Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 293

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Заметим, что, совершая предельный переход со -»- 0 в общей фор­ муле (V.13), получаем в спиральном волноводе точно такое же ква­ зистатическое поле (V.21), как и в обычном волноводе со сплошной стенкой. Это совпадение не случайно — оно является (см. 6-ю лек­ цию) отражением того факта, что для статического поля спиральный волновод эквивалентен сплошной металлической трубе. Поэтому в спиральном волноводе просто учитываются эффекты, обусловленные конечной скоростью распространения поля: для этого надо применить

для

Ez

выражение

(V.19)

вместо

выражения (V.21),

что и

делается

в дальнейшем (ср. с задачей 13

к 5-й лекции). Впрочем,

учет

этих

эффектов важен лишь при расчете релятивистских пучков.

 

 

 

двух

Представим теперь полное

усредненное

поле

Ег

в

виде суммы

слагаемых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ег

 

= Ег

 

+ Ёг,

 

 

 

 

 

(V.22)

где

Ez

есть

часть

усредненного

поля,

равная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е

=

—

 

 

 

р 2

q2SH\

 

 

i - a

 

 

 

у

2 3

)

 

 

 

z

 

tcoS

2 я ( р 2

— < ? 2 ) 2 Ь 2

l\(qb)

G

'

 

 

\

•

'

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G =

G (ра)

=

— 0 (

р д )

 

=

1 _

 

(f e a

С 1 § Х)2

h (pa) К1(ра)

 

^

щ

 

 

 

 

 

G

(pa)

 

 

 

 

 

 

(pa)2

1о (pa)

K„

(pa)

 

 

 

 

При синхронизме электронного пучка с волной в спирали удобно

преобразовать выражение

(V.23)

к

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ez

=

ih*$*lP'

q

)

J,

 

 

 

 

(V.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

— hi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rs

(р, q) =

 

wGs

 

 

ф2

(1 -

G),

 

 

 

(V.26)

а функция

 

 

 

 

 

 

(pa)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О .

0

»

 

>

-

-

^

-

^

 

 

 

(V.27)

не обращается в нуль при p=ps-

 

Через

ф 8

обозначен усредняющий

множитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( р 2 - < 7 2 ) 6 / і ( 9 б )

 

 

 

 

 

 

 

введенный согласно

формуле

 

(6.06) для функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<Р. =

1о(рг).

 

 

 

 

 

(V.29)

 

327

Выражение (V.25) аналогично резонансному слагаемому в правой части (6.52), однако существенное его отличие состоит в том, что ве­ личина Rs зависит от р и, следовательно, от волнового числа п. Поэ­ тому, чтобы выделить резонансное слагаемое в чистом виде, разложим

Rs в ряд

Тейлора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•R^(h~hs)

+ Rl2) (h — ht)* + .

учитывая,

что

 

 

 

 

d2p

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

dh2

 

 

 

 

~dh

 

 

P3

Коэффициенты

Rsn)

в разложении

(V.30)

имеют вид

 

R^^RsiPs,

q),

 

Rl1}

dp

Ps

 

 

 

 

 

 

 

^ 2 )

= 1

d2Rs

,

ч hl

dRs ,

, k2

 

 

 

dp2

 

p|

dp

Pl

Подставляя ряд (V.30) в выражение (V.25) и учитывая, что

 

1

 

1

 

1 , h—h.

2

 

2

s

s

8/i s

ft —я

 

1h {h—h

 

 

получаем ряд Лорана

(V.30)

(V.31)

(V.32)

(V.33)

 

R\

- R l " -

R_( 0 )

z

2 h — ft.

 

2/i

 

 

 

2ft,

(h-K)

(V.34)

4hl

 

Первое слагаемое в квадратной скобке соответствует резонансному слагаемому в правой части (6.52), а остальные слагаемые определяют динамические поправки к полю пространственного заряда. Суммируя

слагаемые E z и E z , приходим к

формуле

(6.52), причем

величины

Rs и Г определяются выражениями

 

 

#„ = Я.( 0 ) .

•Rs(Ps>

Я)

(V.35)

 

 

г = г +

г,

 

coS_

R ( 0 )

Rl"

, я ! 0 > >

(V.36)

8л

2hs

2ft t

(h-ha)

+

4A|

 

При конкретных расчетах часто удобнее вместо удельного со­ противления связи Rs использовать полное сопротивление связи К а (см. задачу 5 к 6-й лекции) или безразмерный коэффициент связи

К (см. задачу 8 к 6-й лекции). Рассмотрим, например, переход к коэф­

фициенту связи. Введем функцию К(р, 7) соотношением

 

 

К(р, д) =

®SRS

(р, д)

 

 

 

 

 

4nhs

 

и разложим ее в ряд Тейлора

 

 

 

K(p,q)

= Kl0)

+ К (і) h — hs ^

J^(2>

/ h — Ag

аналогичный ряду (V.30);

здесь

 

 

 

K < 0 ) = K ( p s

, < ? )

(uSR ( 0 )

 

 

 

 

4nhs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К<1>.

 

 

(s>SRil)

 

 

 

 

4л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л -

Г -

д 2 К ,

ч

£ 2

дК

©Si?<2 >As

2р 2

 

dp2

 

ps

dp

4л

(V.37)

(V.38)

(V.39)

— безразмерные коэффициенты. Тогда вместо выражений

(V.35) и

(V.36) имеем

 

К - К < 0 ) ,

(V.40)

f = —(К( 0 >—2К<'>) — — (К<°> — 2 К ( 1 ) + 4 К ( 2

) ) ^ г

.. (V.41)

4

8

Л„

 

Переходя к анализу полученных выражений, рассмотрим сна­

чала коэффициент

депрессии Г. Его волноводная

часть

f (р, q) оп­

ределяется формулой (V.20) и не зависит от волнового числа медлен­

ной волны спирали,

т. е. от р а .

 

 

q fa р. Положим

q = р;

При

слабом пространственном заряде

учитывая

известное

тождество

 

 

 

 

 

 

 

/о (z) * i (2) +

К0

(z) I , (z) = j - ,

 

(V.42)

получаем

# i = 1 и,

раскрывая

неопределенность,

придем к

явному

выражению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г (р, р) = г° (pb)

 

ФЬ) -

П (pb)]

4 ^

(V.43)

где

 

 

2

 

 

 

/ 0 (ра)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г"(Р6):

(рЬ)2

V0№K*№

+ h

(рЬ)Кг(рЬ)]-

 

 

 

 

 

1

 

/ | (рб)

 

 

(V.44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 / 2 ( р 6 ) - / 2 ( р 6 )

 

 

1

'

— коэффициент депрессии электронного пучка в свободном прост­ ранстве. Величина Г, определяемая формулой (V.43), дана на рис. V . I .

Если считать плотность переменного тока в сечении электрон­ ного пучка постоянной (такое предположение часто делают в нели­ нейной теории), то мы приходим (при q = 0) к коэффициенту деп­ рессии

Г(р,

0) = 1 - 2 / 2 (рЬ )

Ki (pb)

. К„ (pa)

(V.45)

 

 

 

 

I о (pa)

 

Соответствующие

кривые приведены

на рис. V.2.

 

При сильном пространственном заряде надо воспользоваться

соотношением

 

 

 

 

 

 

р 2

^

(h-hey

 

 

 

P*-f

 

h l

'

 

вытекающим из формулы (V.01), и учесть, что для волн пространствен­ ного заряда в круглом волноводе правая часть этого соотношения равна Г(р, q). Поскольку для волн пространственного заряда q -= ig, мы имеем

F < * * > = 7 + 7

( V - 4 6 )

и, кроме того, q должно удовлетворять трансцендентному уравнению

- G = £ ,

(V.47)

" і

 

которое следует из уравнения (V.15); его можно также получить, сравнивая формулы (V.20) и (V.46). В развернутом виде характери­ стическое уравнение для волн пространственного заряда в круглом волноводе имеет вид

Jo(gb)

И

Ic(pb)Ko(pa)-I0(pa)K0(pb)

Оно определяет зависимость g ~

g (р)

при сильном

пространственном

заряде, откуда при помощи формулы

(V.46)

получается зависимость

Г от pb, приведенная на

рис. V.3.

 

 

 

Эти значения Г уже

можно

использовать

при

расчете электрон­

ных волн, поскольку, как показано в задаче 10

к 6-й лекции, их вол­

новые

числа отличаются

от волновых чисел волн пространственного

заряда

на величины

порядка - ~ =

(при а >

1), в то время

как для

волн

пространственного

заряда

 

 

 

 

 

 

 

fc±«/ie(l±ea)

=

/ i e ( l ± -

^

f

 

 

т. е. отличие на величину порядка

ест, которой

пренебрегать

нельзя.

Зная

Г, можно найти

электронное

волновое

число

he или

скорость

ve, при

которых достигается синхронизм (h+

w hs).

пролетного кли­

Уравнение (V.48) широко используется в теории

строна при изучении волн пространственного заряда в трубке дрейфа. Задача состоит в том, чтобы по заданному пе найти волновые числа h

330

Смотрите также файлы