Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 321

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

легко видеть, будет пропорционален логарифму большого параметра , т. е., как и по формуле (11.65), будет существенно больше

единицы.

 

Следует

отметить, что вблизи «истинных» точек поворота (где

v° (т) = 0)

применимость односкоростного приближения сомнительна,

поскольку тепловой разброс скоростей становится больше средней

скорости

каждого

потока

(см. 1-ю лекцию). Предположение

о том,

что на границах слоя эти скорости не обращаются

в нуль, в какой-то

мере

улучшает

односкоростное приближение.

 

 

 

 

 

Можно

также

считать,

что в

точках

поворота

скорость час-

тицы

n /

\

du"

 

,

 

 

а ускорение

dv<>

d? уи

 

v° (т) = —

обращается в нуль,

— = —-• отлично

 

 

 

йт

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

dx2

 

от нуля. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л ( Т ) = ^ О т

П Р И

Q t < < 1 '

C

l =

2 п — -

(0)

 

( I L 6 6 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д(т) =

 

с

 

при Qx « 2п,

с» =

 

Й 2 d

 

(I I 67)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К '

 

2 ( 2 я — Q t )

F

 

'

2

^ А)0_ [ 2 я _ \ '

Vl-Ul>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

dx \ а I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и фазовые интегралы (11.60) и (11.61) будут сходиться. Хотя в этом случае постоянство Rj и Sj при т « 0 и т » 2 л У й по-прежнему под сомнением, можно думать, что полученные интегральные соотношения, определяющие собственные частоты слоя как целого, останутся в силе или же изменятся незначительно*. В пользу этого говорит применение метода фазовых интегралов в квантовой механике для дифференциаль­ ных уравнений второго порядка; если этот метод уточнять, то в кван­ товых условиях индекс п заменяется, например, на п + 1/2. Пусть в формулах (11.60) и (11.61) произойдет аналогичная замена; тогда, как легко видеть, основные физические выводы останутся теми же.

Заметим, что соотношение (11.66) будет выполняться, если элект­ рическое поле на катоде отлично от нуля и движение происходит по формулам (11.16). Соотношение (11.67) имеет место в том же случае,

а также при наличии начальной скорости на катоде

[движение со

слагаемыми

(11.17)] и в цилиндрическом магнетроне. В общем

случае

мнимая часть собственной частоты

слоя определяется

выражением

 

 

I m c o = ± — в , в =

Г1ЛД (г) — Idx,

 

 

 

(11.68)

 

 

 

2 я

J

 

 

 

 

в котором интеграл берется по той части интервала

0 <

Qx < 2я,

где, во-первых, Д (т) >

1 и, во-вторых, выполняется условие

(11.58).

*

Постоянство Rj и Sj

сомнительно и при т ж х1, где Д(т) ж

1, поскольку

тогда условие

(11.58) не удовлетворяется. Однако эта часть

интервала

в выра­

жения

для со

и в дает малый вклад, поэтому непостоянство

Rj и Sj

здесь не

должно

быть

существенным.

 

 

 

 

 

Это выражение (при знаке «+») показывает, что высокочастотное колебание электронного слоя с двумя потоками нарастает со временем, причем характерное время нарастания (т. е. промежуток времени, за который начальное возмущение увеличивается в е раз) равно

т. е. при в > 1 меньше времени пролета электронов через слой. Фактически, как мы видели, коэффициент в пропорционален

логарифму большого числа

я

или

^г— ! е с

л и справедлива формула

(11.66) или (11.67)

и при этом

числа ct и с 2

велики, то коэффициент

в пропорционален

lnci или

1пс2

и опять будет существенно больше

единицы. Во всех этих случаях At будет существенно меньше времени пролета электронов через слой. Это значит, что данное двухпоточное состояние физически никогда не реализуется. В самом деле, двухпоточное состояние для своего образования требует некоторого вре­ мени, которое во всяком случае не меньше времени пролета электро­ нов до верхней границы слоя и обратно к катоду (т. е. не меньше

An/Q),

а за такое время возмущения разовьются настолько, что это

состояние

распадется,

не

успев

сформироваться; действительно,

положив в

= 1пс (с >

1),

мы за

время 2n/Q получим увеличение

начального

возмущения

в е 1 п с = с раз, а за время 4л/Q — в e2inc —

= с2

раз.

 

 

 

 

Симметричное состояние, возникающее вместо него, довольно близко к однопоточному состоянию, которое будет рассмотрено в при­ ложении I I I ; к такому выводу приводит численное решение системы нелинейных уравнений. Результаты соответствующих расчетов пред­

ставлены на рис. II . 2 . Если

анодное напряжение U

устанавливается

за 4 циклотронных периода

(верхний рисунок), то За

это время элект­

роны с катода выходят упорядоченным образом на соответствующие равновесные траектории (нижний рисунок). После установления анодного напряжения поступление новых электронов с катода прак­ тически прекращается и электроны продолжают двигаться по равно­ весным траекториям (таким же, как в однопоточном состоянии), совершая около них малые колебания. Этот результат очень поучи­ телен: мы видим, что неустойчивости развиваются так, чтобы выровнять

скорости

электронов

в направлении, перпендикулярном катоду.

Что

же касается

однопоточного состояния, то оно неустойчиво

при несимметричных возмущениях, когда образуется волна простран-, ственного заряда, движущаяся вместе с электронами. Это будет по­ казано в приложении I I I , пока же оставим эти вопросы в стороне и закончим линейную теорию симметричных колебаний электронного облака, состоящего из двух потоков.

В предыдущем изложении мы, как уже отмечалось, не учитывали

взаимодействия электронов с катодом

и рассматривали электронный

с л ой 0 < у < d между катодом (у =

— 6) и анодом

(у = D).

Если

т е п е рь совместить катод с нижней границей слоя

(у

=

0), т. е .

поло­

ж и т ь 8 = 0, и учесть, что катод может поглощать

и

испускать

элект-

роны, то уравнения (11.30) и условия сопряжения в верхней точке поворота останутся в силе, а условия сопряжения в нижней точке поворота усложняется. Можно думать, что при г/х _(4я/й, t) > 0 сопряжение будет происходить так же, как в отсутствие катода, поскольку электрон повернет вверх, не достигнув катода, а при tjL (4л/Q, /)<^0 электрон поглотится катодом и электрон, эмиттированный вместо него, начнет свое движение заново, имея

гД(0,/) = 0 и ^ ( 0 , 0 = 0.

(11.70)

О 2Л 4УГ 6Л вЛ ЮЛ 12Ж Sit

О 2Л Ш 6Л вЛ ЮЛ 1Zvt Я t

Рис. П.2. Установление однопоточного состо­ яния в магнетроне

Уже эти простейшие условия делают невозможной подстановку (II.32) и (П.33), хотя на самом деле и они не вполне удовлетворительны. Нужно иметь в виду, что даже при пренебрежении вторичной эмис­ сией поступление электронов в пространство взаимодействия и их поглощение катодом — явления сложные; они лишь отчасти охваты­ ваются односкоростным приближением (см. 1-ю лекцию), в котором мы не учитываем распределения скоростей и совмещаем виртуальный катод (минимум потенциала, см. рис. 1.1) с катодом. Вместе с тем очевидно, что обновление электронов в электронном облаке уменьшает его неустойчивость или же полностью ее. ликвидирует, поскольку новые электроны, поступающие из катода в облако, не имеют на­ чальных возмущений, и поэтому накопление возмущений, создающее неустойчивость, замедляется.

Поскольку нас интересует сам факт неустойчивости электронного облака при его взаимодействии с катодом, естественно исследовать

колебания облака в предположении, что после двух циклотронных периодов электрон, возвратясь к катоду, частично передает имеющееся у него возмущение электрону, начинающему восходящее движение. Таким образом, мы при всех t ставим условия

yl(0, t) = pyl

4it

t ], y\(0,t)=

/ 4 я

 

РУІ { ^ , t ), 0 < p < l , (11.71)

которые при p =

1 переходят в условия (II .26), а при р = 0 — в усло­

вия (11.70). Из предыдущих рассуждений следует, что к реальному облаку мы приблизимся, положив р ~ 1/2, поскольку в нем возмуще­ ние сохраняется примерно у половины электронов, начинающих восходящее движение. Параметр р можно назвать «коэффициентом

зеркальности» нижней

границы

слоя.

 

 

 

Ставя условия (11.71)

при

всех

t и делая

подстановки

(11.32),

(11.33) и (11.38), мы приходим

к уравнениям (11.39), условиям (11.40)

при т = 2я/ Q и

условиям

 

 

 

 

 

 

 

,т

dY+

 

dY-

при т —0,

 

У+ = рУ-, —

i =

— р — -

 

 

 

dx

 

dx

 

 

 

которые удобно

записать в

виде

 

 

 

 

R

-qS,

dS

— q

dR

при

т = 0,

q —

(11.72)

dx

—

 

 

 

dx

 

 

 

 

Строго говоря, в правую часть второго уравнения (11.39) при этом

надо

еще добавить

слагаемое 2Ф, поскольку равенство Ф = 0 дока­

зано

только при справедливости условий (II .40) в обеих точках пово­

рота.

Однако слагаемое 2Ф по порядку величины равно слагаемому

0 .

dR

Qa d

 

 

 

 

Их ' У м н о ж е н н о м У н а й"з 5 > поэтому для высокочастотных коле­

баний, которыми мы по-прежнему ограничиваемся, можно

положить

Ф =

0. Мы имеем,

таким образом,

прежние уравнения

(в

которых

в случае необходимости сглаживаем

функцию А (т) у краев

интер­

вала

0 < т < 2 я / О ,

см. рис. II.1),

но условия при т =

0

другие.

Характеристическое уравнение, определяющее частоты колеба­

ний,

имеет теперь

вид

 

 

 

 

\ - q

qvi

 

 

 

 

 

 

b,

 

(11.73)

 

 

 

 

 

 

 

v3

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

1-е?

v4

h

 

 

 

 

 

 

 

где

2к

Я

%

= j Vj- (T) dt, ^ = — ф 2 , tjj, =

(11.74)

Учитывая соотношения (11.44) и применяя теорему Лапласа, преоб­ разуем уравнение (11.73) к виду

 

l - q

 

 

b3—

qv3

 

 

 

 

Vl

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +q

 

e~'*«

ba +

qvs

 

 

 

 

by— qvy

e'*'

\~q

"3

 

 

 

 

 

 

 

 

v 3

=

0.

(11.75)

 

by + qvy

е-'*»

 

 

 

l+< 7

 

 

 

 

Если параметр p не слишком

мал, то для рассматриваемых

высоко­

частотных

колебаний

электронного слоя можно положить

Ьі — v b

b3 = v 3 и

прийти к

простому

характеристическому

уравнению

 

 

е21Ь: -р

(у =

1 или 3),

 

 

(11.76)

которое в силу формул (11.51), (11.53) и (11.74) определяет собствен­ ные частоты в виде

 

 

 

2я

 

Q

О*

а

СО :

2п

Y\~ A(x)dx — f £ - l n

 

 

 

так что согласно формуле (11.68)

I m c o = — ' і © — — I n — 2 л I 2 р

(11.77)

(11.78)

При р = 1 формулы (11.77) и (11.78) переходят в формулы, выведен­ ные выше для слоя, не взаимодействующего с катодом. Мы видим,

что уменьшение параметра р, т. е. ослабление передачи

возмущений

в нижней точке поворота, приводит к дополнительному

затуханию

колебаний, которое при условии

 

 

6 < - L l n —

(11.79)

2

Р

 

может полностью ликвидировать неустойчивость и сделать

все высо­

кочастотные колебания затухающими.

 

 

 

Таким образом, при учете взаимодействия электронного

облака

с

катодом большое значение имеет

величина коэффициента

 

в : если

в

~ 1, то при р ~ 1/2 неустойчивость

может пропасть, а если

в слое

имеется «запас неустойчивости», т. е. 9 существенно больше

единицы,

то неустойчивость должна сохраняться и при взаимодействии с катодом (по крайней мере, если параметр р не мал).

Здесь весьма важно ограничение тока пространственным зарядом. Пусть, например, в верхней точке поворота справедлива формула (11.67), п р и ч е м с 2 ~ 1; тогда интеграл (11.68) сходится на верхнем пре­ деле и соответствующая часть интеграла — порядка единицы. В этом

Смотрите также файлы