Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 309

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Выписывая явно полную производную во времени, получим в коорди­ натном представлении кинетическое уравнение

df

df

df

df

Fx

df

Fy

df

Fz

df

— +

Vj.

r-v„

\-vz

1

 

1

• -|

 

= 0,

dt

dx

dy

dz

m

dvx

m

дчу

m

dwz

 

например, x

 

 

 

 

Fx

 

 

в котором,

заменено

на v*,

a v ,

— на

 

согласно урав­

нениям, выписанным выше. Более краткая векторная запись того же уравнения имеет вид

^

+ v i

+ l

i = 0.

(IV.01)

dt

dr

т

dv

 

Как мы видим, это уравнение является следствием сохранения фазового объема drdv при движении. Фазовый объем, как можно показать, сохраняется и при релятивистских уравнениях движения, если его определять как drdp, где

— обобщенный импульс частиц, А — векторный потенциал. Фазо­ вый объем не сохраняется, если имеются диссипативные силы, на­ пример, если в правой части уравнения для \ х имеется член—г)уж ;

тогда ^

= —41=7^0. Сила

радиационного торможения, входящая

в правую

часть (1.08), также

является

диссипативной силой, подоб­

ной силе

трения.

 

 

Вывод уравнения (IV.01) является

вполне строгим, если частицы

не взаимодействуют и движутся во внешнем поле, которое на них действует с силой F . Заряженные частицы, разумеется, взаимодейст­ вуют друг с другом, причем двояким образом: они создают дополни­ тельные токи и заряды, сглаженные плотности которых определяются формулами (1.10), и, следовательно, дополнительное электромагнит­ ное поле, накладывающееся на поле, создаваемое внешними источни­ ками, и, кроме того, взаимодействуют друг с другом при сближении на расстояния, малые по сравнению со средним расстоянием между частицами. Такое «индивидуальное» взаимодействие частиц носит характер столкновений (соударений) между частицами или же харак­ тер флюктуации, накладывающихся на сглаженные поля. Мы qbopмально распространяем уравнение (IV.01) на заряженные частицы, понимая под F силу, обусловленную суммарным электромагнитным полем, и пренебрегая индивидуальным взаимодействием частиц. В конце данного приложения мы вернемся к вопросу о законности такого подхода, сводящегося к рассмотрению совокупности заря­ женных частиц как некоторого «идеального газа» в усредненном поле. Сейчас только отметим, что учет индивидуального взаимодей­ ствия частиц важен для исследования того, как система приближается

к состоянию статистического равновесия. Так, учет соударений моле­ кул в кинетической теории газов позволяет вывести закон возрастания энтропии и уравнения гидродинамики (газодинамики); состояние равновесия характеризуется законом распределения Максвелла — Больцмана. В сверхвысокочастотной электронике рассматриваемые электронные потоки обычно весьма и весьма далеки от состояния статистического равновесия, а время пролета электронов через прибор, как правило, мало по сравнению с эффективным временем соударений (или, что то же самое, размеры приборов малы по сравнению с эф­ фективной длиной свободного пробега электронов). Поэтому индиви­ дуальное взаимодействие частиц в сверхвысокочастотной электронике не учитывается, а при теоретическом анализе принимаются во вни­ мание только коллективные взаимодействия, обусловленные сгла­ женными полями.

Специфические черты коллективного взаимодействия электронов, имеющих различные скорости, были первоначально обнаружены при исследовании колебаний в плазме. Так было найдено «затухание Ландау», которое при некоторых условиях может изменить знак, и тогда данная электронная система будет неустойчивой — способной усиливать или генерировать колебания.

Рассмотрим плоские волны в бесконечной однородной плазме. При этом ограничимся, во-первых, достаточно высокими частотами, при которых ионы можно считать неподвижными и учитывать лишь колебания электронов, и, во-вторых, линейной теорией, т. е. будем считать электрическое поле волн и возмущение функции распределения достаточно малыми. Без ограничения общности будем также считать,

что волны распространяются

по оси г,

так что кинетическое

уравнение

(IV.01) принимает

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df

df

Fx

df

—

Fu

df

Fz

df

(IV.02)

— +

v z — +

—

— H

-

—

+ —

—

= 0 .

dt

dz

m

dvx

 

m

dvy

m

dvz

 

Плоские волны, распространяющиеся по оси z, от х и у не зави­ сят; они могут быть как поперечными, так и продольными. Для про­ дольных волн

^ = ^ = 0, Fz=eEz=-ed-^,

(IV. 03)

где Ф = Ф (t, z) — потенциал продольного электрического поля, удовлетворяющий уравнению Пуассона

^ - = -4ne(\fdv-N),

(IV.04)

в соответствии с первой формулой (1.10); —eN > 0 есть постоянная объемная плотность заряда, обусловленного ионами. В формулах (IV.02) и (IV.04)

f,-f(t,z;vx,vy,vz),

(IV.05

и если

ввести

новую

функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t,

г,

v) =

\ \ f (t, z\

vx,

v„, vz ) dvxd\ryi

v =

vz ,

(IV.06)

 

 

 

 

 

ОС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то для

нее будем

иметь

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

+

, i L

_ J

L

^

i L

 

= 0 )

 

 

(IV.07)

 

 

 

dt

 

dz

 

m

dz

dv

 

 

 

 

которое

является

нелинейным,

поскольку

 

потенциал

Ф сам

зависит

от f согласно уравнению (IV.04).

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

f = f°(v)+f1(t,z,v),

 

 

$

f>dv =

N.

 

(IV.08)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 00

 

 

 

 

 

где N — число электронов на единицу объема (их заряд при отсут­ ствии возмущений полностью скомпенсирован ионами, см. выше).

Пренебрегая

произведением

^

получаем систему

линейных

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

df1

. dp-

е

<ЗФ dfo

Л

 

 

—

+ v -к

 

•

— = 0,

 

 

dt

dz

т

dz

dv

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

=

~4ле \

pdv.

(IV.09)

 

 

 

^

 

-

V

 

Первоначально к решению этой системы подходили формально, с позиций «подстановочного анализа», а именно искали частное реше­ ние этой системы, имеющее вид

z, t)) = R e { g ( u ) e ' ( t e - m f ) } , Ф 0 , z) = Re {Ф0е* <**-«<>}. (IV. 10)

где g (v) — неизвестная функция продольной скорости, а Ф 0 — по­ стоянная, связанная в силу второго уравнения (IV.09) с g (v) со­ отношением

оо

ф о = ї

$ S(v)dv.

(IV. 11)

А *

-00

 

Первое уравнение (IV.09) принимает вид

i(hv~oo)g(o) — -L/Л ф 0 ^ = 0.

(IV. 12)

Оно показывает, что частное решение в виде (IV. 10) существует только, если функция g (v) имеет вполне определенный вид, а именно

dfo °о

g(v) = ^

g(v)dv.

(IV. 13)

hV — 0) J

—оо

В частности, если обе величины со и h вещественны, то функция g (v) обращается в бесконечность при v — a>/h (т. е. при скорости электро­ нов, равной фазовой скорости данной плоской волны), а тогда, во-

оо

первых, интеграл J g (о) dv, строго говоря, не имеет смысла, а, во-

— оо

вторых, функцию f1 нельзя считать малой и при линеаризации пренебрегать произведением ^ - ^ - или, что то же, произведением шФ0

Поэтому при вещественном волновом числе h следует частоту со считать комплексной, а при вещественной частоте со считать комплекс­ ным h. Зависимость между с* и h (характеристическое уравнение) при указанных выше ограничениях получается путем интегрирова­ ния соотношения (IV. 13) по и в виде

 

 

 

 

г*

и

{ v )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 я е 2

і

dv=\.

 

 

 

(IV.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mh

J

hv — со

 

 

 

 

 

 

—oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводя нормированное

распределение

скоростей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

плазменную частоту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(IV. 16)

и

обозначение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и =

и' — ш " = — ,

 

 

 

(IV. 17)

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

можно переписать уравнение (IV. 14)

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

J ^

d

v

=

\,

u p

= ^ .

 

(WAS)

 

 

 

v-—u

 

 

 

1

 

h

 

 

 

 

 

—oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В простейшем случае, когда скорости

электронов

распределены

по

Максвеллу,

мы

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с р ( у ) = — L - e ~ ^ ,

 

t»0

=

i X " — ,

(IV. 19)

 

 

 

У2я

vQ

 

 

 

 

 

V

т

 

 

где k — постоянная

Больцмана, Т — электронная температура, v0

—

средняя квадратичная скорость

электронов

(ср.

с величиной [ о]

в

задаче 1 к 1-й

лекции).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя

тождество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

v—и'—iu"

 

 

 

V —и'4-ій"

(и — и ' ) 2 + (и")2

легко отделяем в уравнении (IV. 18) вещественную часть от мнимой и приходим к двум вещественным уравнениям

°°

dw

<»

d®

(V)

Г

(v-u')-f(v)

 

-f

"•І

\

~—dv

= \, и" \

dv=0

(IV.20)

P

J

(v — « ' ) 2 + ( " " ) 2

J

(V — u ' ) 2 + ("")2

 

для двух неизвестных u' и u", если волновое число h задано и веще­ ственно. Легко видеть, что при и"фО система уравнений (IV.20) решений не имеет, так как в силу второго уравнения (IV.20) первое принимает вид

оо

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

_ Л І

 

 

 

 

«р

 

 

 

dv=

 

p—

\ —

~

 

dv=l,

и мы видим, что

существенно

отрицательная

величина

положитель­

ной (единице) равна быть не может. Если же считать, что и"

=

0, то

возникают трудности, о которых говорилось после формулы

(IV. 13);

кроме того, при

и" = 0 переход

от формулы (IV.12) к формуле

(IV. 13)

неоднозначен, поскольку

в правой части (IV. 13) можно еще

написать

слагаемое

F (со, К) б (v

—

и), где F — произвольная функция;

тогда

уравнение

(IV. 12)

все

же удовлетворится,

а

применение

к

(IV. 13)

интегрирования

по

v

(если

его

произвести,

например,

в

смысле

главного значения

Коши)

вообще

не

дает какой-либо

связи

 

между

со и h, т. е. в данной задаче характеристического уравнения в том смысле,' как мы его пытались ввести выше, вообще не существует.

Положение не изменяется, если первое уравнение (IV.09) за­ менить уравнением

%. + v%-~L

ff=~vf>,

(IV.21)

at

dz

m dz dv

 

где правая часть учитывает соударения (обычно соударения электронов

с ионами), v > 0 — эффективная

частота

соударений. В этом случае

формулы

(IV. 12) — (IV. 14)

останутся в

силе, если со заменить на

со + iv,

а в формулах (IV. 18) — (IV.20)

положить

 

 

,

. „

со +

f v

 

и —и—ш

 

=

,

 

 

 

 

h

 

и подстановочный анализ по-прежнему не приводит к цели.

На недопустимость подобного формального подхода к решению

кинетического уравнения

впервые

указал Л. Д . Ландау, который

дал корректное решение задачи Коши для системы (IV.09), а именно

решил

ее

при

начальных условиях

 

 

 

f1

(0, z, v) = Re {g (v) e'f t z }, Ф (0, z) =

Re {Ф0 e'"2 },

где Ф 0

и

g

(v)

связаны соотношением (IV. 11).

Полученное решение

(см. ниже) показывает, что при заданном вещественном волновом числе h формула

Ф(*. г) = Re {ф2 е < ( л г - ш . 0} + ...

(IV.22)

Смотрите также файлы