Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Обозначим через W энергию волны в том же объеме; тогда в начальный момент

Сравнивая формулы (IV.47) и (IV.53), видим, что они отличаются

положений, сделанных при выводе формулы (IV.51). На самом деле захваченные частицы движутся иначе, и, кроме того, незахваченные дают небольшой вклад в затухание. Тем не менее этот вывод показы­ вает, что затухание необходимо с физической точки зрения, и вместе с тем позволяет предвидеть некоторые нелинейные эффекты.

Из проведенного рассмотрения ясно, что электроны, захвачен­ ные волной, совершают в соответствующей потенциальной яме колеба­ ния, период которых зависит от их начальной скорости и, лежащей в интервале (IV.49), и, разумеется, от амплитуды волны, которая может

m

для других захваченных частиц период несколько больше и движение подобно колебаниям математического маятника с большой амплитудой.

от произведения со "Г. Если со "Г <^ 1, то в момент t = Т амплитуда волны будет почти такой же, как и при t = 0, а относительная ско­ рость ш- изменит свой знак. При тождественности периода колебаний всех захваченных электронов к моменту t = 2Т произошло бы полное восстановление начальной амплитуды волны. Из-за разброса периодов нарастание в интервале Т < t < 2Т должно происходить медленнее,

скольку функция распределения и поле приобретают большое число гармоник.

Если начальная амплитуда достаточно мала и выполняется противоположное условие (£>"Т ^> 1, то волна успеет затухнуть раньше, чем начнут проявляться нелинейности, и оставит после себя электроны с возмущенной функцией распределения.

Если же по формуле (IV.47) получается со" < 0, то это значит, что исходное распределение скоростей /°(у) неустойчиво и начальное возмущение заданного типа экспоненциально нарастает со временем. Ясно, что в этом случае возникают нелинейные эффекты, которые кладут предел нарастанию возмущений. К сожалению, и здесь ана­ литические методы оказываются малоэффективными, а численные

являющееся алгебраическим уравнением 2и-й степени относительно неизвестной величины и, определяемой формулой (IV.17). Это урав­ нение имеет 2п корней ui, и2, ... и 2 П — 1 » " г п . которые для заданного значения h дают 2п возможных частот, соответствующих малым коле­ баниям данной электронной системы, состоящей из п бесконечных и однородных потоков, каждый из которых движется вдоль оси Z со скоростью Vj. При п = 1 уравнение (IV.58) имеет решение

то комплексные корни появляются комплексно сопряженными парами, например

достаточно велика, то это уравнение имеет 2п вещественных корней (сплошная горизонталь на рис. IV.3); если же правая часть (IV.58)

Рис. IV.3. К решению уравнения (IV.58).

Какие обстоятельства благоприятствуют неустойчивости? Сог­ ласно формуле (IV. 18) мы имеем

( , v - 6 1 >

поэтому при данном распределении скоростей (IV.56) неустойчи­ вость появляется как при достаточно больших сор (т. е. при достаточно больших плотностях пучка), так и при достаточно малых волновых числах h. Первое физически понятно: поскольку неустойчивость обус­ ловлена электростатическим взаимодействием электронов, имеющих различные скорости, увеличение суммарной плотности пучка спо­ собствует появлению неустойчивости, а дальнейшее увеличение плот­

потоки, у которых две соседние скорости весьма близки: например,

сопряженных корней. Разумеется, при сближении скоростей надо следить за тем, чтобы разброс скоростей оставался малым по сравнению с разностью соседних скоростей, в противном случае пренебрегать разбросом и брать ср(и) в виде суммы дельта-функций (IV.56) нельзя.

Например, для распределения (IV.50) пренебрежение разбросом ско­ ростей можно считать разумным при условиях

скоростей становится одногорбым, то возможно только затухание, которое вычисляется по формуле (IV.47); для двухгорбого распреде­

п

(IV. 63)

и анализировать так же, как это было сделано выше. Наличие комплек­ сно сопряженных значений h указывает на то, что возмущения с час­ тотой со, создаваемые, скажем, при 2 = 0, нарастают в пространстве. При vj > 0 данная система является простейшей моделью электрон­ но-волновой или (при п = 2) двухлучевой лампы, которая, как пока­

в модуляцию пучков и квазистатическое поле пространственного заряда и обратное преобразование модуляции пучков и квазистати­ ческого поля в выходной сигнал осуществляются специальными уст­ ройствами, которые по существу представляют собой короткие от­ резки ламп с бегущей волной. Мы не будем входить в детали, поскольку эта система интересует нас лишь с принципиальной точки зрения.

Таким образом, подстановочный анализ, в котором решение системы линейных (точнее линеаризированных) уравнений предпола­

полное решение задачи Коши. Если же данную систему рассматри­ вают как усилитель и находят комплексные значения h, то надо еще произвести дополнительное физическое или математическое исследова­ ние, чтобы установить, в каком направлении распространяется волна с данным значением h. Обычно это исследование является достаточно простым. Так, например, в теории лампы с бегущей волной такое ис­ следование даже не производилось, поскольку ясно, что нарастающая волна распространяется в ту же сторону, в какую распространяются волны пространственного заряда и волна в линии, при взаимодействии которых эта волна возникла. К сожалению, так просто дело обстоит