в упрощенном виде (IV.01), т. е. без учета столкновений электронов друг с другом? Второй вопрос относится к связи между действую щим полем и средним полем. Дело в том, что в электронике без особых
оговорок обычно приравнивают два |
электрических поля: 1) поле |
Е — макроскопическое электрическое |
поле, полученное в результате |
усреднения микроскопического поля точечных электронов по физи чески бесконечно малому объему (содержащему много частиц, но имеющему размеры, на которых макроскопические величины практи чески не изменяются, см. начало этого приложения); 2) поле ЕеН — электрическое поле, усредненное не по объему, а по частицам в этом объеме. Так мы делали на протяжении всей книги, в том числе в дан ном приложении, где при выводе кинетического уравнения молча предполагали, что среднее поле, действующее на электроны, есть Е.
|
|
|
|
|
Между |
тем, как показал еще Лоренц (см. приложение I X ) , поля Е и |
Eeff |
в |
общем случае следует различать; то же относится и к полям |
Н и Helf, |
однако в электронике магнитными полями электронов обыч |
но |
можно |
пренебречь, так |
что существенен лишь вопрос о ПОЛЯХ |
Е и |
Е е » . |
|
|
|
Несомненно, что второй |
вопрос имеет важное значение для всей |
электроники, и поэтому ему следует уделить хотя бы несколько слов. Мы придем к цели всего быстрее, если свяжем его с первым вопросом. Пусть плотность электронов в данном элементе объема (число частиц на единицу объема) равна N. Плотность N определяет величину г — среднее расстояние между частицами. В дальнейшем г нам будет нужно лишь для того, чтобы оценивать порядки величин, поэтому мы опреде
лим |
г |
соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nr3 |
= |
l, |
7=N-'l\ |
|
(IV.83) |
|
Совокупность электронов можно рассматривать как электронный |
газ, |
если |
выполняется условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
m v |
^ |
C |
|
(IV.84) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
г |
|
|
где скорость у о определяет |
разброс |
скоростей |
электронов |
вдоль каж |
дого направления |
(если этот разброс различен в разных направлениях, |
то под |
у о следует |
понимать |
в общем случае минимальное |
значение); |
при наличии статистического равновесия под v0 |
можно понимать сред |
нюю |
квадратичную скорость |
и |
согласно формуле (IV. 19) полагать |
|
|
|
|
±.mvl=—kT. |
|
(IV.85) |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
2 |
|
|
Условие |
(IV.84) |
означает, |
что |
кинетическая |
энергия |
относитель |
ного движения электронов в среднем гораздо больше их взаимной потенциальной энергии, поэтому индивидуальное взаимодействие электронов возмущает их движение под действием усредненных полей лишь в течение относительно малых промежутков времени. Если отвлечься от этих промежутков времени (их вклад в изменение функции распределения / определяется выражением 5 [/] в кинети-
ческом уравнении), то окажется, что подавляющую часть времени электроны пронизывают данный элемент объема, двигаясь под воз действием усредненных полей и не предпочитая каких-то выделенных частей этого объема, в которых микроскопическое поле отличается от среднего (макроскопического). Это и значит, что при условии (IV.84) мы можем положить
ЕеН = |
Е. |
(IV.86) |
По существу, эти соображения |
дают ответ на |
оба вопроса. Если |
ввести радиус Дебая а с помощью соотношения |
|
а= л/~-^—, |
(IV.87) |
эквивалентного второй формуле (IV.41), то условие (IV.84) можно переписать в виде
72 < 2 па2
или |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а > 1 , |
а = (2я )3 /2 Na3, |
|
(IV.88) |
причем |
оказывается, |
что при |
Т |
= 200° К |
мы |
имеем а « |
1000 |
при |
N— |
109 |
см~3 |
и а а Ю |
при N= |
101 3 см~3 ; обычно температура Т больше |
и параметр |
а, пропорциональный |
Т3/2, также |
больше. Оказывается, |
что |
относительная погрешность |
формулы |
(IV.86) порядка |
1/а, |
так |
что разброс начальных скоростей электронов (при эмиссии), как правило, достаточен для применимости равенства (IV.86). Если в элект ронном облаке имеются дополнительные относительные движения, то они повышают эффективную температуру, определяемую формулой (IV.85), и параметр а увеличивается. Отметим, что в литературе вопрос о применимости равенства (IV.86) обсуждался для плазмы; однако наличие ионов фактически ничего не изменяет, поскольку электроста тические взаимодействия между всеми заряженными частицами по порядку величин всегда одинаковы.
Значение радиуса Дебая частично выяснилось выше, всего проще
смысл этой величины можно понять из решений |
задач, |
относящихся |
к статистическому равновесию электронного |
газа в |
статических |
полях. Обозначим через Ф потенциал электростатического поля, создаваемого как внешними электродами, так и равновесным электрон ным облаком. Функция распределения электронов в этом случае равна
|
/ |
—т\2-\-еФ |
\ |
2nkT ) |
V |
kT |
|
это — так называемое распределение Максвелла — Больцмана, ко торое является точным решением как уравнения (1.09), поскольку для функции (IV.89) S [/] = 0, так и уравнения (IV.01); статическое маг-
нитное поле функции распределения не изменяет, N0 — плотность
электронов там, где Ф = 0. Соответствующая |
плотность заряда равна |
еФ |
|
p=^eN0e~w, |
(IV.90) |
так что потенциал Ф удовлетворяет уравнению |
ДФ = —4яеЛА0 е k T . |
(IV.91) |
Пусть теперь в некоторую точку электронного облака внесен дополнительный точечный заряд е', который вызовет в нем дополни тельное электростатическое поле с потенциалом Ф', удовлетворяю щим уравнению
ДФ' = _ 4 я \е' б (г—г') + р'—р], |
(IV.92) |
где первое слагаемое есть плотность дополнительного заряда, сосре доточенного в точке г', а
|
|
р'^ре~Тт |
еФ' |
|
|
|
(IV.93) |
|
|
|
|
|
|
— плотность заряда |
электронного |
облака |
при |
наличии |
дополни |
тельного потенциала |
Ф'. |
Поскольку |
|
|
|
|
р ' _ _ р = = р ( е - ^ - і ) ^ - £ Є . ф ' |
П р И |
Л ! ^ < < и |
|
мы получаем для Ф' линейное уравнение |
|
|
|
Л Ф ' _ х 2 Ф ' |
= |
— 4 я е ' 6 ( г —г'), |
Х |
= | / " |
^ Г ' |
(IV.94) |
которое при постоянстве р имеет сферически симметричное |
решение |
Ф' = |
* ' - ^ 1 , |
г = |
j г — г'| . |
|
(IV.95) |
Таким образом, перераспределение |
электронного газа в |
поле заряда |
е' приводит к замене потенциала |
|
|
Ф' |
= |
^ , |
|
|
|
г |
|
который был бы в отсутствие |
электронного облака, |
потенциалом |
(IV.95), т. е. к экранированию поля: поле заряда е' в равновесном электронном облаке сравнимо с полем заряда е' в пустоте лишь на
расстояниях г ^ а, |
где |
|
|
a=— |
= l / - ^ — |
(N^N0e~w) |
(IV.96) |
и есть радиус Дебая в той точке электронного газа. куда помещен заряд е'; постоянство р и Ф требуется на этих же расстояниях.
Последнее требование при отсутствии ионного фона не выпол няется, поскольку согласно уравнению (IV.91), которое можно пере писать в виде
характерные размеры электронного облака в состоянии статистиче ского равновесия получаются порядка а. Это проявляется во многих случаях: так, например, в диоде, анодный ток которого ограничен пространственным зарядом (рис. 1.1), электронное облако между катодом и потенциальным минимумом близко к состоянию равновесия, поскольку лишь небольшая часть электронов (быстрые электроны) преодолевает минимум и проходит к аноду; поэтому расстояние между катодом и минимумом всегда порядка а (см. задачи 1 и 2 к 1-й лекции). В запертом магнетроне толщина электронного слоя существенно больше, и в ходе развития неустойчивостей она может только увели чиваться. Если принять, что кипящее электронное облако находится
в статистическом равновесии (что правильно лишь отчасти), то отсюда
снеобходимостью вытекает, что его эффективная температура, рас сматриваемая как мера разброса скоростей, должна на много порядков превышать температуру катода.
Таким образом, условие (IV.88) имеет очень простой смысл: в сфере радиуса а должно быть много электронов. Это условие, оче видно, необходимо для того, чтобы можно было применять формулы (IV.89), (IV.90) и (IV.93), имеющие статистический характер и выте кающие из кинетического уравнения. Оно же является условием при
менимости |
кинетического уравнения в общем случае, по крайне? |
мере тогда, |
когда электронный газ не слишком далек от равновесия; |
в противном случае роль температуры играет, как уже указывалось, величина Т, определяемая соотношением (IV.85).
Возможность пренебречь соударениями, т. е. заменить уравнение (1.15) более простым уравнением (IV.01), зависит от конкретных чис
ленных соотношений в данной задаче. Например, для |
задачи Коши, |
рассмотренной выше, соударениями можно пренебречь |
при | со" | > v; |
об этом говорилось после формулы (IV.54). |
|
Теперь можно сказать, что произойдет при цифровом моделиро вании электронного облака с помощью укрупненных точечных частиц,
каждая |
из |
которых содержит п |
электронов |
(п |
> |
1) и |
имеет массу |
пгп |
= пти |
заряд еп = пе. Чтобы |
плотность заряда р |
осталась |
той же, |
надо взять Nn = N/n. |
Если |
при |
этом |
разброс |
скоростей |
v0 |
остается |
прежним, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тп |
= пТ, |
ап |
= а, |
а,'71 |
а |
|
|
|
(IV.97) |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
а |
при |
постоянстве |
температуры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
On |
|
|
а |
|
|
а |
|
|
(IV.98) |
|
|
|
Vn' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П'5/2 |
• |
|
|
