случае значения в , существенно превышающие единицу, могут быть только при ограничении тока пространственным зарядом, когда ско рость и ускорение частиц вблизи катода малы. Возникающая по этой причине медленность невозмущенного движения частиц вблизи катода увеличивает неустойчивость электронного облака, поскольку при этом взаимодействие встречных потоков усиливается.
Полученные выше результаты довольно просто переносятся на
цилиндрический |
магнетрон, |
в |
котором |
(см. приложение I) |
вместо |
уравнения (11.20) имеем |
уравнение |
|
|
|
|
' |
+ |
т |
|
|
|
|
( |
I L 8 0 ) |
где г — цилиндрический |
радиус-вектор, |
а — радиус катода, |
а |
сос |
тавляющая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fr = —[Em r |
|
(Н.81) |
в стационарном |
режиме |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
ft |
= |
.— |
*!il, |
|
(11.82) |
|
|
|
' |
|
m |
г |
|
|
|
где I°r = 2naj°r •—линейная плотность тока (на единицу длины катода), поступающая в пространство взаимодействия. При написании формулы (11.82) использовано то обстоятельство, что в цилиндрически симмет ричном поле
£ - І 2 .
Г
где |
q — линейная плотность заряда, |
находящегося внутри |
цилиндра |
с данным радиусом г. |
|
|
|
|
|
Таким образом, в стационарном двухпоточном состоянии движе |
ние |
определяется функцией г = г° (т), удовлетворяющей |
уравнению |
|
d V o , о » Л , _ ^ ) |
= 4 _ £ _ 7 о _ т _ |
( |
И 8 3 ) |
|
гоз) |
щ |
г» |
|
|
которое, как нетрудно показать, при |
г° — а <^ а переходит в |
урав |
нение, соответствующее плоскому магнетрону, и для восходящего движения применима первая формула (11.07), в которой надо считать
уо = го |
— а |
Если |
внешний |
радиус |
электронного облака |
г^ах (о его |
вычислении |
будет |
сказано |
ниже) |
удовлеворяет |
условию |
г„ах — |
— а « |
а, |
то движение |
электронов такое же, |
как |
в |
плоском |
магнетроне. В противном случае нужно численно интегрировать не
линейное уравнение |
(11.83), поскольку |
аналитически |
его |
решить |
не удается. Вместе с |
тем оказывается, |
что при г° = |
Гтах |
согласно |
dr° |
d2r° |
|
|
|
уравнению (11.83) = 0, но - ^ - = ^ 0 , поэтому неопределенности, свойственной задаче о плоском магнетроне, нет: электрон, дойдя до радиуса rmax, неукоснительно поворачивает обратно.
гйтах
|
Обозначив через i m |
a x |
значение |
т |
при г° = |
г^ах |
(как показывают |
расчеты, |
хптх |
меньше |
|
2 я / й |
и даже |
при ramaxla~ |
|
100 отличается от |
2л/Q |
всего на 20%), можно вычислить линейную плотность электрон |
ного |
заряда |
q = 2 I°rxmax |
|
и напряжение между |
границами |
электрон |
ного |
облака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
\ |
|
E?dr=-4I°r |
|
[ |
т |
_dr0 |
dx, |
(11.84) |
|
|
|
|
|
|
— |
dx |
|
|
|
|
|
.3 |
|
|
|
|
J |
r° |
|
|
которое |
в силу |
уравнения |
(11.83) |
и |
условий |
dr° |
= 0 при |
т = 0 и |
т = |
х т а х |
[можно |
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
_ |
|
т |
й 2 |
|
+ |
|
-2а2 |
(11.85) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ках)2 |
|
Гтах)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
Анодное |
напряжение |
(6 — радиус |
анода) |
будет равно |
|
|
|
|
|
U = Ue-4I?xnax |
|
\п-£—. |
|
|
(11.86) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г max |
|
|
|
Если, как обычно бывает, задано анодное напряжение U, то определе ние Ir отсюда в явном виде невозможно и приходится прибегать к чис ленным или графическим методам. Задача упрощается при —
— а < а; тогда
|
|
rmaK = a + d, |
d= |
8 я |
— |
/ , |
2л |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
Q3a |
|
|
|
|
|
Ue= |
— 2яр0 |
d, |
ро = mfi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ле |
|
и формула (11.86) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
U = — 2яр 0 |
( 2а In |
d) d: |
|
для |
d |
получаем |
выражение |
(11.13), в котором надо положить |
D = |
а |
ЩЫа). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем теперь возмущения двухпоточного состояния в ци |
линдрическом |
магнетроне, |
для |
чего |
положим |
|
|
г = г°(*) + |
г Ч * , 0 , |
/ г = - |
^ |
+ |
2 ^ - ^ Л , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.87) |
|
о (г, t) |
[q°(r-rl) |
|
+ q0(rr-rl)], |
q° (г) = 2/? т°+ (г), |
где все обозначения аналогичны обозначениям для плоского магнет рона. После линеаризации получаем систему уравнений
ri(x,t) + Qiri{x, 0 = + & Д (t )[rV (т, t)~r\{2xmax-x, г)]
|
|
|
|
при |
0 < т < т т а ж , |
|
|
|
|
(11.88) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г\ (х, t) + |
Q\ rl |
(х, t) |
= ^ |
+ Й2 Д (т) [rL (т, 0 - г ' |
(2т„ |
|
-r,t)\ |
|
|
|
|
/-0 (Т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
v max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 — / , ° |
zmax |
( т , 0 + г і ( 2 т т а : е — т, t) |
|
|
|
Ф1(0 = |
|
г j |
|
dt. |
|
|
т |
|
|
|
|
|
a In • |
|
|
|
|
г° (т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 — |
lr |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 3 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ro |
|
|
|
[ r O ( T ) ] |
2 |
(11.89) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 — П |
|
|
|
dro |
|
|
|
|
A |
|
t ) = - |
|
m |
|
|
0° (t) |
= |
|
|
|
|
v |
|
|
|
dx ' |
|
|
|
|
|
Q 2 |
r° (x) |
(T) |
' |
|
|
Система (11.88) впервые получена Б . Б . Кадомцевым; систему |
(11.30) можно |
получить из нее посредством предельного перехода. |
Мы |
рассматриваем |
колебания |
кольцевого |
электронного слоя |
а < г •< г°тах, |
не учитывая его взаимодействия с катодом, и переходим |
к комплексным амплитудам |
R + (т), |
|
(т) и Ф по аналогии с форму |
лами (11.33). Делая затем |
подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
|
# = #+ — /?_, |
S = R+ + R . , |
|
|
|
|
|
|
R = 0, |
— = 0 |
при т = 0 |
и т—т^ |
|
(11.90) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
получаем систему |
|
уравнении |
|
|
|
|
|
|
|
1 ~ — e>a -f-QS)# = 2ico — , fl„ = Q t / l — 2Д(т), |
|
(11.91) |
|
|
|
|
|
|
dR |
2a Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c o 2 + й Л 5 = 2ко — |
r« (x) ' |
|
|
|
|
dx2" |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
в которой членом, содержащим Ф, можно пренебречь по соображениям, приведенным после формулы (11.72). В результате получаем систему, отличающуюся от системы (11.39) только тем, что вместо постоянной Q2 в ней фигурирует величина Q2, зависящая от т; от этого формулы усложняются, однако общий вывод о неустойчивости данного элект ронного образования остается в силе.
Учитывая, что теперь 2я/Q надо заменить на хтах, вместо формулы
(11.61) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хтах |
QXY(T—A(t)dx, |
|
|
с |
о = ± _ і ^ ± _ ! _ |
Г |
(11.92) |
|
|
|
Хтах |
Хтах |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
и наша |
основная |
формула |
(11.68) |
примет вид |
|
|
|
І т и = |
± — І — 0 , |
в = |
Г |
fiTT/l |
— Д (т) dx, |
(11.93) |
где интеграл |
берется по той части интервала |
0 < т <С хтах, |
в которой |
подкоренное |
выражение положительно |
и |
в |
которой, кроме того, |
выполняется |
условие |
|
|
|
|
|
|
|
-f- [ Q x K l - A ( t ) ] « c o 2 ,
ИТ
аналогичное условию (11.58). Из формул (11.92) и (11.93) для кольце вого электронного слоя можно сделать те же выводы, которые ранее были сделаны для плоскопараллельного. Отметим, что в цилиндри ческом магнетроне в может содержать логарифм большой величины только из-за движения вблизи катода (где ускорение близко к нулю вследствие ограничения тока пространственным зарядом), так как вблизи внешней границы облака ускорение имеет конечное значение.
Исследование неустойчивости электронного облака в цилиндри ческом магнетроне мы изложили очень бегло, представляя читателю самому произвести необходимые выкладки, вполне аналогичные вы кладкам, приведенным выше для плоского магнетрона.
Мы рассмотрели выше электронное облако в магнетроне при условии, что электрическое поле на катоде равно нулю и ток, посту пающий в пространство взаимодействия из катода, максимален, т. е. ограничивается пространственным зарядом и не зависит от тока эмиссии. Плотность заряда в электронном облаке при этом оказывается максимальной и в другом смысле — с точки зрения устойчивости ор битального движения отдельного электрона в этом облаке, рассмот ренной в 4-й лекции. Действительно, в плоском магнетроне согласно формуле (11.09) средняя плотность электронов в слое равна
а4ле
исоответствующая ей плазменная частота сор удовлетворяет соотно шению
т
определяющему согласно формуле (4.68) критическую плотность за ряда, при которой орбитальное движение в плоскопараллельном потоке становится неустойчивым (см. задачи 6 и 7 к 4-й лекции).
Однако обнаруженная неустойчивость связана не с этим обстоятель ством, а с наличием встречных потоков, обусловленных сильно выра
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
женным |
орбитальным |
движением электронов, из-за чего плотность за |
ряда при г/яаО и y^d |
гораздо больше критической. В качестве |
курьеза |
отметим, |
что при |
условии (4.68) формула (4.60) дает |
Я р |
= |
Я/2 и |
период обращения |
оказывается |
равным 4я/Я, т. е. таким |
же, как |
в |
данной задаче. Это совпадение — случайно, потому |
что |
формула |
(4.60) при условии (4.68) не применима. |
|
|
|
|
Полученные |
результаты |
нетрудно распространить на |
пучки |
с произвольной плотностью. Рассмотрим электронный слой 0 < |
у < d, |
в |
котором |
при |
0 << т < |
т т а д . |
электроны совершают |
восходящее, |
а |
при |
хтах |
•< т < 2 т т а ж |
— нисходящее движения. В |
стационарном |
состоянии этот слой характеризуется формулами (11.16), в возмущен
ном— формулами |
(11.20) — (11.23). После |
линеаризации |
мы полу |
чаем |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у\ |
+&У\= |
Ф1 |
(t) + 2 л |
^ |
^ |
(уЧ) (уі |
~yl), |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
yl |
+ Я 2 |
yl |
= ф1 |
(0 |
+ 2л - і - ^ |
(у°_) |
|
(yl-у*.), |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
dy |
|
|
v° (т) |
|
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V° (т) = vu (т), |
|
|
|
|
|
где |
v — некоторая |
средняя |
скорость |
электронов |
по оси у |
(при 0 < |
< т |
< хтах), |
и (т) — безразмерная скорость. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
4 я |
е |
.0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2nJ-^(y)=r |
|
\у |
- |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
<*>> |
|
|
|
|
|
dy |
vu |
(т) |
2 |
и |
(т ) |
|
|
где |
соотношение |
|
|
|
|
;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Snejy |
|
|
|
|
|
(11.94) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяет плазменную частоту, соответствующую средней плотности 2 ЦІ v. Для такого слоя уравнения (11.30) и все дальнейшие соотно шения остаются в силе, если определить функцию А (т) не формулой (11.31), а более общей формулой
Д(т) = — ^ — • |
(11.95) |
w |
2Q2 и (т) |
|
Все остальные соотношения, в частности формула (11.60), остаются справедливыми, если в них заменить 2я/Я на гтах; формула (11.61) примет вид
пп |
Q |
тих. |
|
со = |
1 |
j Y1—Д(т)Л. |
(11.96) |
|
ьтах |
