Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Л е к ц и я 7

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЛАМПЫ С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ТИПА О

Линейная теория электронных волн, изложенная в 6-й лекции, справедлива при слабой модуляции электронного пучка по скорости и току. При сильной модуляции электронного пучка возникает ряд новых явлений: 1) изменение средней скорости электронов; 2) об­ гон одних электронов другими, формирование сгустков, их дефор­ мация и движение относительно поля синхронной волны; 3) по­

в результате неравномерной модуляции пучка по сечению, вызван­ ной неравномерностью поля медленной волны и поля пространст­ венного заряда; 5) остановка и поворот электронов; 6) поперечные движения электронов под действием сверхвысокочастотных полей замедляющей системы и пространственного заряда.

Наиболее важно учесть изменение средней скорости электронов, обгон и появление высших гармоник, поскольку эти эффекты су­ щественны уже при средних мощностях и небольших к. п. д. По­ ворот электронов возможен только при больших значениях к. п. д . (превышающих 60%), которые в настоящее время практически не достигнуты, а поперечные движения, приводящие к оседанию элект­ ронов на поверхность замедляющей системы, появляются, как правило, в тех случаях, когда фокусирующие поля недостаточно сильны.

В данной лекции мы изложим нелинейную теорию лампы с бегущей волной, учитывая лишь три первых (наиболее важных) явления из шести перечисленных выше. Несмотря на ограниченность этой тео­ рии, получаемые таким образом результаты существенно дополняют результаты линейной теории, в рамках которой нельзя рассмотреть ни энергетических превращений, ни фазировки при конечных ам­ плитудах сверхвысокочастотного поля.

где v = щ — скорость электрона (точнее, средняя скорость данного поперечного сечения электронного пучка), а

— усредненная (по сечению пучка) продольная составляющая элект­ рического поля; при этом предполагаем, что функция гр (х, у), соот-

150

ветствующая нарастающей волне в линейной теории, вещественна.

мого сечения электронного пучка в начале пространства взаимодейст­ вия. При таком выборе переменных мы фактически следим за движе­ нием каждого сечения электронного пучка вдоль лампы. Однако рас­ сматривать z как функцию t и t0 неудобно, так как при расчете воз­ буждения поля в волноводе координата z является независимой пере­ менной. Брать в качестве независимых переменных г и /также неудоб­

При таком описании движения электронов их скорость при обгоне остается однозначной функцией г и многозначность появляется только при повороте электронов. Рассматривая лампы, в которых поворота нет, берем уравнение движения (7.04). Функцию соt = соt (г, t0)— текущую фазу электрона — мы представляем в виде

действующих на электрон, т. е. малости параметра усиления є (є^0,2), т> является медленно меняющейся функцией координаты, т. е. зависит не от z, а от £ = %hez. Целесообразность введения медленно меняющей­

е / ( Л г - ш О = e * [ A e ( I + en)z - caf] = &i (he г-со^ + пЕ) <

так что влияние поля Ez приводит к появлению слагаемого т]£ в экс­ поненте. Надо иметь в виду, что хотя т> меняется медленно, но в нели­ нейных режимах достигает конечных значений (при конечных и

где dt0 > 0 есть промежуток времени, за который через начальное сечение лампы z = 0 проходят электроны, пересекающие сечение z > 0 за промежуток времени | dt | (абсолютная величина пишется,

поскольку может быть | т - < 0 и dt < 0). Существенно, что в левую часть этого соотношения входит эффективный постоянный ток пучка JQ — ^е т-> а не его полный ток J Е . Это объясняется тем, что в резуль-

тате усреднения по поперечному сечению реальный электронный пучок как бы заменяется эквивалентным пучком с площадью поперечного сечения S, причем плотность постоянного тока в обоих пучках одинакова:

ного сечения действует одно и то же поле Е Г , это соответствует тому, что в реальном пучке группируется только часть электронов, которой соответствует эффективный ток J 0 (| J01 < ; I J E I). Отношение S / S E вхо­ дит в выражения для параметра усиления и полного сопротивления связи (см. задачу 5 к 6-й лекции), и чтобы получить линейную теорию, изложенную в 6-й лекции, в формуле (7.06) надо брать именно / 0 .

Используя соотношение (7.06), можно получить выражение для гармоник тока. Ввиду сильной группировки электронов ток пучка в нелинейном режиме при периодическом сигнале может быть записан как ряд Фурье, т. е. как суперпозиция временных гармоник. Для наших целей этот ряд удобно представить в виде

0

Отметим, что по формуле (7.17) для немодулированного однород

ного пучка (Р = const) получается Ф = const и ^5 = 0. Фактически

в этом случае продольное электростатическое поле может существо­ вать лишь вблизи концов лампы, на расстояниях порядка с от них (см. ниже). Если перейти к переменным г и t0, то закон сохранения заряда можно представить в виде

где dtQ — тот промежуток времени, за который через начальное сече­ ние лампы прошли электроны, образовавшие в момент t заряд Pdz на отрезке (z, z + dz).

В формуле (7.17) величины Ф и Р берутся в один и тот же момент времени t (в квазистатическом поле запаздывания нет) и интегриро­ вание ведется по координатам электронов z в тот же момент. Обозначая через t0 время влета в систему электрона, находящегося в момент t в сечении z, имеем

и в формуле (7.17) можем перейти от интегрирования по г к интегри­ рованию по t0 с помощью закона сохранения заряда (7.19); получаем

оо

Если закон движения электронов (7.20) известен, то интеграл (7.21) можно найти численно или даже аналитически при достаточно простых функциях G и z (t, t0). Однако при численном интегрировании нелинейных уравнений Л Б В мы сталкиваемся со следующей прин-

154