Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 334

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

причем

 

 

 

 

£ = ;

J Y

, Q < Q .

(1.32)

( l + T / l + 2 Y ) a

 

'

Таким образом, функции г = г (т)

и ф = ф (т) мы получаем в

виде

г = | а 0 + р е - ' « | ,

ф =

- £ т + arg (а„ + р е - ' ^ ,

(1.33)

где

 

 

 

 

v = Q — £ =

у

Q < Q

(1.34)

1 + 1 / 1 + 2 7

^

V

;

— частота, с которой изменяется

г.

 

 

 

 

 

Согласно

методу усреднения

мы получили простые выражения:

 

' max

 

а 0 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

—

я

 

 

 

• Т Г > 1 Г '

 

(1.35)

 

V

 

 

 

 

 

"max

 

 

 

 

 

 

Фтах

 

:

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в то время как точный подход дает для rmax

в силу выражения

(1.17)

трансцендентное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

у\пх=—(х

 

 

L \ 2

1 x

=

l223*->\t

 

(1.36)

 

 

 

4 \

х j

 

 

а

 

 

а для хтах и ф Ш 1 (значения

ф при г = гтах

и т =

тт а я .)—интегралы

max

 

 

 

 

 

гтах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

Q_

С

I.

а2 \

dr

 

 

У = ^ п ч 7 )

, Ф т а ж

_

2

J

І

г«ІУ=2п7Л'

( 1 , 3 7 )

а

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

которые приходится определять численными методами.

 

Формулы

(1.25) — (1.35)

отличаются

простотой

и наглядностью.

По существу, метод усреднения здесь приводит к дрейфовому прибли­ жению, рассмотренному в 3-й лекции. Применительно к уравнениям (1.04) дрейфовое приближение мы получим, вычеркивая в левых частях

(1.04)

слагаемые, не имеющие

множителя Q. Таким

путем мы при­

ходим

к уравнениям

 

 

 

r = ^U>

« P = - — ~ - f r,

(1-38)

 

Q

ilr

 

эквивалентным уравнениям (3.10) и определяющим движение веду­

щих

центров. Для движения в

поле

(1.08) имеем

 

'г

— Г) ф _

еС _

уйа2

^ дд^

 

 

miir2

2г2

 

что совпадает с уравнением (1.27) для а. Движение электрона склады­ вается из движения его ведущего центра и из орбитального движения

239

вокруг центра; последнее происходит с угловой скоростью Q, по­ скольку поле (1.08) является потенциальным полем,потенциал которого удовлетворяет уравнению Лапласа (см. 4-ю лекцию). Такой смысл имеет комплексная функция

 

г = а 0 е-''^ +

р е - , 0 т ,

(1.40)

полученная

выше.

 

 

Какова

точность приближенных

формул

(1.25) — (1.35)? Срав­

нение с точными формулами (1.36), (1.37) и другими показывает, что точное соответствие имеет место лишь при малых значениях у, тогда

гтах ж а> т -

е - электрон незначительно отходит от катода и бла­

годаря этому

кривизна пространства взаимодействия на его движение

влияет слабо. Так, например, первое выражение (1.35) удовлетворяет

уравнению (1.36) с точностью до членов порядка у,

а в членах порядка

72 уже обнаруживается отличие. Тем не менее,

если не стремиться

к высокой точности, то приближенные формулы оказываются при­ менимыми вплоть до значений у « 1. У современных магнетронов от­ ношение Ыа, как правило, невелико (в противоположность первым магнетронам, у которых отношение Ыа достигало нескольких десят­ ков), поэтому приближенные формулы для них годятся вплоть до условий, близких к критическим.

Следует отметить, что сама эволюция отношения Ыа, т. е. умень­ шение Ыа или увеличение радиуса катода а в ходе исторического развития, обусловлена не только возможностью снимать с массивного катода больший ток, но также и тем, что магнетронный механизм фа­ зировки наиболее эффективен при Ь / а ~ 1, т. е. в цилиндрической кон­ струкции, не слишком отличающейся от плоской. Эффективность этого механизма теснейшим образом связана с применимостью метода усреднения и дрейфового приближения: если усреднение неприменимо, то и механизм неэффективен. Так, в 4-й лекции мы показали, что при слишком больших плотностях заряда методом усреднения и дрейфо­ вым приближением пользоваться нельзя; практически же это значит, что обычный механизм фазировки при этом перестает действовать, т. е. в работающих приборах электронная плотность должна быть меньше критической плотности.

Изучив движение в поле (1.08), мы видим, что постоянное маг­ нитное поле способно в какой-то степени компенсировать силы элект­ рического отталкивания. Действительно, электростатическое поле (1.08) стремится переместить электроны с катода на анод; радиальная сила, действующая на электрон, есть в сущности сила отталкивания электрона от катода. Магнитное поле заворачивает траектории и возвращает, если оно больше критического, электроны к катоду, т. е. как бы компенсирует силу отталкивания. Эта компенсация (хотя и не всегда совершенная, см. конец 4-й лекции) происходит и в других случаях, поэтому постоянное магнитное поле широко применяется в электронике.

Рассмотрим еще пример, в котором компенсирующее действие магнитного поля проявляется очень ярко. Пусть электроны заполняют с однородной плотностью р < 0 бесконечный круговой цилиндр

радиуса а, совершая круговое движение с постоянной угловой ско­

ростью,

так

что

 

 

 

г = 0, ф = const.

 

Поскольку из соображений симметрии / ф =

0, первое уравнение дви­

жения

(1.04)

принимает вид

 

 

 

- r ( q ) 2 + Q c p ) = fr ,

(1-41)

а второе удовлетворяется тождественно. Уравнение (1.41) показывает, что в таком электронном облаке составляющая / г должна быть пропор­ циональной г; поле пространственного заряда как раз дает такую

пропорциональность,

поскольку

уравнение

Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

д2Ф

 

,

д2Ф

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

—4яр

 

 

 

имеет

решение

 

 

дх2

 

 

ду2

 

 

 

 

 

Ф =

— ярг2=

 

— пр(х2+у2)

 

(r<a),

(1.42)

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

Є

СІФ

 

1

о

2

4яер

, т

. о ч

 

 

fr=

 

 

7 -

=

^ Г 0 ) Р г -

wp =

 

( L

4 3 )

 

 

 

 

 

т

аг

 

 

2

 

 

т

 

 

Подставляя это выражение

в уравнение

(1.41), получаем

для ср квад­

ратное уравнение,

решение

которого имеет

вид

 

 

 

 

 

ф = — Q e

, p =

 

l - ( Q T / ^ 2

- 2 o ) 2 )

(1.44)

(см. задачу

5 к 4-й лекции). При выполнении условий

 

 

 

 

 

 

 

 

Q > 0 ,

2co 2 <Q 2

 

(1.45)

величины

Qa и

Qp

положительны,

причем

Qa < Qp: Qp соответст­

вует

быстрому

вращению

пучка,

Qa

— медленному.

Считая,

что

ср =

— Qa , получаем

решение,

которое можно назвать

обобщенным

круговым потоком Бриллюэна; поток Бриллюэна в собственном смысле

определяется условием

 

ср= — Qa = — Q p при 2CU2, = Q2,

(1.46)

т. е. соответствует максимальной плотности электронов, при которой

еще возможно круговое движение. Возникающая

благодаря ему

сила Лоренца уравновешивает силу, вызванную

пространственным

зарядом электронов, и центробежную силу. Заметим, что максималь­ ная плотность по формуле (1.46) по абсолютной величине вдвое меньше

критической

плотности

(4.68).

 

 

 

Пусть

круговой поток с постоянной плотностью

р <

0 имеет

радиус а.

Рассмотрим

симметричные (не зависящие от азимута ср и

продольной

 

координаты

z) колебания

этого потока,

при

которых

а зависит

от t. Обозначив через a (t)

переменный радиус

потока,

через сОр(^) —

переменную плазменную

частоту (постоянную

в пре-

делах потока), а через а и сор —• постоянные величины, соответствую­

щие некоторому среднему состоянию пучка, из закона

сохранения

заряда будем иметь

 

 

(Ор (0 а2 (0 = со2

а? или сор (*) а (/) = сор а.

(1.47)

Согласно соотношению (1.05)

величина

 

 

Ф + | - )

(1-48)

будет постоянной. Поэтому переменная a (t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению

a(t)

=

V^4-

(t)

+ -V-—-^-a(t),

 

(1.49)

V

'

2а

a?{t)

4 w '

v

'

которое при р, = (Q/2)a2

совпадает с

уравнением

(1.07). Параметр

у имеет тот же смысл, что и в предыдущей задаче, где он определялся

формулой

(1.16); теперь же

он

равен

 

 

Y = - ^ ,

причем 0 < Т < ^ - .

(1.50)

Таким

образом, задача

о

радиальных колебаниях

кругового

потока, удерживаемого постоянным магнитным полем, оказывается эквивалентной (если ограничиться исследованием колебаний гра­ ницы) задаче о движении электрона в цилиндрическом магнетроне. Эквивалентность объясняется тем, что в обеих задачах речь идет о дви­ жении в радиальном электрическом поле, обратно пропорциональном

радиусу-вектору г. Поскольку в задаче о круговом

потоке параметр 7

невелик,

к ней можно с успехом

применять метод

усреднения, т. е.

формулы

(1.25) — (1.35).

 

 

 

Если в уравнении

(1.49)

положить

 

 

a(t)=a+8a(t),

| 6 a ( 0 K « ,

(1.51)

то для 8а получится линейное

уравнение

 

 

—

8а + (Й2

— со2,) 8а = 0,

(1.52)

 

dt2

 

 

 

 

показывающее, что малые радиальные колебания границы происхо­ дят с частотой у " О , 2 — со2,, в частности, с частотой сор = £2/^2 при условии (1.46). Следует заметить, что для исследования устойчивости потока ограничиться рассмотрением колебаний границы нельзя, а необходимо также рассмотреть движение внутренних электронов, которое при условии (1.45) устойчиво, а при условии (1.46) неустой­ чиво (последнее видно хотя бы из решения задачи 5 к 4-й лекции). Таким образом, круговой поток Бриллюэна неустойчив, и устой­ чивостью, как можно показать по отношению к возмущениям любого вида, обладает лишь обобщенный поток с меньшей плотностью. Неу­ стойчивость потока Бриллюэна не приводит к его разрушению, по­ скольку незначительное расширение потока уменьшает плотность

242

Смотрите также файлы