Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

ципиальной трудностью. Она связана с вычислением интеграла (7.21)

вусловиях, когда независимой переменной является z (или Q,

вследствие чего нам известны положения электронов лишь слева от

эту трудность, учтем, что вследствие быстрого убывания G (z — z)

где а — радиус действия сил пространственного заряда (по порядку величины равный радиусу замедляющей системы или радиусу пучка). Поэтому при вычислении интеграла (7.21) следует экстраполировать функцию (7.20) для значений z > z. В случае рассматриваемых одно­ родных ламп это делается довольно просто: для значений z < z, удовлетворяющих условию (7.22), выводится интерполяционная фор­ мула, приближенно отображающая движение электронов, а затем она же используется для экстраполяции.

Безразмерную силу f, определяемую соотношениями (7.16) и (7.17), можно представить в виде

оо

— сю

где

учитывают суммарное квазистатическое поле электронов в виде ин­

ция Di определяет поправку к этому полю, вызванную модуляцией скорости, поскольку согласно формулам (7.03) и (7.05)

Вероятно, в некоторых случаях (например, для периодической фоку­ сировки) использованная выше экстраполяция движения является недостаточной, однако рассмотрение относящихся сюда вопросов завело бы нас слишком далеко.

нений нелинейной теории лампы с бегущей волной, основанную на предположении о том, что каждое сечение электронного пучка дви­

мерностью продольных электрических полей синхронной волны и

к линейной теории, развитой в предыдущей лекции (см. задачу 1). Это в какой-то мере является проверкой полученных нелинейных уравнений и, кроме того, вселяет надежду на то, что не слишком боль­ шие изменения функции г|) (х, у) в нелинейном режиме будут, как и в линейном режиме, слабо влиять на характеристики лампы. Вовторых, функции D (х) и Dx (х) в ряде случаев (см. задачи 2—4) на­ ходятся в виде сравнительно простых выражений, так что вычисление интеграла в формуле (7.31) не представляет принципиальных труд­ ностей. В-третьих, использованное нами выражение для сил прост­ ранственного заряда в сущности пригодно лишь для бесконечно длин­

странственного заряда) от входа и выхода лампы, а также от любой неоднородности, например от начала и конца поглощающей секции, выведенные выше нелинейные уравнения, как впрочем и линейные, не применимы. Однако на таких расстояниях в силу условия (7.27) по существу ничего не успевает произойти: как поле, так и пучок из­ меняются незначительно. Поэтому все уравнения можно применять на всей длине лампы, в том числе на концевых и переходных участках.

б. Ф А З И Р О В К А В СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Сформулированные выше нелинейные уравнения нельзя решить точно; для их решения используются обычно методы числен­ ного интегрирования или же приближенные аналитические методы; некоторые из них рассмотрены в приложении V I I . Физический анализ нелинейных режимов облегчается, если использовать общие свойства уравнений и, в частности, учесть наличие трех законов сохранения (см. приложение V I ) .

Чтобы избежать громоздких выкладок, мы не будем применять здесь законов сохранения и ограничимся качественным анализом процессов. Прежде всего, дополним уравнения начальными условиями. Обычно на вход лампы поступает невозмущенный пучок и некоторый

сигнал, который мы считаем периодической функцией t с основной частотой со, и начальные условия имеют вид

ляющей линии с полубесконечным электронным пучком (рис! 7.1). Начальный сигнал в данной модели можно представлять как волну, набегающую слева на сечение £ = 0. Те же уравнения и начальные

см. рис. 7.2) в бесконечной замедляющей линии. Вместо бесконечной линии можно, разумеется, взять конечный отрезок линии, полностью согласованный на обоих концах.

Нелинейные уравнения с начальными условиями (7.51) неодно­ кратно решались на вычислительных машинах. О полученных таким образом результатах мы будем говорить ниже, сейчас же рассмотрим механизм фазировки в слабых и сильных полях, имея в виду наиболее важный случай, когда на вход лампы подается слабый сигнал, который усиливается лампой до такой амплитуды, при которой вблизи выход­ ного конца лампы создается существенно нелинейный режим. Рас­ смотрение механизма фазировки проведем в наиболее простом случае малых є, пренебрегая не только слагаемыми порядка є2 , но даже и порядка е, и кроме того, будем считать, что синхронизм имеется лишь на основной частоте (я = 1). Тогда уравнение движения (7.15) можно переписать в следующем простом виде:

впеременном поле, являющейся суммой Vs — потенциальной энергии

вполе синхронной волны и Vc — потенциальной энергии в поле про­