Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 325

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Можно также рассмотреть случай произвольного пространствен­ ного заряда, когда

/»= ф о+ 8 я ^ - / » т / ,

т

х° (т) = х0 + r0

(Q T — sin QT ) + ~

(QT)2

—

1 +

cos Qt

(11.16)

 

2я

2

 

 

 

 

у°(т) = го (1 — cos QT) + —

( Q T — s i n

QT),

 

 

2я

 

 

 

 

 

где Ф° — значение f°y

на катоде (при у

= 0

и т =

0), г0 =

ф О / Q 2 ,

a d по-прежнему определяется формулой (11.08). В этом промежуточ­ ном случае движение электрона является как бы суперпозицией дви­ жений (11.14) и (11.15). Если при вылете из катода электрон имеет

начальные

скорости vxo

и vy0,

то в эту

суперпозицию нужно еще

включить

слагаемые

 

 

 

 

Лх° =

— —

cos Q T + vx0

т,

 

 

Q

 

(11.17)

 

 

 

 

Ауо = ^ - ° sinQt.

Q

Покажем теперь, что двухпоточный режим неустойчив даже по отношению к симметричным возмущениям, при которых плотности заряда и тока не зависят от координаты х и электрическое поле имеет единственную составляющую Еу, зависящую от у и t. При симметрич­ ных возмущениях можно ограничиться рассмотрением движения только по оси у; мы пишем

 

У = У°Ю+У1,

(П.18)

где

функция у°(т) определяет согласно формуле (11.07)

невозмущен­

ное

движение, а у1 — возмущение этого движения. В

дальнейшем

удобно различать восходящее движение (к аноду) и нисходящее дви­ жение (к катоду), отмечая их соответственно значками «+» и «—»; тогда формула (11.18) принимает вид

y+=y°+(t)+yl+, y-=y°-W+yL-

("-19>

При обращении функции у = г/°(т) мы получаем двухзначную функ­

цию

т = т±(у),

причем т+ (у)

есть обращение

функции

у+(х),

а ті. (у) обращение функции

У-(т).

 

 

 

 

 

При наличии

возмущений

уравнение

(11.03)

принимает

вид

 

 

 

 

y

+

Q?y=fy,

 

 

 

(11.20)

где для функции

fv можно написать выражение

 

 

 

 

 

 

/

"

= ф ( 0

+

4 я ^ а ( г / ,

t),

 

 

(11.21)

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

в котором ф (t) —значение

fy

на

катоде

(при у

=

0), а а

(у,

t) —

заряд

между катодом

и слоем

с ординатой у (на единицу

площади

катода). В стационарном состоянии мы вместо функции 0 (у, t) имеем, как показано выше, функцию

(11.22)

обращающуюся в нуль при у = 0 и в а 0 при у = d. Объемная плот­ ность заряда создается (поровну) электронами, совершающими вос­ ходящее и нисходящее движения.

Отличие а (у, t) от о°(у) обусловлено, во-первых, смещением элект­ ронов при их движении (электрон, пересекший в стационарном сос­ тоянии плоскость у = const, в нестационарном состоянии не успел этого сделать, и наоборот) и, во-вторых, взаимодействием электронов с катодом (эмиссия и поглощение электронов в переменном поле происходят иначе, чем без него; в частности, подойдя к катоду на небольшое расстояние, электрон может опять отойти от него и пре­ бывать в пространстве взаимодействия гораздо дольше). Учтем сна­ чала только смещение электронов: будем считать, что электроны после достижения наинизшей точки (у>0 и л и у ^ . 0 ) опять начинают восходящее движение, т. е. будем исследовать колебания изолирован­ ного от катода электронного слоя толщины d с зарядом 0 0 на единицу поверхности, предполагая, что катод отодвинут от слоя на малое рас­ стояние б по отрицательной оси у,

В этом случае

 

о (У, t) = -y[e°(y-yl)+o°

(y-yl)],

поскольку изменение плотности заряда связано только со смещением электронов, и уравнение (11.20) можно более подробно переписать так:

у +

Q*y = ср (t) +

2я —

[о» (У-УІ)

+ о°

(у-уі)],

(11.23)

где у = у+

или у =

а

величины

у\ рассматриваются как

функции у и t, причем точкой здесь и ниже обозначается полная

производная по t.

Анодное напряжение

равно

 

 

 

D

 

 

 

U=

-

j Eydy=-J^-<9(f)(D

+ 6 ) -

 

- 2 я

J

[o°(y-yl+)

+

&>(y-yL)]dy.

(11.24)

 

—б

 

 

 

Линеаризуем теперь уравнения (11.23) и (11.24), считая функции у\. малыми и анодное напряжение U постоянным (последнее предпо-

9*

259

ложение несущественно, как будет видно дальше). Мы получаем сис­ тему линейных уравнений

УІ

^yl=^(t)+^-d^-(y\-yl),

dy

 

 

 

 

 

 

4я

 

 

 

УІ + Й 8 УІ =- Ф1 (0 + — —

—г--

(УІ

- У \ ) ,

(11.25)

 

 

 

4л;

dy

 

 

 

Ф1

(0 =

Q3d

\(У\

+

УІ)^йу,

 

4я (D + d)

 

 

 

 

 

 

 

 

при выводе которой

использованы

формулы

(11.08) и (11.22) и через

Ф1 обозначена переменная часть ф. Эти уравнения следует дополнить

условиями сопряжения в точках поворота,

а

именно

 

 

 

 

 

 

 

У +

=

У1-, У+=>У-

П Р И # = 0 и

У = Л.

 

 

 

(11.26)

В линейной

теории

полные производные по

 

t

имеют вид

 

 

 

 

 

У\

=

 

 

 

1

 

УІ

dyl

 

 

 

dyl_

 

 

(11.27)

 

 

dt

 

 

dx°+

ду '

dt

 

 

dxо

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

~dy

 

 

 

 

 

поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy±

dy±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.28)

 

 

 

 

 

 

 

dt

dx

 

dx±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

Для дальнейшего удобно считать у\

 

и

yl

функциями

х и t,

что осуществляется

подстановкой у ==у°+ (х) в первсе

уравнение (11.25)

и подстановкой

у = у°_

(——во

 

второе; тогда, например,

у\ =

дуі

, дні

г>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: - | i - - f - ^ L .

В

силу

соотношении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У°+(г) =

У°.

 

4я

• ) ,

y°-(t)= УІ

 

4я

T

 

 

 

(11.29)

 

 

 

Q

V П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

^

 

 

 

 

 

 

можно

переписать

систему (11.25) следующим образом

 

 

 

 

 

 

 

 

у\(х,

t) + Q?y\(x,

0 = Ф Ч ' )

+

 

 

 

2я

 

+

fi2A

(х)

у\(х,

f)-yl

4я

r

, t

 

при

0 < т <

 

[ ~

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yl(x,

 

t) + Q*yl(x,

О - Ф Ч О

 

 

 

 

 

 

+ Q 2 A

 

(—-X

yl

(т>

 

/ 4я

 

'

п

и ^ n

<

t <

 

 

(11.30)

 

 

 

 

 

4 я

 

1

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q 3 d

УК*.

t) + y\

 

'

in

X,

t

dt.

 

ФЧ0 = - 4 я (D + б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

•• у1

при

0 < т

2я

і

L = i , i

і

2л

-

^

^ 4я

 

<

,

 

П р и

<

т < -

 

 

 

Д(т)

 

Qd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4лі>° (т)

 

4 sin2 QT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V0 (X) =

 

I

Qd

 

 

 

Qd

 

 

Qx

 

 

dx".

( 1 — C O S Q T ) = — s i n 2

(II.31)

 

 

dx

 

2я

 

 

 

n

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

и0 (т)

есть

составляющая

скорости

невозмущенного

восходящего движения по оси у.

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные

решения

 

уравнений

(II.30)

имеют

 

зависимость

от

t в виде е~ш,

 

где со — собственные частоты колебаний

электронного

слоя, вообще

говоря,

комплексные;

при Imco > 0

эти

колебания

со

временем нарастают, т. е. в этом случае электронный слой неустой­ чив. Положим, как в 9-й лекции,

yl(x, t)= Яе{У+(х)е-ш},

у1(т,

t) = R e ( W — — т Л е - ' » < )

(11.32)

Ф1

(і) =

Це{Фе-ш},

(11.33)

где большими буквами обозначены комплексные амплитуды, а аргу­

менты у функций

Y+ и

У_ меняются в пределах от 0 до 2я/Я . Сис­

тема (11.30)

теперь

принимает

вид

 

 

 

 

dx

 

1

У + = Ф

+ Я2 Л(т) ( У + - К - ) ,

(11.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О? Г_ = Ф + Я2 А(т) (Г_ —F+),

 

\- tco

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q3d

Й

 

 

 

 

Ф:

 

 

j [ У + ( т ) + К _ ( т ) ] Л ,

 

 

 

4л (D + б)

 

а условия (11.26)

переписываются в

виде

 

 

\г

у

 

dF+

d F _

„

2я

(11.35)

К+ = У_

 

— i

= —

при т = 0

и т = — .

 

 

 

 

'

dx

dx

 

Q

 

Складывая первые два уравнения (11.34), интегрируя по т и используя

условия (11.35), получаем

равенство

 

 

2л

 

 

 

( _ со 2 + Я2 ) j

[У+(т) + У _ (т)]Л

4л Ф.

(11.36)

261

Смотрите также файлы