Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 324

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда следует, что отличное от нуля значение Ф может быть только при

c o = ± Q | / l + ^ _ ,

(11.37)

при других же частотах Ф = 0, т. е. колебания электронного слоя определяются только его толщиной d и не зависят от расстояния между катодом и анодом и от того, поддерживается ли анодное напря­ жение (11.24) постоянным или нет.

Дальнейшее упрощение уравнений (11.34) достигается подста­ новкой

 

 

R=Y+~Y-,

 

S =

F + + F _ ,

(11.38)

и мы получаем систему уравнении

 

 

 

{£ - " +

« )

*

2/со dSdx'

Q„=Q

У І— 2Л(т),

(11.39)

 

 

Й2) 5 = 2нв

dR

 

 

,dx*

со

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

и условия

 

 

dS =

 

 

 

т = 2n

 

 

R = 0,

0

при т = 0 и

(11.40)

 

 

 

dx

 

ґ

 

Q

v0(x)

Точно решить

систему

уравнений (11.39), если функция

определяется формулой (11.31), не представляется возможным. Лишь

при

v° = const и

=

const

эта система

допускает точное решение

в виде

 

 

 

 

 

 

# =

2

Rje-lvJ\

5 = І

S}e-ivj\

(11.41)

где

R} и Sj — постоянные,

a v b v 2 , v 3 , v 4 — зависящие

от со, Q и

QB корни характеристического уравнения. Связывая Rj и Sj с по­ мощью уравнений (11.39) и накладывая на четыре свободные постоян­ ные четыре условия (11.40), получаем новое характеристическое урав­ нение, определяющее возможные частоты со. Это уравнение имеет вид

 

ъх

. 2яУі

 

 

1

 

 

 

 

2nv2

2я\'2

 

 

1

ь2

=

0,

(11.42)

 

2nvs

 

2nv3

 

 

1

ь3

 

 

 

 

.2nv4

. 2nV4

 

 

1

ьл

 

 

 

где

 

 

 

 

 

Я

2w2 (Q2 +

Ql)

 

V l , 2, 3, 4 = ± | / ~ » 2

+

 

 

 

2m)

 

(11.43)

 

2co

v 2 + C o 2 - Q 2 '

 

 

 

 

Не нарушая общности,

можно положить

 

v 1 = — v2 ,

v 3 = — v4 , Ь г = Ь2 , h = bi;

(11.44)

тогда уравнение (11.42) примет вид (для преобразования определителя всего проще применить теорему Лапласа)

sin

• sin

^ = 0,

(11.45)

Q

Q

откуда

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

v1 = -~Q

или v 3 = ~ Q ,

 

 

(11.46)

где п — целое

число, включая

нуль. При выполнении

одного из

условий

(11.46)

в определителе

(11.42) две строчки

совпадают.

Каж­

дое значение п соответствует

четырем возможным значениям со, в ча­

стности,

при п = 0 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

c o = ± Q ,

e> = ± Q 0 ,

 

 

(11.47)

а

при любом п

 

± V (^-)! +"а

 

 

 

—

±

у ^ + f п г

№ Щ

^ .

<»•«)

в частности, при больших п получаем приближенное выражение

которое можно также вывести из того обстоятельства, что при усло­ виях

 

 

 

| c o | » Q ,

| a > | » | Q „ |

 

(11.50)

первая

формула (11.43) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

/

q 2 + q

%

(11.51)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вспомним теперь, что согласно формуле

(11.39)

 

 

 

 

Ql = Q2(\—

2А),

 

(11.52)

поэтому при Д >

1/2 появится неустойчивость: в этом случае величина

У„ мнима и одна

из частот ± Q D дает

при п = 0 согласно формуле

(11.47) экспоненциальное нарастание

возмущений (во времени). Если

же

Д >

1, то неустойчивость будет

согласно

формуле

(11.49) также

и

при больших п и высокочастотные

колебания будут

нарастать во

времени, поскольку величина

 

 

 

 

 

 

 

 

Vr О2 -f- Qv =

c

> / l — Д

 

(11.53)

будет мнимой.

Подведем

итоги.

Чтобы разобраться

в ситуации, мы положили

в уравнениях

(11.39)

величину

 

 

 

А

(11.54)

 

 

4лх>°

 

постоянной и пришли к выводу, что при достаточно больших значениях

А (при Д > 1 / 2 или Д > 1 ) появляется

 

неустойчивость.

Постоянство

А означает, что мы рассматриваем слой, состоящий из двух

встречных

потоков со скоростями ±v°,

преобразующихся друг в друга в резуль­

 

 

 

 

тате «отражения» частиц от границ слоя, рас­

 

 

 

 

положенных

при

 

у

= 0

и у

= d.

 

Отношение

 

1

a max

 

dlxfi

есть время

пролета

электронов

через

слой,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

неустойчивость

 

реализуется,

если

это время

 

 

 

 

 

 

 

 

 

превышает

4я/ Q — характерное

время

данной

 

 

 

 

задачи.

 

Эта

неустойчивость

имеет

ту же

при­

 

 

 

 

роду, что и неустойчивость электронного

потока

 

 

 

 

в двухлучевой лампе, где два электронных

пуч­

 

 

 

 

ка с различными, но близкими скоростями вза­

 

 

 

 

имодействуют примерно

так

же,

как

пучок

и

 

 

 

 

синхронная

 

волна

в

лампе с бегущей

волной,

 

 

 

 

вследствие чего данная система

может как уси­

 

 

 

 

ливать,

так

и

генерировать

электромагнитные

 

\

J

 

колебания

(см. приложение IV).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фактически

же

А зависит

от т, как

пока­

 

V

 

зывают

формула

(11.31)

и рис. П Л . Из преды­

 

 

дущего ясно, что функцию А (т)

нельзя

аппрок­

 

 

 

симировать

 

постоянным

значением

(скажем,

1/8

 

зґ

 

или

1/4),

исходя

из того, что существенно боль­

 

 

 

 

Рис.

II. 1.

Функция

шие

значения

эта

функция

принимает

лишь

у

краев

интервала

0 <

QT <

2я: именно эти

Д(т)

— исходная

и

сглаженная

(Д(т)

<

значения

приводят к

неустойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

необходимо

более тонкое

рассмот­

 

 

 

 

рение,

учитывающее

непостоянство

 

А(т). Что­

бы

упростить

изложение,

возьмем

 

вместо

функции

А (т)

новую

функцию,

практически

совпадающую со старой при

А (т) <

Атах

и

конечную

на всем

интервале 0 <

QT < ; 2я; эта функция

изображена

на

рис. II . 1 жирной линией

(о выборе

 

Атах

см. дальше). Будем

счи­

тать, что для новой функции имеют место соотношения

(11.50) и (11.51).

Ограничиваясь, таким образом, исследованием высокочастотных

коле­

баний слоя, ищем

приближенное

решение системы

(11.39)

в

виде

 

 

R= 2

Rj(t)e'^'(x),

 

 

 

S =

S S , ( T ) e - ' * > ( , )

,

 

 

(11.55)

где

через

% (т) обозначены

фазовые

интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.56)

являющиеся естественным обобщением величин v/t, фигурирующих (при постоянных А и vj) в формуле (11.41). Выражения (11.55) и (11.56) естественно применять при условиях (11.50), когда колебания происходят гораздо быстрее, чем невозмущенное движение частиц. Подставляя, получаем уравнения

( _

у) _

 

Ql) R . _

2i v}

dRj

. dvj

n

,

d2 Rj

 

0)2 +

— ' -

і

Rj

 

dx2 J

 

 

 

 

 

 

dx

dx

 

 

 

2[( _

 

 

 

 

dS;

dv,-

 

 

d 2 S

(11.57)

 

 

 

 

 

 

 

v ? -

со2

+ Q2) S , -

2ivj

dT

dT S3

- I

dx2

 

= 2 і о , 2 ( - ^ ^ + - ^ ) е - ' * Л

которые нужно решать, учитывая, что со и v7- — большие величины (причем Vj« + со). Приравнивая в правой и левой частях уравнений (11.57) слагаемые, не содержащие производных, в том числе производ-

«

dV;

/

 

 

 

частности,

-

о

нои

 

(эти слагаемые содержат, в

множители v],

toz и

coVj-),

получаем для v b

v 2 , v

3 , v4

то же характеристическое уравнение,

и ту

же

связь между

Rj и

Sj.

Так

как теперь

А = А (т), то будем

иметь Vj =

Vj (т) и для высокочастотных колебаний; когда выполнены

условия (11.50), Vj можно вычислять по простой формуле (11.51).

Если

выполняется

дополнительное условие

 

 

— « со2

или Q — У\— А(т) « со2,

(11.58)

 

dT

dT

 

то уравнениям можно в первом приближении удовлетворить постоян­ ными Rj и Sj. Ставя условия (11.40), придем к характеристическому уравнению (11.42), в котором надо произвести замену

2я

- т г - * * ' т Ь Ь м * -

( I L 5 9 )

о

 

и условия (11.46) принимают вид

 

2Я

 

П

 

f v,(T)dt = nn(/ = l,3),

(11.60)

о

где я — большое целое число. Из формул (11.51), (11,53) и (11.60) следует, что возможные частоты определяются выражением

со= ± J L Q ±

Л

f у і _ Л ( т ) Л ,

(11.61)

2

2it

J

 

о

переходящим при A = const в выражение (11.49).

Для исходной функции А (т), определяемой формулой (11.31), Интеграл в правой части (11.61) расходится логарифмически на верх­

нем и нижнем

пределах, так

что

 

Imco == +1 п

оо. Однако

исходная

функция А (т) не удовлетворяет

условию (II .58) при т « 0 и т «

2л/Q.

Действительно,

полагая

при

Q T

 

1

 

 

 

 

 

 

Y\—

Д ( т ) « і /

1

— ~ — ,

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

Q2 т 2

Qx

 

 

 

 

 

— У\— Д ( т ) «

— ,

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

Qx2

 

 

 

 

 

мы видим, что условие

(11.58)

выполняется

лишь при

( 0 2

Т 2

> 1,

т. е. при замене исходной функции

А (т) новой (рис. II.1),

которая

удовлетворяет

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.62)

В этом случае

по формуле (11.61)

получаем

 

 

 

 

 

I m c o ^ ±

—

{ \ [

—-

 

}dx=±

—

в ,

 

(11.63)

 

 

я

J у

Q2

х 2

 

2 я

'

 

 

 

где

 

 

То

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 = 2 ^ y\ZT&*!!L&2

(In - |

l j ,

е = Й т 0 « 1 ,

 

(11.64)

є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т 0 — минимальное значение т, при котором условие (11.58) еще можно

считать выполненным,

а А (т4 ) =

1. Таким

образом,

в

« 2 In п.

Qx0~

(11.65)

гак что при достаточно больших я коэффициент в существенно больше

единицы, а длина

краевых интервалов, где для исходной

функции

А (т) нарушается

условие

(11.58) и где она заменена новой, — сколь

угодно

мала.

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта замена означает, в сущности, переход к новой модели элект­

ронного

слоя.

Так,

замена функции А (т) сглаженной

(рис. I I . 1 ,

кривая

А (т) < ; Д т а ж )

при т »

0 эквивалентна

введению

начальной

скорости

v y 0

на

катоде

(учет

этой скорости

в некоторых

случаях

имеет смысл, см. задачу 6 к 1-й лекции) и предположению, что при своем возвращении к нижней границе слоя электроны зеркально отражаются от нее [ср. с замечаниями после формулы (11.54)]. Ана­ логичное предположение можно сделать относительно верхней границы слоя, но здесь оно уже физически не оправдано: если предположение о скорости v y 0 на нижней границе слоя в какой-то степени учитывает начальные скорости при эмиссии электронов катодом, то предположе­

ние о скорости у ^ о ^ О н а

верхней

границе вовсе искусственно.

Если

эти предположения, тем

не менее,

сделать, то коэффициент в ,

как

Смотрите также файлы