Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 307

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

справедлива асимптотически, т. е. для достаточно больших t, причем комплексная частота соь мнимая часть которой определяет затухание переменного электрического. поля и заряда во времени (затухание Ландау), определяется уравнением

d ^

 

 

(IV.23)

—

dv - f 2лі —

(и)

 

v — u

dv

 

 

в котором интеграл берем по вещественной оси и для определенности считаем h > 0. Слагаемые, обозначенные в правой части (IV.22) мно­ готочием, убывают более быстро, чем выписанное, поэтому нужно брать тот корень уравнения (IV.23), который соответствует минималь­ ному значению и".

Уравнение (IV.23) также можно назвать характеристическим, но, разумеется, в ином смысле. Благодаря дополнительному слагае­ мому 2лі ^ (и) это уравнение уже имеет комплексные корни. Иначе это уравнение можно записать в виде

d®

 

К

\ —

d v = l ,

(IV.24)

 

 

с

 

 

 

где контур С

охватывает точку

v снизу

и в основном

проходит по

вещественной

оси.

 

 

 

 

К уравнению (IV.24)

естественным

образом приходим, решая

сформулированную выше задачу Коши. Вводя новые функции (ком­ плексные амплитуды) с помощью полубесконечных интегралов Фурье

 

оо

 

оо

 

Z1 (со, г,

v) =-- \ &ш f1 (t, z,

v) dt,

Ф (со, z) =

\ е ш

Ф (t, z) dt,

 

о

 

0

 

 

ш должны в

этих интегралах

считать

I m c o X )

для

обеспечения их

:ходимости. Кроме того, в силу начальных условий можно положить,

гто зависимость

этих

функций

от

z

 

определяется

 

множителем

•Jhz(h>0).

Умножая

оба

уравнения

(IV.09)

на

е ш

и

интегрируя

з пределах

0 < t <

со, в силу

соотношения

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

j е'ш '

(t,

z,

v)dt=

—

fl

(0, z,

v)

—

m

j

е ш

f1 (t,

z,

v) dt

0

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

получаем уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

(hv — со) Z1

— — іпФ

^

=

g

(D)t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

dv

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

I А

J

'

 

 

OO

для новых функций /х и Ф (комплексных амплитуд). Находя / х из первого уравнения и подставляя во второе, получаем выражение

оо

dv

v — и

ф=

оо

 

 

 

 

 

4 л е 2

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

mh2

V

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

где и = со/n,

Іти > 0, поскольку

мы

считаем h

 

положительным

a

Imco >- 0.

 

 

 

 

 

2), получаем

 

 

 

Обращая интеграл

Фурье для Ф (to,

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

(<т>0)

 

которое удобно исследовать, деформируя контур

 

интегрирования

вниз, в полуплоскость

Imco < 0 ( 1 т ы < 0

при

tt>0).

При этом подын­

тегральную функцию,

в частности ее знаменатель, надо продолжать

аналитически, т. е. заботиться о том, чтобы

контур

интегрирования

в

плоскости

v,

который

первоначально

проходил

по

вещественной

оси, т. е. ниже

точки

и,

по-прежнему

охватывал

эту

точку снизу;

это значит, что при l m u < 0 интегрировать в плоскости и надо по кон­

туру С, фигурирующему в формуле (IV.24). При достаточно больших

положительных

t функция

Ф (г, z) сводится

к вычету в

точке СО і,

где со і — ближайший к

вещественной

оси

нуль знаменателя функции

Ф (со, г), и мы

получаем

формулу

(IV.22)

и

уравнение (IV.24).

Если

исходить из уравнения

(IV.21),

то

опять

нужно

заменить

со на со +

iv и и на (co-f- iv)lh,

и

тогда

уравнение

(IV.24)

будет по-

прежнему

справедливым.

Обозначая

через

«о — JCOQ

решение

этого

уравнения

при v = 0 и через со^ — I ( ° v —

решение при

v >

0,

будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COv

=

СОо,

COv =

СОо

+

V .

 

 

 

 

Поэтому при использовании уравнения (IV.21) точка и опять-таки будет ниже вещественной оси, и в характеристическом уравнении (IV.24) нельзя контур С заменять вещественной осью, как это делается в подстановочном анализе.

Ситуация изменяется, если функция ср (v) такова, что уравнение (IV.24) имеет корень 1гпсо>0, соответствующий нарастающим колеба­ ниям. Тогда надо брать о > Imco, поскольку при о ^ Imco исходный интеграл для Ф (со, г) расходится. Вместе с тем, в уравнении (IV.24) можно вместо С взять вещественную ось, и оно совпадает с уравнением (IV.18), а уравнение (IV.23) неприменимо. Таким образом, для нара­ стающих колебаний подстановочный анализ случайно приводит к пра­ вильному результату. Впрочем, быстрое нарастание колебаний обычно происходит при таких условиях, когда распределением скоростей можно пренебречь и подстановочный анализ применим (см. ниже)-

Чтобы облегчить исследование уравнения (IV.24), введем без­ размерные величины

и опуская значки «~», перепишем уравнение (IV.24) в виде

 

 

 

 

•7=

 

 

 

dv=\.

 

 

(IV.26)

 

 

 

 

1 / 2я

 

 

 

 

 

 

 

Если обозначить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (")=—,—

\

I

dv,

 

(IV.27)

 

 

 

 

 

У 2 я

^

 

 

 

 

 

то

интегрирование по частям

дает

 

 

 

 

 

 

— ( " ) =

— z z

 

dv =

—

\

 

dv,

 

du

 

т / 2 я £ (v — u)2

 

 

т / 2 я J

v и

 

и

далее, заменяя

v на

v—u + u,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

— 1— u f ( u ) .

 

 

(IV.28)

Из определения

 

(IV.27)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H m f ( « ) = - ^ =

n / ( I V . 2 9 )

 

 

 

«->o

 

^ 2 я

 

К

2

 

 

так как интеграл (IV.27) сводится при « - > 0 к

половине вычета в точке

v

= 0. Поэтому

в общем решении уравнения

(IV.28)

 

 

 

 

F(«) = e - " V 2 ^ C O ns t

— jje'V*

dxj

(IV.30)

надо положить

const = г |^л./2 или же взять

 

•

 

 

 

 

 

 

 

І оо

 

 

 

 

 

 

 

f

(U) =

e-"V2

jj e**/2rfT.

 

 

(IV.31)

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

Уравнение (IV.26) можно

теперь

переписать в виде

 

 

 

 

 

l+uF(u)

= -

± .

 

 

(IV.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

" Р

 

 

 

Проще всего его решить при ир > 1, считая неизвестную величину и также большой по абсолютной величине. Из выражения (IV.31) интегрированием по частям получаем асимптотическое раз­ ложение

F ( u ) = _ ( _ L + J _ + 4 +

(iv.33)

при подстановке которого в уравнение (IV.32) находим

" 2 = " Р ( 1 + 4 - + • • • ) . со2 = ш ^ 1 + А + . . . j ,

( I V . 3 4 )

т. е. чисто вещественные значения и и сор вследствие того, что по фор­ муле (IV.33) при вещественных и всегда получаются вещественные значения F (и). Однако на самом деле в силу соотношения

і оо

и

і оо

и

>

 

5 Є*'/2 dt =

— J e*V2 dx + J

et'/2 = — J e*V2 dx + і \ /

— ,

и

0

0

о

Г

2

 

 

 

 

 

мы при вещественных

и имеем мнимую часть

 

 

 

 

Im/"(") =

] / " | е - « ' / 2 ,

 

(IV.35)

экспоненциально малую по сравнению с вещественной частью

(IV.33).

С учетом поправочного слагаемого (IV.35) уравнение (IV.32) принимает вид

1'1 + - + " H i / l - - " " ' - i

иуже не удовлетворяется вещественными значениями и. Переписав его в виде

можно решать его методом

итераций, считая в первом приближении

и = ± « р ; тогда во втором

приближении

получаем

 

 

 

(IV.36)

Мнимая часть и в силу условия ир > 1

получается экспоненциаль­

но малой — она мала не только по сравнению с и',

но и по сравнению

с погрешностью выражения, полученного

для и'.

Тем не менее, от­

личие и" от нуля имеет важное значение: колебания затухают с те­ чением времени, несмотря на отсутствие столкновений и иных дис-

сипативных

процессов.

ир

 

 

 

 

 

 

При

уменьшении

коэффициент

затухания

увеличивается.

Если

выполняется

противоположное

условие

Up •С 1, то

правая

часть

(IV.32)

велика,

и поскольку левая

часть

есть

целая

функция

и, это возможно лишь

при условиях

 

 

 

 

 

 

 

 

е~"2 /2 »

1,

е"'/2 « 1,

U" »

1,

U">U',

 

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і'ос

 

 

і оо

 

 

—І оо

 

 

и'/2

 

 

^ e^2dx=

 

jj e^/2dx+

 

jj e*42dx = if2n

—

 

+

 

U

 

—і оо

 

 

U

 

 

U

\

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

303

Смотрите также файлы