Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 288

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

начальным сечением и данным. Левая часть — разность безразмерных потоков кинетической энергии пучка в данном и начальном сечениях; действительно, в начальном сечении £ = 0 пучок не модулирован и поток его кинетической энергии равен

P f t

( 0 ) = — A

= j

o { i

r j e - ;

(VI.15)

 

2

e

 

 

2e

 

это — постоянная мощность пучка, вводимого в лампу. В произволь­ ном сечении поток кинетической энергии определяется более сложным выражением

2 л

Ph(Q

= 7Г- \ —

— d(<*t) = J0Ue

і

,

(VI.16)

"

2л J 2

е

/

ди\2

 

 

0

 

1-г-е

 

 

в котором использована формула (7.06), позволяющая перейти от интеграла по t к интегралу по f0 и « 0 , а также соотношение

ди

(VI. 17)

1 + є —

вытекающее из формулы (7.05). Отсюда видно, что с точностью до множителя J0Ue левая часть (VI. 14) есть просто Pk(0) — Ph(Q- Ана­ логичным образом последнюю сумму в правой части (VI.14) следует интерпретировать как безразмерный поток потенциальной энергии сил пространственного заряда. Соответствующая размерная величина («кулоновская мощность») равна

 

Pc = h U e ~ ^ o l A n \ I n

\ \

(VI.18)

 

 

п

 

 

В

бесконечно широком пучке,

где все Г„ =

1, мы имеем Л„

= 0 и

Рс

= 0. Таким образом, Рсф0

только в том случае, если коэффициент

депрессии Г зависит от h, а подобная зависимость будет тогда,

когда

(см.

6-ю лекцию)

сила взаимодействия между

двумя сечениями зависит

от

их взаимного

расстояния. Обычно

сила

убывает с расстоянием,

поэтому

 

 

 

 

 

<х»Л„>0 и

Р с > 0 ,

причем увеличение модуляции пучка (увеличение | /„ |) ведет к уве­

личению

Рс. Из формулы

(VI .09) видна

необходимость

появления

потока потенциальной энергии: при увеличении

всех | I n |

возникает

сила § ,

которая в среднем тормозит пучок

<

0), т. е. отбирает у не­

го часть потока кинетической энергии; эта

часть превращается в по­

ток потенциальной энергии

Рс.

 

 

 

Остается объяснить, почему величины f и Рс определяются только произведениями а 2 „ Л п , а не самими величинами о2п. Дело в том, что величина f представляет собой сумму внутренних сил в системе час-

тиц, взаимодействующих без запаздывания (квазистатические поля). Если бы мы вычисляли эту сумму в заданный момент времени, то она всегда была бы равной нулю в соответствии с третьим законом Ньютона. Однако фактически мы производили операцию усреднения по на­ чальному моменту t0, что эквивалентно суммированию сил, действую­ щих на частицы в разные моменты времени, соответствующие их пролету через данное сечение пучка £. Так как в общем случае скоро­ сти частиц в данном сечении различны, то в разные моменты времени расстояния между частицами также различны и соответствующая сумма внутренних сил не равна нулю (т. е. § ¥=0). Здесь отчетливо проявляется роль модуляции по скорости; если этой модуляции нет,, то расстояния между частицами не изменяются, f == 0 и поток потен­ циальной энергии электронов отсутствует. То же самое следует не­ посредственно из выражения для усредненной силы пространственного

заряда W, если вычислять ее с помощью формулы (VI .04). В силу нечетности функции D имеем

2л

§ D (и (£, и0) — и (£, u0 )) du0 du0 = 0

2я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ди

 

 

 

 

если

модуляции

скоростей

нет, то

щ

не зависит от и0

и получаем.

f

=

0 в силу нечетности функции

Dx.

 

 

 

 

 

Как отмечалось в 6-й лекции и задаче 9 к ней, учет пространствен­

ной

дисперсии,

вызванной

краевыми

эффектами, т. е.

зависимости

Г от h,

приводит к появлению в неподвижном электронном пучке вместо-

одной

резонансной частоты

со =

сор

кривой

дисперсии

со =

<t>q(h) =

=

у"Г {К) сор или, что то же, к возможности

распространения волны

пространственного заряда с

отличной от нуля групповой скоростью

d^r.

 

Существование такой волны тесно связано с наличием потока по-

dh

 

J

 

энергии

(наряду с

потоком кинетической

энергии).

тенциальной

 

 

Таким

образом,

согласно

закону

сохранения энергии

(VI.14)

кинетическая энергия электронов переходит не только в энергию синхронных волн, но и в потенциальную энергию. Согласно задаче 11 к 7-й лекции мы имеем

Г „ Л „ ~ 4 '

О я Л п ~ - 4 >

и 3

я 4

т. е. члены ряда (VI. 18) быстро убывают, и основной вклад в выраже­ ние для Р с дает первый член. Произведение Г„Л П обращается в нуль в тонких (hb -> 0) и широких (hb - > со) пучках; если рассматривать экспоненциальный закон взаимодействия сечений электронного пучка,

то максимальное значение

r x A x =

V 2

достигается

при heb

= 1-4-2, а

максимальное значение Рс

равно

 

 

 

 

 

4

\

со I

 

 

Эта оценка применима при heb>,\

и

для тонких

пучков

(heb < 1)

нуждается в уточнении.

 

 

 

 

 

В приложении V показано, что при учете динамических

поправок

к квазистатическому полю пространственного заряда коэффициенты депрессии Г п могут стать отрицательными. Аналогичным образом влия­ ние динамических поправок может привести к изменению знака одного или нескольких произведений Г „ Л П . В этом случае, как видно из вы­ ражения (VI.18), поток потенциальной энергии будет уменьшаться при возрастании гармоник тока, т. е. внутренняя энергия пучка будет переходить в энергию поля или кинетическую энергию электронов. Таким образом, если Г „ Л п < ; 0 , т о из электронного пучка можно отоб­ рать дополнительную энергию, величина которой определяется воз­ можным минимумом потока потенциальной энергии. Как видно из выражения (VI.18), минимум потока потенциальной энергии соответ­ ствует максимуму модуляции электронного пучка по току на тех

гармониках, где Г п Л п

< ; 0 , и отсутствию модуляции для тех гармоник,

где Г П Л П

>

0.

полезно переписать

первый закон сохранения

 

Для

дальнейшего

в

размерном

виде

 

 

Ph

(0) - P f c ( Q

= 2 [ Я п ( £ ) _ Р п ( 0 ) ] + %2nln

$ Р „ ( 0 ^ + ^ . ( 0 . (VI.20)

 

 

 

п

п

0

где 2 nl"ndt, = 2 h"s]П dz и использованы формулы (VI.13), (VI.15), (VI.16) и (VI.18). Заметим, что при малых є, при отсутствии потерь (1"п = 0) и при наличии одной только синхронной волны (п — 1) первый закон сохранения принимает вид

3» . J F I 2 — 1 А І2

"~

4

показывающий, что по мере нарастания электромагнитного поля бегу­ щей волны электроны все больше замедляются. Как мы видели в 7-й

лекции, это явление

является важным фактором, ограничивающим

мощность, поскольку

электронный сгусток, замедляясь, попадает

из тормозящего поля

в ускоряющее.

Перейдем теперь к выводу второго закона сохранения. Для этого усредним уравнение движения (VI.01), предварительно умножив его

на

Учитывая, что

 

 

 

 

ЁЕ. Ota

 

1 4 2 е д и -

 

 

dt, d£2

1 д

dt, __

1

 

 

dt,

 

In

a% '

 

 

 

 

 

1

V ^

d\/n\2

 

 

 

 

dt,

4

n

dt,

 

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(VI.21)

где a 2 „

определены

формулой

(VI .06).

 

 

 

С другой стороны, из уравнения возбуждения (VI.02) вытекает

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

Im (F* ^)-п&

 

\Fn\* = -xnlm

(F* /„),

 

которое,

пользуясь

обозначением

 

 

 

 

 

Fn

= \Fn\einan,

 

 

(VI.22)

можно переписать

в виде

 

 

 

 

 

 

V

dZ -&)\Fn\a

= —X.nl™ —

-

(VI.23)

Это — баланс реактивных мощностей в безразмерном виде, по суще­ ству совпадающий с соотношением (с) задачи 10 к 5-й лекции.

Умножим обе части соотношения (VI .21) на е(/е е2 и введем вели­ чины

du

wh = eUes*{

д ^ я ) , wc = e U e ^ ^ o l \ I n \ \

(VI.24)

имеющие смысл средней кинетической (wh) и средней потенциальной (кулоновской, wc) энергий электрона в движущейся (со скоростью ve) системе координат. Легко видеть, что величина

A ^ - e U ^ R ^

L

F ^

(VI.25)

п

п

dt.

 

имеет следующий смысл: Ла% есть работа синхронных волн над элек­ тронами пучка (при их смещении на d£) в движущейся со скоростью ve системе координат; действительно, в движущейся системе смещение частицы равно

£ = ( l _ I ! s _ b z = _ 2 .

ч J

he dt,

поэтому работа оказывается

равной

 

 

 

А&Ъ=—

2eUeє2Re

У. Fne-'"»

— d£,

 

что и ведет к выражению

(VI .25).

 

 

 

 

Если комплексные амплитуды Fn

постоянны (не зависят от £), то

Л является полной

производной

 

 

 

 

j =

_ t o k j

W

s = ^ e

U

e & 2 l m

y £ n A

(VI.26)

и соотношение (VI .21) приводит к простому закону сохранения энергии

 

wh + wc 4- ws == const,

(VI .27)

где ws

— средняя потенциальная

энергия электрона

в поле синх­

ронных

волн. Энергии wk, wc и ws

относятся к движущейся системе

координат, в которой синхронные волны создают статическое поле,

причем каждая частица

имеет

в этом поле

энергию (см. задачу 6

к 7-й лекции)

 

 

 

—2eUe

е2 Im У

— е ~ ' " и = 2eUe

є2 Vs,

пп

ив результате усреднения этой энергии по и0 мы получаем ws. Рас­ сматривая работу кулоновских сил в движущейся системе, нетрудно

показать, что wc есть действительно энергия, запасенная в поле про­ странственного заряда. В движущейся системе координат потенциаль­ ная энергия электронов определяется непосредственно коэффициен­

тами а 2 п (а не произведениями

о2пАп,

которые

входят в выражение

для Рс). Это становится

понятным, если вспомнить, что коэффициент

депрессии Г определяет частоту

колебаний и> в движущейся системе

(рис. 6.2).

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотренный частный случай не представляет

практического

интереса, поскольку на самом деле Fn

зависят от С и

удовлетворяют

уравнениям (VI .02). Пользуясь

тождеством

 

 

*ї п

а%

а%

~

п

 

~ п

dt,

мы вместо соотношения

(VI.26)

будем

иметь

 

 

 

 

 

d

l

 

 

 

 

«>.= - r f / . e « \ ]

—

f

-\Fn\\

(VI.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n\"„

dan

 

 

e

n Xn dt

Смотрите также файлы