Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 301

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

не во всех случаях, однако от дальнейших уточнений мы здесь воз­ держимся.

Вместе с тем, для электронов, имеющих непрерывное распределе­ ние скоростей, подстановочный анализ оказывается непригодным, и необходимо каждую задачу (например, задачу Коши, задачу о рас­ пространении возмущений, заданных при z — 0, в полупространство г > 0 и т. д.) решать отдельно. Хотя в математическом отношении при этом возникают значительные усложнения, физическая интерпре­ тация получаемых результатов, в частности формулы (IV.47), ока­ зывается довольно простой и наглядной. Такой наглядности не удается достичь в линейной теории лампы с бегущей волной или двухлучевой лампы: там, пренебрегая разбросом начальных скоростей, мы можем сколь угодно тщательно разбирать фазовые соотношения при взаимо­ действии отдельных элементов системы, однако окончательный вывод об устойчив.ости или неустойчивости, затухании или нарастании можно сделать только на основании характеристического уравнения, причем четкой физической интерпретации этого вывода дать обычно нельзя.

Уточним условия, при которых функцию распределения можно заменить суммой дельта-функций. Беря вместо функции распределения (IV.56) аналитическую функцию (IV.50), мы вместо уравнения (IV.32)

получаем

уравнение

 

 

 

 

 

2

Г{ + и — Lv fІ\

 

 

 

 

2 TrV1

/и

— -)Vj\ = - 1 '

(IV-64)

в котором

F — т а же самая функция

(IV.27) и (IV.31), а

 

 

а, =

-1— ,

и =

— .

(IV.65)

 

•

<ор Уё7

 

h

 

Если функцию F заменить двумя первыми членами асимптотического разложения (IV.33), то получится уравнение (IV.58) при п = 2. Условия применимости уравнения (IV.58) имеют поэтому вид

У о і € | « — o 0 2 « | u — vt\

(IV.66)

и дополняют условия (IV.62), выписанные выше. При условиях (IV.66) учет экспоненциально малых поправок к разложению (IV.33) может иметь значение лишь для вещественных корней уравнения (IV.58), а для комплексных корней с конечной мнимой частью учет этих попра­ вок не имеет смысла, так что тонкости, связанные с обходом особой точки v = и в контурном интеграле, становятся несущественными.

Учет распределения скоростей облегчает физическую интерпре­ тацию неустойчивости в двухлучевой лампе и аналогичных системах.

Чтобы показать это, перейдем к системе

координат, в которой один

из пучков, скажем первый, покоится

(vi

= 0), и примем во внимание

закон дисперсии

 

 

©* = (о*11

+3(haf],

выведенный для колебаний в таком пучке [см. формулу (IV.34) L Согласно этому закону волновое число h связано с частотой со со­ отношением

У со2 —со2 6J Ш

где

 

Уз f o i Г

« 2

(IV.68)

 

 

можно назвать показателем преломления продольных

волн в 1-м

пучке (который

мы рассматриваем как

покоящуюся

электронную

плазму). Этот

показатель преломления

может быть

вещественным

и существенно превышать единицу, так что электроны 2-го пучка,

пролетающие через

1-й пучок со скоростью

| & а — U i | . < C c ,

могут

вызывать черепковское

излучение продольных

волн в плазме,

подчи­

няющееся тем же кинематическим соотношениям, что и черенковское излучение поперечных волн в диэлектрике (см. 1-ю лекцию). В част­ ности, формула (1.63) в данном случае принимает вид

cos * = 1 . (I V.69)

У з а 0 1 V

Однако в отличие от индивидуального излучения электронов' рассмотренного в 1-й лекции, плоские волны, подчиняющиеся урав­ нению (IV.64), возникают как результат коллективного черенковского излучения обоих пучков в направлении движения электронов (т. е. в на­ правлении г} = 0, если Vi > 0 и и 2 > 0). Если к тому же уравнение (IV.64) имеет комплексные корни, то это значит, что под влиянием поля излучения первоначальная модуляция пучка может нарастать, и вместе с нею нарастает и когерентное излучение пучка (или инду­ цированное излучение, поскольку излучающие сгустки сформированы самим полем).

Для полноты рассмотрим также индуцированное черенковское излучение поперечных волн. В изотропной плазме такое излучение невозможно, поскольку показатель преломления для поперечных волн

п = \ / l _ - ^ f - < l .

( I v - 7 ° )

V

со2

 

Поэтому возьмем диэлектрик с показателем

преломления

л =

/ ё £ > 1 ,

(IV.71)

с тем чтобы можно было пользоваться нерелятивистским уравнением движения. Представим себе, что диэлектрик пронизывается бесконеч­ ным электронным пучком, плотность р е < 0 и скорость ve > 0 кото­ рого постоянны; скорость ve направлена по оси z, причем электроны могут двигаться лишь в направлении оси z.

Исследуем теперь возмущения пучка, обусловленные электри­ ческим полем, составляющие которого имеют вид

 

£ з с = Ле'<в*+А г >,

£ „ = 0, £ г = .8 е ' ( I V . 7 2 )

где А

и В — постоянные. Такое поле создает переменную

плотность

тока,

имеющую единственную

составляющую j z , которая

пропорцио­

нальна Ег и определяется соотношением (6.13). Переменная плотность

тока в свою

очередь

порождает

электрическое

поле,

составляющая

Ег

которого

связана

с \ г уравнением

 

 

 

 

A ( £ z + (£2 eu.— h2)Ez

= ^(k2ea—h2)jz,

 

(IV.73)

 

 

 

 

те

 

 

переходящим

при е = fx = 1 в уравнение (а) задачи

2 к 6-й лекции

и

выводимым так же. В данном случае уравнение (IV.73) приводит

к

соотношению

 

 

 

 

 

 

(k2evL—g*—h2)Ez=—(k2e\i—h2)

j z ,

 

 

 

 

 

ІШЄ

 

 

которое вместе с соотношением (6.13) дает характеристическое урав­ нение

 

( & 2 е ц ~ g2~

h2)(h

—

he)2=

-?-(k2e\x—h2);

(IV.74)

его можно

преобразовать,

вводя

обозначения

 

 

hs= Yk2eix~g2,

 

h q = ^ = ,

(IV.75)

к виду

 

 

 

 

 

 

 

(h2~h!)

[(h-he)2~h%]

= ~h\g2.

(IV.76)

Физический

смысл величин

(IV.75)

очевиден: h s — продольное (по

оси z) волновое число волны (IV.72) в отсутствие электронного пучка, h q — плазменное волновое число в диэлектрике. Уравнение (IV.76) — четвертого порядка, один из корней которого (назовем его fo4) близок

к — h s , если

rts>/ig;

более

точно

этот

корень

определяется вы­

ражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hlg2

•

(IV.77)

 

 

h i = - h a

+ 0 h

; *

 

 

 

2hs

(hs +

he)a

 

Три остальных корня уравнения (IV.76) можно найти, решая уравнение

(h-h,)l(h-he)'-hl]=

 

 

-

h2g2

 

 

 

h+h.

 

h2g2

h — h,,

, (

h— h

2

 

2hs

2hs

\

2hs

1

1

 

 

 

 

Оно приводится к кубическому

уравнению

h2 „ 2

 

 

 

 

 

 

 

( А - А,) [ ( А - А /

- Г (А) А*] = -

,

(IV.78)

 

 

 

2А,

 

 

в котором

 

 

 

 

 

T(h)=-l + ~ ^ - - 8

2 { h - ' l s ) + ... .

 

(IV.79)

(2ft,)2

(2Л,) 3

^

v

;

где единица есть квазистатический коэффициент депрессии, а допол­ нительные слагаемые — динамические поправки к нему (см. прило­ жение V) .

Уравнение (IV.78) подобно уравнению (6.58), и к нему применимы все соотношения, полученные в 6-й лекции и задачах к ней. В част­ ности, коэффициент связи К, введенный в задаче 8, для данной сис­ темы равен

К

= І = ь* *' , >

(IV-80>

 

"s

k2 Є(Л — g2

 

и если ввести угол ft с помощью соотношений

(см. рис. 1.2)

hs = k Yeii

cos ft,

g = kYe[isinft,

(IV.81)

TO

 

 

 

 

K = tg2-t>.

(IV.82)

Физически этот результат понятен: с электронным пучком может быть связана лишь наклонная поперечная волна, у которой й ^ = 0 и

Ez¥=Q', угол ft должен удовлетворять условию cos ft ^> \1п, посколь­

ку ve < с.

 

Построив линейную теорию данной системы, мы убедились в том,

что эта теория практически совпадает

с линейной теорией лампы

с бегущей волной. Вместе с тем видно,

что поле (IV.72) представляет

собой в сущности одну из образующих конической волны в излучении

Вавилова — Черенкова. Полную

коническую

волну мы получим,

взяв пучок с конечным поперечным сечением;

при этом, разумеется,

уменьшится и коэффициент связи

К.— он будет тем меньше, чем

тоньше пучок, а кроме того, появятся потери на излучение.

Если согласно характеристическому уравнению возможна на­ растающая волна (1гпА-<0), то ее излучение оказывается гораздо сильнее, чем излучение волны, в которой первоначальная модуляция пучка не усиливается. Как при усилении, так и при отсутствии уси­ ления поле (IV.72) возникает в результате когерентного (индуциро­ ванного) черенковского излучения, но возможность получить усиле­ ние является фундаментальным свойством индуцированного излучения.

Вернемся к взаимодействию электронов, движущихся с различ­

ными скоростями. Насколько можно судить по результатам,

полу­

ченным при решении

конкретных задач (см. также

приложения

I I и

I I I ) , неустойчивость

в электронных потоках возникает и развивается

так, чтобы сравнять

разные, но близкие скорости. Однако простого

сглаживания скоростей (например, в однопоточном

состоянии

маг­

нетрона или в интервале (IV.49), где электроны захвачены волной)

316

не происходит, поскольку развитие неустойчивостей приводит к коле­ бательным режимам. Точно так же не происходит простой нейтрали­

зации зарядов (рис. IV.2), а

возникают колебания.

С такими колебательными

режимами приходится постоянно иметь

дело в электронике сверхвысоких частот. Один из старейших и важ­ нейших электронных приборов—магнетрон — в течение многих деся­ тилетий ставил перед исследователями одну загадку за другой. В на­ стоящее время теорию магнетрона без учета пространственного заряда можно считать законченной, в теории магнетрона остались лишь проблемы, так или иначе связанные с пространственным зарядом. Однако эти проблемы имеют весьма широкое значение. Чтобы пока­

зать

это, отметим

следующее:

 

 

1) четкой физической картины кипящего

электронного

облака

в негенерирующем

(запертом) магнетроне мы

в сущности не

имеем;

2) теория начального этапа генерации магнетрона в настоящее

время

отсутствует

(см. конец приложения I);

 

 

3) нестабильность язычков качественно понятна (конец прило­

жения

I I I ) , однако количественной связи между пульсациями

в языч­

ках и побочным излучением магнетрона до сих пор установить не удалось.

Кажется довольно естественным, например для исследования кипящего электронного облака, применить функцию распределения / (t, г, v) и кинетическое уравнение для нее. При этом функция рас­ пределения возникает не потому, что эмиттированные катодом элект­ роны имеют разброс начальных скоростей, а в результате развития неустойчивостей. Как показывают опыт и машинные расчеты, в облаке возникает разброс скоростей, на много порядков превосходящий раз­ брос начальных скоростей.

Однако применение функции распределения и кинетического уравнения к подобным задачам наталкивается на серьезные трудности. Дело в том, что аналитическое решение кинетического уравнения возможно лишь в линейном приближении и лишь при чрезвычайно идеализированных предположениях (плоская волна в однородном электронном газе и т. п.), а методы численного решения разработаны мало. По существу, решать кинетическое уравнение надо, следя за укрупненными частицами и параллельно вычисляя создаваемое ими поле (см. 1-ю и 10-ю лекции), причем приходится брать укрупненные частицы с различными скоростями. В подобных исследованиях чрез­ вычайно важно уметь отделять истинные флюктуационные и пульсационные эффекты, соответствующие физической действительности, от флюктуации и пульсаций, вызванных аппроксимациями при под­ готовке и проведении вычислений.

В заключение остановимся на двух принципиальных вопросах, которые при ближайшем рассмотрении оказываются тесно связанными друг с другом и с проблемой численного моделирования электронного облака. Первый вопрос относится к кинетическому уравнению (1.09): при каких условиях совокупность электронов можно рассматривать как электронный газ (в усредненном электромагнитном поле) и применять к нему кинетическое уравнение в полном виде или же

Смотрите также файлы