Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 343

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поэтому средняя кинетическая энергия орбитального движения может только возрастать.

5. Исходя из решений задач 2 и 3, можно было бы искать z в виде

: = а + р е ~ ' й ° ' , Q 0

= Q ^1

Й 2

1 р

0 |

 

2c*

 

 

 

 

 

беря вместо й начальную угловую скорость Q„, соответствующую невозмущен­ ному движению по орбите радиуса г„ = | Р 0 | . Вывести усредненные уравнения движения.

Р е ш е н и е . Усредненные уравнения имеют вид

« =

Р = ^ 2 - £ 2 3 К 1 Р 1 2 - | Р о | 2 ) р + ^ F + e ' ' ( a - Q « " ,

где F+ имеет тот же смысл, что и в лекции. Однако если в выражении для z вы­

делять

множитель

е — ' а о ' ,

то в выражении для F естественно] выделять тот же

множитель; тогда

вместо

F + e ' * f l ~ в усредненном уравнении будет фигури­

ровать

F+.

 

 

6.

Проинтегрировать

усредненное уравнение орбитального движения

 

 

Ь = -

~ Q« I Р I 2 Р + - ^ А+ e - ' < f f l - 0 ) ' ,

считая постоянную А+ вещественной и положительной и полагая

Р= г е « ' [ф — ( ш — й ) < ] .

Вполученной системе вещественных уравнений найти точки покоя. Показать!

что эта система имеет «дрейфовую» форму (см. 3-ю лекцию), поэтому траектории на плоскости с полярными координатами г, <р могут быть построены как эквипотенциали. Дать качественный анализ траекторий без учета релятивистской по­

правки и с учетом ее, произвести

сравнение. Считать разность со — й достаточ­

но малой, a Йг <

с. Проследить за движением частицы, у которой в начальный

момент г — 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Мы получаем систему двух

уравнений первого порядка

 

 

А+

.

 

 

й 3

Л+

совф,

(а)

 

/• = - ^ - sincp ,

r(ep + Q — со) =

—

г3 + —£р

которая при со = Я имеет точку покоя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 . /

2с

2 Л+

 

 

 

 

 

Ф = я . г = г + ^ у

 

— ,

 

 

 

а при со Ф й азимут точки покоя тот же, а радиус-вектор гл

есть корень

кубиче­

ского уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г$, = 3уг%г,4-г\,

v = 2с2

(Й—со)

2 ( й — со) /

с_\2

 

 

 

 

 

3Q3r%

=

Зй

[

йг+ )

 

причем

величина у введена

так, что при | ? | <

1 радиус-вектор точки покоя ра­

вен /•„. =

г+ (1 -f- У)- Величина г +

должна удовлетворять условию

 

 

 

 

с

~ X

йс

« 1 .

 

 

 

 

 

 

С

Y

Ь<!С

 

 

 

 

 

Исследование уравнений

(а) облегчается

тем обстоятельством, что их мож­

но записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dU

•

1 dU

 

 

Qr

дер

ф

 

Qr

дг '

( 6 )

где

 

 

Я4

„

Я (со — Я)

 

 

 

 

 

: = Л + г с о з ф ^ — г--*Ч-—

 

V

или

 

Y

8с2

^

2

 

 

 

г

 

 

г2

 

^ = А+

A cos

4

 

 

—— — Зу

 

 

 

 

4r%

 

2/-J.

 

В плоскости х, у, где

 

 

 

 

 

 

 

Х = Л С О З ф ,

1/ = Г 8 І П ф ,

 

мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{Xі + У2?

 

„ *2 + </2

 

 

 

4г%

 

'

2г+

 

Линии 11= const определяют траектории, по которым движутся точки согласно уравнениям (6); с этим обстоятельством мы встретились в теории магнетрона. Расположение траекторий определяется точками покоя. В данном случае имеется лишь одна точка покоя:

*=—/•*,

У = 0,

соответствующая равновесному движению частицы по окружности постоянного радиуса /•„. Вблизи нее

^ = ^ * + ^ [ 3 ( 1 - Y ) ( x ^ r J 2 + ( l - 3 Y ) У2],

так что при у < V3 траектории вблизи точки покоя являются подобными эллип­ сами с центром в этой точке. Траектории вдали от точки покоя качественно та­ кие же — это овалы, охватывающие точку покоя, один из которых проходит через начало координат г = 0. Таким образом, частица, попавшая в переменное поле, сначала ускоряется — соответствующая ей точка в плоскости х, у движется по овалу от начала координат. Максимальная энергия частицы достигается при пе­ ресечении траекторией отрицательной оси х, затем энергия уменьшается и ча­ стица возвращается к точке г = 0, после чего процесс ускорения и замедления повторяется.

Без учета релятивистской поправки линии И = const суть окружности

2г+ (х—х0)2 + у2 = const, х0\= —— .

Зу

При 7 = 0 , т. е. при'со = Я, эти окружности вырождаются в систему параллель­ ных прямых

х = const,

движение по которым означает неограниченное ускорение частицы (см. задачу 4). С учетом релятивистской поправки случай со ф Я ничем не отличается от случая со = Я по крайней мере до тех пор, пока параметр у невелик.

7. Исследуя движение'в однородном переменном поле, когда согласно фор­

мулам (8.17) и (8.18)

 

F = А+<ГШ4>А-

е / о о ( ,

решение уравнения (8.05) можно также искать в виде

г = а + ?>е~ш,

г = - і © Р е - " - ' .

7 Зак. 1123

1

9

3

 

Вывести усредненные уравнения для а и В, считая Л+ и А~~ постоянными, и срав­ нить с уравнениями (а) предыдущей задачи.

Р е ш е н и е . Точные уравнения для ос и В имеют вид

 

соl 2

\

 

 

 

 

• '

2

P ^ - J - F e ' S i ,

i = - P e - ' f f l ' ,

-а

і

 

 

ой

 

 

а усредненные

2с2

 

 

 

 

 

Qco2

\

t

 

 

 

 

 

 

P = i

( m _ Q + — _ l

P | » j p +

_ Л + )

а =

0 .

Если положить Р =

ге' ф , то получатся уравнения

(а),

в которых вместо Q 3

Л+

Л+

 

 

 

 

стоит Qco2, а вместо

стоит

— ; поскольку

со т Q, уравнения практически эк­

вивалентны.

8. В лекции было выведено характеристическое уравнение (8.77). Пока­ зать, что без учета релятивистской поправки получается характеристическое урав­

нение, из которого

следует (при |" <

2) вывод об устойчивости

системы.

Р е ш е н и е .

Без релятивистской

поправки надо считать

р. = 0 и £i = | ,

тогда характеристическое уравнение принимает вид

 

 

•Л2 (Ц

Ю

т] = 0.

 

Оно имеет корень т)з = 0, другие два корня получаются из квадратного урав­

нения

 

 

 

 

 

ч ( ч - І ) - 1 = 0 ,

1=1'

 

и, следовательно, определяются формулой

 

Ъ±УУ + 4

l,Jr і І " ± У і , 2

+ 4 - Г ' 2 + 2 і | 7 Т Г

Г І Ь 2 -

2

 

 

2

Если обозначить подкоренное выражение через а + г'6, то

\mVa

+ ib=VR,

R=—

^

, а > 0 .

Умножая Я на величину

 

 

 

 

S = V a 2 + 6 2

+ g > а,

получим соотношение

 

 

 

 

 

Ь2

Ь2

б 2

 

 

4 '

4S

4а '

2 У а

или в развернутом виде

 

 

 

 

'

У і £ ' 2 + 4 - | " 2 І '

откуда видно, что

 

 

 

 

 

У # < £ " и r)'i f 2 > 0

при

0 < | " < 2

инарастающих колебаний нет.

9.Преобразовать (при І < 0) характеристическое уравнение (8.77) к ку­

бическому

уравнению, которое было исследовано в линейной теории лампы

с бегущей

волной.

194

Р е ш е н и е . Легко видеть, что в силу формулы (8.72) уравнение (8.77) можно переписать в виде

(Л—Єї) (Л2 — 1) = g-

При і < 0 можно ввести величины т), І и о по формулам

1 = Ш І 1 / 3 , ? і = Ш І / 3 . 5 = Ц Г 1 / 3

и прийти к кубическому уравнению

формально совпадающему с уравнением (6.75) при Л = 0. Поэтому уравнение (8.77) может иметь комплексные корни, в том числе корень, который дает нара­ стающее колебание.

10. В лекции было получено кубическое уравнение (8.77), определяющее частоты малых колебаний электронного кольца в резонаторе. Исследовать это

уравнение при вещественных значениях ^

— вывести

условие существования

комплексных корней

г], при наличии

которых малые колебания нарастают во

времени, т. е. система неустойчива и способна к самовозбуждению.

 

Выяснить, какой вид приобретает уравнение (8.77), если временную зави­

симость брать в виде

е' ш ' (а не е - " 0 ' ,

как в лекциях),

и написать соотношение

между корнями этих

уравнений.

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Подстановка т] =

х-\- - у - ix, приводит

к кубическому урав­

нению стандартного

вида

 

 

 

 

 

 

х 3 фрл: + <7 = 0,

 

 

 

При вещественном \ х коэффициенты

р и q вещественны,

поэтому один

корень

х — вещественный, другие два — комплексные сопряженные, если

 

 

р

 

1 Г > Н

 

 

 

3 ,з >[0 или

 

 

В данном случае р —

— \р\, поэтому условие комплексности разбивается

на два

условия

 

 

 

 

 

 

 

( \Р\ \ 3 ' 2

 

I \Р\

\ 3 / 2

 

 

Первое условие может выполняться лишь при отрицательных (Л, что нере •ально: параметр несинхронности р., определенный второй формулой (8.66), мо­ жет быть только положительным. Второе условие дает

 

2

- Ц | ! + у ) * ( Е ! + 3 ) 3 / 2

 

 

 

 

Функция, стоящая в правой части этого неравенства,

при вещественных І 1

положительна, поэтому при jx = 0 исходное кубическое

уравнение комплекс­

ных

корней не имеет и нарастающие колебания невозможны. Впрочем, при

р. =

0 характеристическое уравнение было исследовано в задаче 8, где показано,

что нарастающие колебания отсутствуют также при наличии малой

положитель­

ной мнимой части £. Если и при р. >

0 и |" =

0 мы получаем корень с конечным

значением 1тт], то малое значение

£" может

изменить 1тг) лишь

на величину

порядка £" (см. задачу 11 к 6-й лекции), т. е. несущественно.

 

7*

 

 

195

В наших лекциях, как видно из формул (8.51) и (8.52), мы пользовались временной зависимостью e~tat. Наличие решения, пропорционального е! Т ) ^, означает, что колебания происходят с комплексной частотой

CO = Q [ 1 - 8 ( T ) + [ X)] = Q 0 ( 1 - 8 T ) ) ,

в то время как колебания пустого резонатора согласно формуле (8.65) происходят с комплексной частотой

<o = Q ( l - e | ) = Q 0 ( l - e g 1 ) . 5і = Е - Ц . где Q0 есть (см. задачу 5) гирочастота невозмущенного пучка.

При замене временнс'й зависимости e~iwt

на е' ш ' необходимо произвести

формальную замену со, cos, rj, £ и т. д. на —со*,

—со*, —т)*, — | * и т. д. Обозна­

чая s = — г)*, можно уравнение (8.77) переписать в виде s 2 ( s - | 2 ) - s + f x = 0, &.= - £ ? •

11. Вывести закон сохранения энергии из уравнений (8.68), составляя урав­ нение для | g |2 . Выяснить энергетический смысл величины (8.78) при веществен­ ном і , т. е. при отсутствии потерь в резонаторе.

Р е ш е н и е . Из второго уравнения (8.68) легко получить тождества

де

де*

d .

~

^

g'rzr+g~=fg'+rg, — \g\2=tg*+f*g-

Пользуясь первым уравнением (8.68), получаем соотношение

выражающее закон сохранения и превращения энергии: левая часть определяет скорость уменьшения кинетической энергии орбитального движения электронов во всем пространстве взаимодействия, правая часть показывает, что эта энергия идет на увеличение энергии поля ( первое слагаемое) и на восполнение потерь в резонаторе (второе слагаемое). Если £" = 0, то из начальных условий (8.69) получаем

1 - | 1 Т 2 = | / 1 2 - | / о | 2 ,

т. е. величина (8.78) дает приращение безразмерной энергии колебания в резо­ наторе. Поскольку \g\ есть отношение орбитальной скорости электронов к на­ чальной, величина (8.78) есть отношение убыли кинетической энергии электро­ нов к их начальной энергии, т. е. электронный к. п. д.

 

 

С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ

К 8-й ЛЕКЦИИ

 

 

 

 

 

1.

В. И.

К о т о в ,

А.

Б.

К у з н е ц о в ,

Н.

Б.

Р у б и н .

Физические ос­

 

новы современных резонансных ускорителей. «Успехи физических наук»,

 

1958, т. 64, № 2, стр. 197—272.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. А. В.

Г а п о н о в,

М. И.

П е т е л и н ,

В.

К.

Ю л п а т о в .

Инду­

 

цированное излучение

возбужденных

классических

осцилляторов

и его

 

использование в высокочастотной электронике. «Известия вузов», сер. Радио­

 

физика,

1967, т. 10, № 9—10, стр. 1414—1453.

 

 

 

 

 

3. А. В. Г а п о н о в, А. Л. Г о л ь д е н б е р г, Д . П.

Г р и ­

 

г о р ь е в ,

И. М. О р л о в а ,

Т.

Б.

П а н к р а т о в а ,

 

М. И. П е т е л и н.

Индуцированное

синхронное

излучение электронов

 

в полых резонаторах. «Письма в ЖЭТФ»,

1965, т. 2, № 9, стр. 430—435.

4.

В. К- Ю л п а т о в.

Нелинейная

теория взаимодействия

непрямолиней­

 

ного периодического электронного

пучка

с электромагнитным полем.

Ч. I .

 

Вывод

основных уравнений.

«Вопросы

радиоэлектроники»,

сер. 1,

Элек­

 

троника, 1965, № 12, стр. 15—23.

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы