Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 305

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и уравнение (IV.32)

принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-и*/2

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(IV.37)

 

 

 

 

 

 

1/2JT U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При очень малых ир

это уравнение

можно

решить,

предполагая,

что

тогда

 

 

« " » « ' ,

 

« ' « 1 ,

 

 

 

 

 

 

(IV.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и величину и" мы находим,

решая

 

вещественное

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

U

=

V 2 In У 2 я ы2

и"

(IV.39)

 

 

 

 

 

а

величину

ы —из

соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и ' и ' = ± я .

 

(IV.40)

 

 

 

 

 

 

 

В

промежуточных

случаях,

 

 

 

 

 

когда

ир

конечно

или

мало,

но

 

 

 

 

 

величина и", вычисленная по вто­

 

 

 

 

 

рой

 

формуле

(IV.39),

невелика

 

 

 

 

 

(если

под знаком

логарифма

в ка­

 

 

 

 

 

честве

нулевого

 

приближения

 

 

 

 

 

взять ц"-^Л), соответствующее зна­

Рис. IV . 1. Затухание

Ландау

(схе­

чение

 

комплексной

 

величины

и

можно

найти

лишь

численным

ме­

матически). Линии

/

соответствуют

тодом. Для

нас

является

сущест­

формуле

(IV.36), линии 2 — форму­

венным

лишь

то

обстоятельство,

лам (IV.39)

и (IV.40).

 

также

конечна,

т. е. затухание

что

при конечных

ир

величина и"

колебаний

в общем

случае

не

яв­

ляется исчезающе малым эффектом; при малых ир колебания фак­

тически отсутствуют, вместо

них мы имеем почти апериодический

процесс.

 

 

 

 

Зависимость и" от и'

изображена на нижней половине рис. I V . 1 .

Отметим, что безразмерная величина ир

согласно формуле (IV.25)

может быть представлена

в

виде

 

 

 

hva

J_

а =

(IV.41)

 

ha

 

 

 

где а — радиус Дебая (см. также задачи 1 и 2 к 1-й лекции). Большие значения ир соответствуют малым ha, тогда можно пользоваться формулой (IV.36), согласно которой затухание экспоненциально мало. При увеличении ha затухание быстро возрастает.

Если переписать формулу

(IV.36)

в виде

 

со =

± со

—

(ha)2

е 2 (Ла)2

(IV.42)

 

 

2

v

F

8 (Ла

 

то можно отметить,

что при а -> 0, т. е. при о0 -> 0 [холодная

покоя­

щаяся плазма,

функция cp (v) сводится

к дельта-функции б (у)], будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

± Юр,

 

т. е. любые неоднородности в плазме приводят к колебаниям с часто­ той сор, при этом неоднородности сохраняют свою форму. Например»

если

при

t =

О сместить

часть

электронов нейтральной

плазмы из

слоя

1

в слой 2 (см.

рис. IV.2), то

в слое 1 воз­

 

 

 

 

никнет

избыточный

положительный,

а

в

слое

1

 

2

 

2 — избыточный

отрицательный заряд. Электро­

+ +

 

 

ны

в

слое

2

притягиваются

положительными

+ +

 

 

зарядами

слоя

1

и

через промежуток

 

времени

 

 

я/2сор нейтрализуют

их, однако

благодаря инер-

 

 

 

 

ции

электронов

еще

через промежуток

я/2 сор

+ +

 

 

в слое 1 будет избыток

отрицательного, а в слое

 

 

2 — избыток

положительного

заряда,

 

а

в мо­

+ +

 

 

мент

/ =

2я/сор

восстановится

первоначальное

 

 

распределение заряда. Этот результат принад­

 

 

 

 

лежит

Лэнгмюру

(1928

г.), поэтому

сор

часто

IV.2.

Заряжен­

называют

частотой

Лэнгмюра.

 

 

 

 

Рис.

 

Вследствие

распределения

скоростей

воз­

ные слои.

 

 

 

 

 

 

никает

дисперсия, т. е. со зависит

от

h.

Если

 

 

 

 

ширина d слоев,

изображенных

на

рис.

IV.2, велика

по

сравне-

нию

с

радиусом

Дебая

а, то

согласно

вещественной

 

части

со па

формуле

(IV.42)

наряду

с колебаниями

происходит медленное

рас-

плывание слоев: первоначально резкие границы заменяются плав­ ными переходами, ширина слоев увеличивается и они перекры­ ваются. Дисперсия, обусловленная тепловым движением электро­ нов, была впервые найдена А. А. Власовым (1938 г.). Закон дисперсии

 

=

dco'

фазовой

таков, что групповая скорость волны v

-тг связана с ее

 

dh

^

скоростью соотношением v/u' » 3 (ha)2 «

 

1, т. е. групповая

скорость

весьма мала.

 

 

 

Наконец, имеется еще затухание колебаний, найденное Л. Д . Лан­ дау (1946 г.). Это затухание приводит, в частности, к тому, что слои (рис. IV.2), толщина которых мала или сравнима с радиусом Дебая -а, быстро рассасываются, не успев совершить большого числа колеба­ ний, благодаря своеобразному механизму взаимодействия электронов с полем, физическое рассмотрение которого будет дано ниже.

Обобщим теперь формулу (IV.36) на случай произвольной функ­ ции ер (у). Для этого переместим контур интегрирования с веществен-

ной оси на прямую \mv = — и"; тогда уравнение (IV.24) примет вид

(v — iu")

 

 

(IV.43)

v — и'

dv

1,

 

 

причем это уравнение годится, в противоположность уравнению (IV.23), при любом знаке и"; интеграл берется в смысле главного з іачения Коши. При достаточно малом значении и" мы можем положить

d(f

=

dcp

^.(v)-iu"-m-(v),

^(v-iu")

dv

dv

 

dv2

тогда комплексное уравнение (IV.43) разобьется на два вещественных уравнения

dcp

—И

dv + пи —— (и)

v — и'

dv2

dcp

гіф

dv

л —dv ( « ' )

(v)

Ф ( у)

dv2

- do

dv

(у — и ' ) 3

v—и

 

(IV.44)

(IV.45)

В уравнении (IV.44) малым слагаемым, пропорциональным и", можно пренебречь, и тогда оно определяет и'. Преобразовывая его интегри­ рованием по частям к виду

<P(f) •dv=l,

(IV.46)

(v—u'

мы можем приближенно решить его, если величина и' велика по срав­ нению с характерными скоростями, входящими в нормированное рас­ пределение ф (v). Тогда

Ф(р)

 

 

оо

 

 

 

dv

_ ; ! І

Г , ( 0 , ( 1 + 2 І + 3 £ + . . . ) Л , =

(v — u')

 

 

 

 

 

 

 

 

, ' 2

• 2 ^ + 3 ^ + . . . ,

 

 

 

 

 

/2

 

где v — средняя скорость

электронов,

v2—средний

квадрат скорости.

Таким образом

мы приходим

к

уравнению

 

 

« '

= ± «

, j / 1 +

2 ^

+ 3 - ^ +

... ,

которое легко решается методом итерации и в частном случае рас­ пределения (IV. 19) приводит к первой формуле (IV.36). При тех ж е условиях, в частности при выполнении неравенств

 

 

 

 

 

и' »

7,

 

и' »

Vtf

,

 

 

 

формула

(IV.45)

в

первом

приближении

дает

 

 

 

 

„• «

 

_

JL и'* f

(„О = +

JL ul f-

(±

uv),

(IV.47)

 

 

 

 

2

 

dv

 

 

2

dv

 

 

 

где мы положили

 

и'

=

±ир.

 

 

 

 

 

 

 

Величина Ф1

в формуле (IV.22) определяется как удвоенный вычет

интеграла

для Ф (t,

z) в одном из корней

уравнения (IV.24),

скажем

в том, у

которого

и' >

0.

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сю

g(v)

 

 

Але

оо

 

 

 

 

 

 

 

4 яе

р

 

 

Г*

g - (f )

dv

 

 

 

 

 

h2

J

u - u

do

— -

і

 

 

 

 

 

 

 

rt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d/°

 

 

 

Г

fo(v)

 

 

 

 

 

„

,

і

—

 

.,

4 я е 2

rfp

 

 

 

 

2ле2

і

dv

 

 

\

v '

 

 

 

 

mft2

J (о— и) 2

 

—oc

 

 

 

Делая здесь те же аппроксимации, что и при выводе формулы (IV.47), и используя соотношение (IV. 11), мы получаем, что Ф Х « Ф 0 , т. е. слабое экспоненциальное затухание (или нарастание, см. ниже) колебаний зарядов и полей устанавливается практически сразу же, без какого-либо переходного периода. Это значит, что многоточие в правой части (IV.22) имеет чисто символическое значение; фактически оно существенно лишь при больших затуханиях, когда наряду с кор­

нями, найденными выше,

существуют и другие корни, для которых

в соотношении (IV.40)

+ я

надо заменить на + 3 я ,

± 5 я , . . .

Это обстоятельство позволяет дать формуле (IV.47) четкую фи­

зическую

интерпретацию. Прежде

всего надо учесть, что при линеа-

 

 

 

 

*

ЗФ df1

ризации

кинетического

уравнения

мы пренебрегли

членом - g z ^ y

т. е. влиянием переменного поля на возмущенную функцию распреде­

ления.

Это переменное поле имеет потенциал Ф, заданный

в виде

бегущей

волны

 

 

Ф =.- Re {Ф0е< ( А * - » ' * ) } = Re {Ф0е<" <*-«'<)}

(IV.48)

и дает нам (см. 7-ю лекцию) периодическую последовательность по­ тенциальных ям. Эти ямы неглубокие (линейная теория, малые ампли­ туды!), но они способны захватить электроны, синхронные с волной» у которых скорости заключены в пределах

u'—Av<v<u'+bv,

Д и = і / — | е Ф „ | .

(IV.49)

у т

Будем для определенности считать и' > 0. В системе координат, дви­ жущейся вместе с волной, скорости частиц при отражении от стенок

потенциальной ямы лишь изменяют свой знак, в исходной же системе координат частицы, у которых и > и', уменьшают свою кинетическую

энергию, а частицы, у которых v < и', — увеличивают. При ^ {и') <. <С 0 число ускоренных частиц превышает число замедленных, по­ этому волна затухает во времени, при ^~ (и') > 0 частицы «подпиты­ вают» волну и она нарастает. Последняя возможность реализуется,

например,

для

функции

 

 

 

 

Ф(0)

=

1 Є ^ 01

4 — Є

2 с о 2

Єх + 8

а = 1, (IV.50)

 

 

 

 

 

1 / 2 я

у 0 1

и 0 2

 

 

 

соответствующей смеси двух электронных газов с разными температу­ рами и разными средними скоростями Vy и v2. Если функция (IV.50) — двухгорбая, то в ней возможно нарастание волн во времени, т. е. данная система может быть неустойчивой; это будет показано для частного случая исчезающе малых величин v01 и v02.

Чтобы дать более детальную физическую интерпретацию формулы

(IV.47), вычислим величину

где Wk—кинетическая

энергия

электронов в цилиндре с единичным основанием и высотой 2л/h (дли­ ной волны) по оси г. Вводя относительную скорость до = v — и' и предполагая для простоты, что частица в потенциальной яме движется равномерно и в точке поворота («при ударе о стенку») изменяет скорость до на — до, мы будем иметь

 

 

 

 

 

Да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

—

J

ти'

w\w\f°{u'

+ w)dw,

 

 

 

(IV.51)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— mu'w

— -~\iu'

 

— wf—(«'

+

^ ) 2 l

 

 

 

 

есть приращение

кинетической

 

энергии

электрона

со

скоростью

до в результате его отражения, а |до| /° («'

+ до) dw—число

электронов

со скоростью в интервале (до, w + dw),

испытывающих

за

единицу

времени отражения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ввиду малости

До мы можем

положить

 

 

 

 

 

 

 

/°

(u'

 

+

w)=f°

 

(«')

+ —

(«')

w

 

 

 

 

и получить

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ас

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dWh

 

, d/°

,

 

 

, ,

,

,

 

, dfa

,

(Д&)4

 

 

Л

 

С

 

 

я —

-ти—(и)

 

 

 

\ wi\w\dw=—ти

—

 

(«)v——

 

<#

 

dv

 

 

 

J

 

 

 

 

dt>

 

 

 

 

или

 

 

 

 

—Ac

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ = _ 2

£ ! Ц

' ^ _ (

Ц

' )

| Ф 0

| 2 =

_ _ ^,2 _ ^ І Ф ( и 0

. ф

,2.

( I V . 5 2 )

d^

m

dv

2n

dv

Смотрите также файлы