Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 317

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

что и электроны, эмиттированные катодом: если электронный поток образован электронами, вышедшими из катода, а не введенными в пространство взаимодействия извне, то условие (III.04) должно выполняться обязательно. В лучевых приборах типа М это условие может нарушаться. Введем обозначения

 

4лер

fio=A

.2

(HI.05)

 

т

Q

 

 

"

 

 

тогда

при наличии малых возмущений

будем иметь

 

 

x = Q0y+x\

 

у = у \

(III.06)

где Xі

и у 1 — составляющие малого

возмущения скорости

по осям

хя

у соответственно. Из уравнений

движения

(3.04) получаем

где

 

х 1 + ( Й „ - й ) у 1 = Д,

 

y^ +

Qx^fl

 

 

(111.07)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е дФ1

f l

 

_

- ±

_е_ дФ1

 

(ЦІ.08)

 

 

 

П = - . Л - Л £ ,

f

l =

. S ^

t

 

 

 

 

 

 

т

ох

 

 

 

 

т

ду

 

 

а

Ф 1 есть

возмущенный

потенциал,

удовлетворяющий

двухмерному

уравнению

Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

дх2

 

+ І І Ф 1 =

_ 4 я р і ,

 

 

(Ш.09)

 

 

 

 

 

ду2

 

 

 

 

 

 

 

 

где р 1 — возмущенная

плотность

заряда,

удовлетворяющая

уравне­

нию

непрерывности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ' + ( P + p ' ) ( f - + f

) - 0 .

( " М Ч

в

котором

 

l

 

^ + X ^

 

_

 

y

^

 

 

(III.11)

 

 

 

P

=

 

b

 

 

 

 

 

у

 

 

dt

дх

 

у

ду

 

v

'

есть

полная производная

плотности

 

р 1

по времени.

 

 

 

 

Произведем теперь следующие упрощения: линеаризируем урав­

нения, для чего в соотношении (ШЛО) заменим р + р 1

на р, а в со­

отношении

(III.11) х на Q0y и у на нуль; предположим, что все пере­

менные величины зависят

от ж и

t

по закону

е ' ( А * - 0 ) ' ) ;

тогда, обоз­

начая комплексные амплитуды так же, как сами физические величины

(см.

9-ю лекцию), будем

иметь

 

 

 

р1 = — t"coe р1 ,

х1= — шех1,

y1— — ia>ey1,

(III.12)

где

[ср. с формулой (6.14)]

 

 

 

 

сое = со — Q0hy

 

(111.13)

есть эффективная частота поля, действующего на электрон; это поле создается бегущей электронной волной, возбуждаемой пульсирующим зарядом облака.

Мы получаем систему линейных дифференциальных уравнений

— теXі

+ (Я0 — Я) z/1 =

ЛФ1,

 

 

т

Qx1—

т е у х = —

,

 

т dy

 

еРфг

 

( 1 П Л 4 )

dy

 

 

в которой все функции зависят только от одной переменной у . Эту систему преобразовываем следующим образом: 1) из первого и вто­ рого уравнений находим возмущенные скорости х1 и у 1 , выражая их

гіфі

через Ф 1 и ; 2) подставляя эти скорости в четвертое уравнение, найдем р1 ; 3) подстановкой в третье уравнение получаем для Ф 1 ли­ нейное дифференциальное уравнение второго порядка, решение кото­ рого позволяет найти зависимость всех переменных величин в элект­ ронном слое от координаты у . Первый этап преобразования дает вы­ ражения

 

 

 

 

 

гіФ1 гіФ1

 

 

 

—— ф й / і Ф 1

 

 

сое Л Ф 1 + (Q — й „ ) — —

 

 

 

we

 

* * = - - i

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

^

r ,

(111.15)

«

Q ( Q — Q 0 ) — c o l

 

 

 

m

 

— й о ) — W e

 

которые при

условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q > Q 0

(т. е. при

Я 2

» со2,)

 

 

( I I I . 16)

принимают вид

 

 

 

dO1

 

 

 

 

(ІФ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cog Л Ф 1

-+- Й — —

 

 

 

со е

— — + QhO1

 

 

 

 

0

2

.

"

, У

^ і

-

 

,

 

(Ш.17)

 

от

Q 2

— сое

 

 

 

m

й 2

— сое

 

 

и при дополнительном

 

условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я > с о е

 

 

 

 

 

 

(III.18)

переходят в

выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

i =

_ J _

^ 1 ,

=

_£_ іЛфг,

 

 

(Ш.19)

соответствующие дрейфовому приближению (3.10). При условии

 

 

Я = Я 0

(т. е. при

Q* = o>J),

 

 

 

(II 1.20)

совпадающем

с равенством

(II 1.04),

выражения

(III.15)

принимают

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'і

 

е

і ф 1

"i

 

. е

d Ф 1

,

 

, т т г п п

 

Xі

= • — h — ,

г / 1 — — і — •

 

 

 

(III.21)

т. е. возмущенное

 

т

сое .

 

 

т dy сое

„ . е Ф 1

движение

обладает потенциалом скоростей

•

Второй этап преобразования дает довольно громоздкое выражение

 

dCD1

 

dфl

 

due

+ &ЛФ1

с о е / і Ф 1 + (Q — й„) — —

d

dy

h

, (ПІ.22)

т со е dy Q ( Q — Q 0 ) — с о !

Q ( Й — Q 0 ) — c u e

которое при условии (111.20) принимает вид

(111.23)

m coe \ d y 2

у coe

В дальнейшем мы ограничимся исследованием возмущений при уело вий (III.20), всегда выполняющемся для магнетрона: лишь для луче вых приборов типа М имеет смысл исследование плоских электрон ных потоков при нарушении этого условия. Третий этап преобразова ния приводит к уравнению

 

 

 

 

 

Uy2

 

 

t c o e

\dy*

j

со е

 

(III.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое

с

помощью

замены

переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

Q

 

 

Q

 

 

o p

!

[(111.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

преобразуем

к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ds2

 

!

 

{

ds2

 

 

 

 

С помощью

подстановки

 

 

 

ф і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(II 1.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем

линейное

дифференциальное

уравнение

второго

порядка

 

 

 

 

 

 

 

d 2 W

2s

d ¥ — ¥ = 0.

 

 

'(111.27)

 

 

 

 

 

 

 

ds 2

1-

ds

 

 

 

 

 

которое

имеет

две особые точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s =

+

1,

С О „ =

±

О,

 

 

(111.28)

соответствующие

циклотронному

резонансу электронов в поле волны.

Общее

решение

этого уравнения

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = Ag(s)

+ Bg(-s),

 

 

(111.29)

где А

и В — произвольные постоянные, а функция g (s) вблизи точки

s ==

— 1 разлагается в

степенной

ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(s) =

l +

2

ah(s

+

\ ) k ,

g ( - l ) = l ,

(III.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

*= і

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициенты

которого

удовлетворяют

соотношениям

 

 

 

 

% _ 2

-

2aft_ І +

(3fe -

к2) ak

+

(2/г2 - 4) ah+1

= 0,

(111.31)

 

 

 

а_1

= а_2 =

... = 0 ,

a 0

= l ,

ai = 0,

a2 = — 1 .

 

 

 

 

В точке s = 1 функция g (s) имеет логарифмическую особенность и ее

разложение

по степеням

1 — s содержит

логарифм 1

s;

 

при s > 1

функция

g (s) комплексна. Поведение g (s) при s - >

со

всего

легче

выяснить,

если

ввести

новую

функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(II 1.32)

удовлетворяющую

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

¥ І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(III.33)

 

 

 

 

 

ds2

 

 

( 1 - s 2

) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в котором при | s | >

у 2 квадратная скобка отрицательна

 

и поэтому

функция

¥ 4

монотонно

возрастает или же монотонно

убывает. При

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s ->- +

оо мы должны

иметь

 

 

 

дм

 

 

*-lmg(sh

 

 

 

¥ 1

=

C ± e s + D ±

e - s

,

(III.34)

 

 

 

 

 

У/

где

константы

C ± и D±

для

боль­

 

 

 

 

 

ших

положительных и больших от­

 

 

 

о

 

рицательных

s различны.

В соответ­

 

 

 

 

ствии

с

этим

 

функция

 

g (s)

при

 

 

 

>

 

s —> ±

со имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• 2

- 1

 

О

 

1

 

 

 

 

g(s)

=

} / s 2

- l

 

 

(III.35)

Рис.

I I I . 1.

Функция

g(s); при

 

 

 

 

 

s >

1 она

принимает

комплек­

где постоянная а_ очевидно вещест­

 

сные

значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

венна,

а

постоянная

ац_ — комп­

лексна. Легко

показать, что относительная

 

погрешность

формулы

(III.35) порядка 1/s3,

поэтому в ней имеет смысл писать

 

]As2

— 1,

не заменяя

это выражение

на

± s .

 

 

 

о функции g (s) без вы­

 

Вот,

пожалуй,

и все, что можно сказать

числений;

численное

интегрирование

уравнения

(II 1.28)

 

вдали от

особых точек (II 1.28) не представляет трудностей, и оно дает

функцию

g (s) в виде, изображенном

на рис. II 1.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вне электронного слоя

потенциал

Ф 1

удовлетворяет

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

d2

Ф 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(111.36)

 

 

 

 

 

 

 

dy*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а на верхней границе слоя должно выполняться

условие

 

 

 

 

 

 

 

dCD1

 

 

dO)1

 

=

—

4npy\

 

 

(111.37)

 

 

 

 

dy

 

 

dy y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d~0

 

 

 

 

 

 

 

 

в котором справа

стоит

умноженная

на — 4л плотность поверхност­

ного заряда на границе, образовавшегося благодаря малому смеще­

нию границы; у1 берется

при у = d и определяет возмущенную (вол-

нообразную в

силу зависимости

е ' < Л г — ш ) , см. рис.

.2) границу

слоя. Согласно

второй

формуле

(III.21)

 

 

 

 

е

(III.38)

dy С0Е

поэтому условие (III.37) можно переписать в виде

dcD1

2

_d_

ф і

(111.39)

 

(Op

 

dy t/ = d + 0 dy ]y = d~0

 

(£>e y =

W>e

dy

d-0

Аналогичное условие можно

поставить

на

нижней

границе слоя

у = О, если для общности изучать свойства слоя, приподнятого над

катодом, расположенным при у —

— б;

таким образом,

мы ставим

условие

 

 

 

 

 

d Q l

гіфі

 

сор

d Ф1

(111.40)

dy у=-о

dy

+ о

coe

dy

 

и, кроме того, считаем, что на верхней и нижней границах

потенциал

Ф 1 непрерывен.

 

 

 

 

 

 

У

\

 

 

 

шшшшшшиэт^

Рис. I I 1.2. К граничному условию (III.37); образование поверхностной плотности заряда при малых смещениях границы электронного облака с объемной плотностью р.

Введем значения безразмерной переменной

$0="~f' S d = W ~ l T ' з в = - А 6 - Л S D = hD-^., (Ш.41)

соответствующие границам слоя и электродам. Считая, что на по­ следних должно быть Ф 1 = 0, будем иметь

Ф1

= С0 sh (s — Se)

при se <С s < s0

 

Ф 1

= 5 [ Л ^ ( 8 ) + % ( - s ) ]

при

s 0 < s < s d ,

(111.42)

Ф ^ С ^ п ^ — s D )

при

s d < s < s D ,

 

где C0 , А, В и Cd — четыре произвольные постоянные. Ставя четыре граничных условия — по два на каждой границе слоя, получаем че­ тыре линейных уравнения для этих постоянных, условие совмести­ мости которых дает характеристическое уравнение, связывающее между собой s0 , s6 , sd и sD. В силу соотношений

sd — s0 = hd,

S6 — sQ — -—h8,

sD — s0

= hD

 

(III.43)

мы при фиксированном

волновом числе

h

знаем sd, s6 и

sD,

если из­

вестна величина s0 , так что характеристическое

уравнение дает нам

возможные значения s0 ,

т. е. возможные частоты колебаний

электрон­

ного слоя. При Imco >

0,

т. е. при

l m s 0 < < 0 ,

слой

оказывается

неустойчивым.

 

 

 

 

 

 

 

Такая постановка вопроса естественна, когда речь идет о само­ возбуждении генератора, в котором «рабочим телом» является рас­ сматриваемый электронный слой. В генераторе волновое число h мож-

285

Смотрите также файлы