Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 333

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и делает поток устойчивым, хотя при этом ламинарность может исчезнуть.

Задача о круговом потоке становится с практической точки зрения более интересной, если предположить, что электроны имеют также постоянную скорость ve в продольном направлении. Тогда мы получаем круговой пучок Бриллюэна или его обобщение; такие пучки могут служить теоретической моделью пучков, используемых в электрон­ ных приборах типа О. В таких пучках можно рассмотреть радиаль­ ные колебания, имеющие характер волн, распространяющихся со скоростью ve вдоль пучка; если при этом касательные к границе продольного сечения пучка составляют с осью z (продольной осью пучка) малый угол, то к таким радиальным колебаниям приближен­ но применимы результаты, сформулированные выше для радиальных колебаний, не зависящих от г. В частности, пучок Бриллюэна оказы­ вается неустойчивым, круговые пучки с меньшей плотностью — устойчивыми.

К рассмотренным задачам примыкает еще одна, позволяющая также получить некоторое представление о действии сил пространст­ венного заряда при наличии магнитного поля. Возьмем две заряжен­ ные нити, которые взаимно отталкиваются и движутся в постоянном

магнитном

поле,

направленном вдоль

нитей.

Обозначая

через z t и

z2 комплексные координаты нитей (z} = xf +

ii/j, j

= 1, 2), мы можем

записать их уравнения движения в виде

 

 

 

 

 

 

Zj4- iQ,z1

= f21,

z3+iQz2=fn.

 

 

(1.53)

Обозначим через qi и q2 погонные заряды нитей (ql <

0, q2 < 0),

через Mi

и М2

— их погонные массы. Тогда, используя формулу

(1.23) и связывая

С с погонным зарядом нити, создающей поле, будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U l " Ml{Zl-z2)*

' h

l ~

М 2 ( г 8

- г і ) *

•

( І - 5 4 )

 

Комплексная координата центра тяжести нитей

 

как

легко видеть, удовлетворяет уравнению

 

 

 

поэтому

 

Z+iQZ

= 0,

 

 

 

Z = Z0 + Re~iQt,

Z0~

const, R = const,

 

 

 

 

т. е. центр тяжести движется по окружности с угловой

скоростью

Q.

Для

величины

 

 

 

 

 

 

мы

получаем уравнение

z = Z!~z2

 

 

 

(1.55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + iQz=-^-t

Mz*

 

 

(1.56)

в котором М означает

приведенную погонную массу

 

 

М = ^ ^ - ,

(1.57)

равную М і при Mi <

М2 и Mi/2 при МХ = М 2 .

 

Уравнение (1.56), определяющее относительное движение заря­

женных нитей, имеет тот же вид, что и уравнение движения

электрона

в цилиндрическом магнетроне [см. формулы (1.23) и (4.03)]. Поэтому без каких-либо дополнительных вычислений ясно, что взаимное от­ талкивание нитей в магнитном поле не приводит к возрастающему удалению их друг от друга: магнитное поле заворачивает их траекто­ рии и через некоторое время нити снова сближаются.

В теории магнетрона (3-я и 4-я лекции) и гиротрона (8-я лекция) обычно ограничиваются двухмерной трактовкой: все поля предпола­ гаются не зависящими от продольной координаты, движение электро­ нов рассматривается только в поперечном сечении. Если считать электронное облако состоящим из бесконечно длинных заряженных нитей, подобных рассмотренным выше, то уравнение (1.56) дает на­ глядное представление о том, как магнитное поле компенсирует расталкивание нитей, препятствуя разрушению электронных обра­ зований силами взаимного отталкивания; в гирорезонансных прибо­

рах оно даже

помогает фазировке (рис. 8.6).

В конце 4-й лекции упоминалось о том, что магнитное поле в при­

борах типа М

выполняет две функции: препятствует превращению

потенциальной энергии электронов в кинетическую и препятствует разлетанию электронов вследствие их отталкивания. Сейчас можно добавить, что эти две функции в сущности сводятся к одной, поскольку разлетание электронов вызывается полями, имеющими тот же харак­ тер, что и внешнее электростатическое поле, обусловленное разностью потенциалов между катодом и анодом.

Перейдем теперь к теории цилиндрического магнетрона в режиме генерации. Пренебрегая, как в 3-й лекции, пространственным зарядом,

мы должны исследовать движение электронов

в электрическом поле

с потенциалом Ф° + Ф, где

 

фо = и ^ Ш

(1.58)

In (bid)

 

есть электростатический потенциал, соответствующий согласно фор­ мулам (1.08) и (1.09) напряжению U между катодом (г = а) и анодом

(г

= b), а

 

 

 

 

 

 

ф =

Щ ( 1 Л п ^ ( ± - \ п \ \ п ( п у +

Ы)

(л =1,2,...)

(1.59)

— потенциал

синхронной волны, вращающейся

в пространстве

взаи­

модействия

с

угловой скоростью — со/и. Через

i f обозначена,

как

в формуле (3.15), амплитуда радиального сверхвысокочастотного

поля

на

катоде

при г = а.

 

 

 

 

Исследование движения электронов

произведем в два этапа:

сначала применим, как в 3-й лекции, дрейфовые уравнения, а затем —

метод усреднения (в духе 4-й лекции). Дрейфовые

уравнения

(3.16)

в цилиндрической системе координат принимают вид

 

 

т=—-£-/-(Ф°

 

+ Ф),

Ф =

 

(Ф° + Ф).

(1-60)

 

Нг

оф

 

 

 

Яг

or

 

 

 

Полагая ср' =

ф + —

t,

т. е. переходя

к

системе

координат

г,

ф',

вращающейся

вместе

с

волной,

будем

иметь

 

 

 

 

Г=

 

с

дФ'

 

• ,

с

| дФ'

 

п

а \

 

 

 

— ,

ф =

—

,

 

(1.61)

где

 

 

Нг

<V

т

 

Нг

dtp'

 

v

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф , = у

In (гla)

 

соЯ

^

£ а

 

 

 

sin/гф'

(1.62)

 

In

 

2яс

 

2я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

есть эффективный потенциал, определяющий дрейф электронов в сис­ теме г, ф'. Первое слагаемое в правой части (1.62) определяет азиму­ тальный дрейф с линейной скоростью, пропорциональной \1г, в со­ ответствии с формулой (3.71); второе слагаемое — азимутальный дрейф с линейной скоростью — (со/я)г, в соответствии с формулой (3.72); третье — азимутальный и радиальный дрейф, обусловленный переменным полем, которое в системе г, ф' не зависит от времени.

 

Для

дальнейшего

исследования

удобно

выражение

(1.62)

для

Ф' переписать

следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф ^ - Г ^ Т т Г Ф о М + ^ ^ з і п л ф ' ] ,

 

 

 

(1.63)

 

 

 

 

In (о I а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где функции ф0 и фг

имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

2

V г

і

 

 

 

2я[Д а

і

 

V г

I

 

 

 

 

 

 

Г

n c U _ = = a

, / ~

 

ynQ

 

 

(1.64)

 

 

 

 

1 /

 

..„,_

Ь

 

V

 

2С0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соЯІп

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

— синхронный

радиус,

при котором

 

== 0 и

скорости (3.71) и

(3.72) сравниваются. В дальнейшем

будем

считать,

что

а < г < 6 .

Знак минус под знаком радикала не должен смущать, поскольку

под­

коренное

выражение

в

формуле

(1.64)

всегда

положительно:

для

того

чтобы волна (1.59)

была синхронной при п >

0,

необходимо

Я <

0 и

Q >

0, если

же мы имеем

Я >

0 и

Q <

0, то синхронизм

возможен лишь при п <

0.

Через

є в формуле

(1.63)

обозначено от­

ношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ff =

| - ,

 

 

 

 

 

 

 

(1.65)

Е„

где Е — введенная выше амплитуда радиального электрического поля синхронной волны на катоде, а Еа — абсолютная величина электро­ статического поля на катоде, т. е.

Еа = —^

.

(1.66)

аа\п(Ь/а)

Сэтими обозначениями уравнения движения (1.61) принимают

вид

 

 

 

г = со •у- ефх

(г) COS Я ф ' ,

 

 

 

 

(1.67)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

йфа

 

# 1 .

,

 

 

 

 

 

 

пер = —со — —

 

+ e _ s l n m p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно

первому

уравнению

(1.67)

 

 

 

 

 

дрейф ведущих

центров

от

катода

к

 

 

 

 

 

аноду происходит в области ( — я / 2 )

<

 

 

 

 

 

<

яф' <

(я/2) и

в

аналогичных об­

 

 

 

 

 

ластях,

смещенных

на

целое

число

 

 

 

 

 

2я

 

по переменной яф'; это—области

 

 

 

 

 

благоприятной фазы, выход из этих

 

 

 

 

 

областей

возможен

только

через

их

 

 

 

 

 

границы. Точки

покоя, в которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г = 0,

я ф ' = 0,

 

 

(1.68)

 

 

 

 

 

могут лежать лишь на боковых гра­

 

 

 

 

 

ницах областей

благоприятной

фазы;

 

 

 

 

 

они

определяются

соотношениями

 

Рис. 1.2. К решению

уравнения я ф

= н

 

2

, — ( —— -{-є—

j = 0 .

(1.69) при п= 4 , 7 / а =

1,2,

 

т

 

 

 

г

\

dr

dr I

(1.69)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь/а=

1,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции —

—

и ±

—

—- изображены

на рис. 1.2,

из

которого

г

dr

 

г

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

видно, что при

условии

 

d(p0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е<.е_

=

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.70)

 

 

 

(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение

 

 

 

 

d<po _

d<Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет один корень

rA,

а

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(po

— є

d<pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

при

є < е+ <

е_ — два вещественных корня

гв

и

гс,

причем

боль­

ший корень гс

может превосходить

Ь, т. е. не иметь физического

зна­

чения. При є = е+

корни гв и гс

сливаются,

при

е>е+ — про­

падают.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при достаточно малых е, т. е. при достаточно ма­

лой

амплитуде

синхронной волны,

имеются

три

точки

 

 

А у

= гА,

шр'=

В^г = гв,

пф' =

-

у

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= гс>гв,

ш р ' = у -

 

 

 

 

 

в которых скорость дрейфа равна нулю. При е + < е < е_ остается только точка А, при є > е _ пропадает и она. Построение траекторий ведущих центров по сравнению с плоской моделью магнетрона не­ сколько усложняется, поскольку теперь функция Ф' уже не удовлет­ воряет уравнению Лапласа из-за слагаемого - ^ г г 2 в правой части

(1.62), и поэтому точка покоя не обязательно является седловой (см. формулу (3.64) и следующие за ней).

Чтобы разобраться в этом вопросе, обозначим через г*, ф„.' ко­ ординаты одной из точек покоя (А, В или С). Траектории, проходящие вблизи нее, определяются уравнением

 

Фо(г)+ефх

(г) sinшр' = ф0 (rj +ефх

(г*) sinшр; — Д,

(1.71)

где А — малая

величина; для траекторий,

проходящих

через

точку

покоя,

А =

0.

Положим

 

 

 

 

 

 

0о,1

(г) =

Фо,і Ы

dr

(г.)

( г - О 4

~ ^ Г 1 * ' * )

( ^ - ^ * ) 2 .

 

 

 

 

 

 

 

2

dra

 

 

 

 

 

БІПОф = s i n ^ „

І - ^ П 2 ( Ф ' - Ф ; ) 2

 

 

тогда уравнение (1.71) в силу второй формулы (1.69) принимает вблизи

точки

покоя

вид

 

 

 

 

 

A (г-^±

) 2 4 - Д р (Ф' - Ф ; ) 2 = 4 А -

(L 7 2 >

где

 

 

 

 

 

 

 

Д . = - й — -

АР, А Р = * 01 (/•*) sin шр;.

(1.73)

 

 

 

и2 г

 

 

Форма

траекторий

вблизи

точки покоя зависит от того,

одинаковы

ли знаки Dr

и Ь ф

или нет. При достаточно малых є и умеренных зна­

чениях г# мы будем иметь Dr > 0, точка Л ^rnj^ = — ^ будет седлом,

а точка В (пф^ = — ) —центром. Радиусы-векторы точек А

и В при

є

0 определяются формулой

 

 

' і + _ £ _ 7 ^ ( 7 ) 5 І п П ф ; 1

(1.74)

2

dr

J

Смотрите также файлы