°,

 

(6)

приводящую (если искать ее решения, пропорциональные

е( Г | ^) к характеристи­

ческому уравнению (6.75). Если же решать ее методом последовательных прибли­

жений, то нужно

прежде

всего учесть, что однородное

уравнение (а) имеет об­

щее решение

 

 

 

 

 

 

 

."1.

 

где

 

 

 

 

Т] , = ± о

 

 

еЛа 2

1 +

 

±ст + -

а если в правую часть (а) подставить нулевое приближение

 

 

f 0 (С) = F 0 (0) е*«,

 

то в первом приближении

 

 

 

 

 

 

'1-і

 

J°(Q = iF° (0)

(Є—ч+) (Е—ч_)

[ ( т ] + - т ] - ) ( 1 - т н )

( t i + - T i - ) ( E - T i - ) J

 

 

 

fo (о) _

J /o(g ) e - ' i f d ?

 

=

F°(0) {1

1

 

X

 

1 _ е - ' ( 6 - ч + ) С

1 - е - 1 * - " - "

ill

 

 

 

 

(l-ц-)2

19. Предположим, что ток пучка увеличивается при постоянстве формы пучка, частоты, коэффициента депрессии Г, коэффициента связи К (см. задачу 8), причем скорость ve при данном токе слегка изменяется так, чтобы нарастающая электронная волна давала максимальное усиление. Как это усиление зависит от тока при слабом и сильном пространственном заряде? Учесть, что плотность тока входит лишь в безразмерный параметр

2

, 2

сор

пр

и воспользоваться решением задачи 10.

 

Р е ш е н и е .

Параметр % пропорционален постоянной плотности заряда

и, следовательно, току пучка; параметр усиления пропорционален X1/3;

параметр

пространственного

заряда

о пропорционален

%V6 - Амплитуда нарастающей

электронной волны зависит от z по закону е

 

e Z , где he практически постоян­

но. При сг <

1 величина

— і]" практически

не зависит от х, поэтому

произведе­

ние —г)"є пропорционально

X 1 / 8 - При а >

1

величина —т)" обратно пропор­

циональна

У а,

т. е. X 1 / 1 2 ,

поэтому произведение —T|"s пропорционально х 1 / 4 ,

т. е. с увеличением тока возрастает более медленно.

 

20. Обобщить интегральное уравнение (6.18) и характеристическое урав­

нение (6.23)

на случай,

когда

 

 

 

 

 

ре

=

ре(х, у) и ve =

ve (х, у) > 0.

 

Показать, что при ve — const и переменной

плотности ре получается

уравнение

того же типа, что и уравнения (6.58) и (6.75). Воспользоваться решением задачи 1.

 

Р е ш е н и е .

Из вывода уравнения (6) в задаче 1 видно, что оно, равно

как

и вытекающее

из него соотношение (6.13), справедливо и в случае, когда ре

и ve,

а следовательно hp и he, зависят от х и у. Электродинамические соотношения

не зависят от предположений относительно р е и ve,

поэтому интегральное урав­

нение (6.18) справедливо с тем же ядром (6.19), в котором

hP = hp(x,y)

и Ле = Л е (х,

у);

ядро уж е не симметрично. Для того, чтобы сделать его симметричным, положим

-h — he(x,y) hp(x, у)

~

L\

h — he(x,

у)

К (х, у;

х, у; h) =

v

у)

 

 

hp (х,

hp {х,

у)

.

s

—

,

 

, К {х, у; х, у;

h),

h—he

{х,

у)

 

тогда функция г|> будет удовлетворять интегральному уравнению

$ (х, у) + ^ К {х, у; х, 7; А) ^ (х, у) dS= 0

с симметричным ядром К- Стационарное

характеристическое уравнение имеет

вид £(А, -ф] = 0, где

 

 

 

Е (Л, Щ =

^ гр (х, У) dS+§K

(х,

у; х, ~у\h) Ц (х, у) $ (х, у)

dS dS.

Если ve =

const, то he = const

и

знаменатели резонансных

слагаемых

(h — he)z и h — hs будут такие же, как и раньше. Поэтому получится аналогич­ ное характеристическое уравнение.

 

 

СП ИС ОК ЛИТЕРАТУРЫ К 6-й ЛЕКЦИИ

 

 

 

 

1.

A. N o r d s i e c k .

Proc. I R E , 1953, v. 41, №

5,

p. 630—637.

 

 

2.

Л. А.

В а й H ш T e й H.

Электронные

волны

в

замедляющих

системах.

 

Ч. I. Общая теория.

Ч. I I . Конкретные

задачи.

ЖТФ, 1956,

т. 26,

№ 1,

 

стр. 126—140, 141 — 148.

 

 

 

 

 

 

3.

В. А. С о л н ц е в .

О силах, действующих на электронный пучок в

лампе

 

с бегущей волной. ЖТФ, 1968, т. 38, № 1, стр. 109—117.

 

 

4.

В. Н.

Ш е в ч и к ,

Д .

И. Т р у б е ц к о в .

Аналитические методы

 

расчета в электронике СВЧ. Изд-во «Советское радио», 1970 (гл. I I I ) .

 

5.В. А. С о л н ц е в. О решении характеристического уравнения ЛБ В при большом параметре пространственного заряда. «Радиотехника и электро­ ника», 1966, т. 11, № 1, стр. 68—74.

Смотрите также файлы