Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7]

П Р О Е К Ц И О Н Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы И М А Т Р И Ц Ы

61

Произвольный проекционный оператор Р в R осуществ­ ляет проектирование R на подпространство S’ = PR парал­ лельно подпространству Т = R — S.

Действительно, множество векторов

Xs = Р х

(х£ R)

образует некоторое подпространство 5 пространства R. Все пространство R можно рассматривать как прямую сумму двух подпространств S и Т = R — 5. Произвольный вектор X £ R разлагается на сумму

 

X = Xs + Хт

(Xs £S, Xт£ Т).

(7.5)

Применим к (7.5) оператор Р:

 

 

Но

 

Р х = P xs + Рхт.

 

 

 

Р х = Р2х — Р (Рх) = Pxs,

 

поэтому

 

Р х,

= 0

 

 

и, кроме того,

 

 

P xs = Р х = xs-

 

 

 

 

 

 

Квадратная

матрица Р называется

проекционной, если

 

 

Р 2 = Р.

 

(7.6)

Проекционному оператору в произвольном базисе отве­

чает проекционная матрица.

 

отвечающая

опера­

Действительно, если Р — матрица,

тору

Р в базисе g = (ехе2... еп), то

 

 

 

 

Р% =

gP.

 

 

Но,

с другой

стороны,

 

 

 

 

 

P g = p 2 g = / > g P = g P 2 .

 

Значит, gP = g P 2, откуда и следует равенство (7.6). Докажем некоторые свойства проекционных матриц. Л е м м а 7.1. Пусть Р1 и Р2 — две проекционные ма­

трицы. Для того чтобы матрица

Р = Р, + Р2

также была проекционной, необходимо и достаточно, чтобы

Р 1Р 2 = Р 2Р 1 = 0.

(7.7)

6 2 Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы [ГЛ . Ш

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Пусть справедливы

равенства

(7.7). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

( P i +

P J * = Р 2І +

P S * +

P S i +

P i =

P l + P i = P l + P 2l

и, значит, Px

P%— проекционная

матрица.

 

Н е о б х о д и м о с т ь .

Если

Рг + Р2 — проекцион­

ная матрица, то необходимо

 

 

 

 

 

 

 

Р ^

+

Р .Р і^ О .

 

(7.8)

Умножая равенство (7.8) справа на Р2, а слева на Рх,

получим

Р 1Р 2(Р +

Р 1Р 2) =

0.

(7.9)

 

 

Далее, умножая равенство (7.8) справа на Р1( а слева

на Р 2, получим

Р 2Р 1(£ +

Р 2Р 1) =

0.

(7.10)

 

 

Складывая (7.9) и (7.10) и учитывая (7.8), будем иметь

 

 

(Рх^2)2 +

( ^

і)2 =

0.

(7.11)

Из двух равенств (7.8) и (7.11) находим

 

 

(Рл.Рг)2 + (РіРг)2 =

2 (РХР2)2 — 0.

 

Отсюда

 

(РіР*)2=о,

 

 

 

а из (7.11) тогда и

 

 

 

(Р2Рі)2 =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании последних двух соотношений из (7.9) и

(7.10)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р1Р 2 =

Р 2Р1 = 0.

 

 

Лемма доказана.

Проекционную матрицу Р порядка п ранга г, как и вся­ кую прямоугольную или квадратную матрицу, можно раз­ ложить на множители:

Р = КМ,

где К и М — матрицы ранга г и с размерами п X г и г х п соответственно.

Л е м м а 7.2. Пусть Рх и Р2 — проекционные матрицы порядка п и рангов гх и г2 соответственно и

P i =

P s = K aMt,

5 7]

 

 

П Р О Е К Ц И О Н Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы И М А Т Р И Ц Ы

6 3

где

Ки

Мъ

К2, М2 — матрицы размеров п X гх,

гх х п,

п X

г,,

г„

X

/г соответственно. Тогда,

если

 

то

 

 

 

Р іР 2 =

1=

О

 

 

 

 

 

[ЕГ

І =

і,

 

 

 

 

 

 

 

(W

= 1,2).

(7.12)

 

 

 

M‘Kl = { o t

j¥si

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как Рх — проекционная

матрица,

то

К1М1К1М1 = К1М1.

 

(7.13)

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что ранг квадратной матрицы МгКі порядка гх равен рангу матрицы К1М1, т. е. гх. Умножим (7.13) справа на /Сх и, учитывая, что М^Кх — невырожденная матрица, получим

К х М х К ^ К х ,

или

К Л М х К х - Е г ^ 0.

Ранг матрицы МгКх — ЕГі, который мы обозначим че­ рез г', равен нулю. В самом деле, используя неравенства Сильвестра, получим

гі + г' — Г і < 0 .

Отсюда

г' = 0,

и, значит,

М х К х ^ Е г , .

Тем же путем можно показать, что

М2К 2 = Ег%.

Докажем теперь второе соотношение (7.12). По условию леммы имеем, например,

КхМхК2М2 = 0.

Ранг матрицы МуКгМ2 размера rx X п обозначим через г". Согласно неравенствам Сильвестра

гх + г" — гх < 0.

Значит,

г* = 0,

и, следовательно,

М х К щ М ^ О .

6 4

Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы

[ГЛ . I l l

Обозначив через r'" ранг матрицы МХК*Убудем иметь

г ' + г2 — г2-^0. Отсюда г " ' — 0, и потому

МХК 2 = 0.

Точно так же

М2КХ= 0.

Лемма доказана.

Л е м м а 7.3. Пусть Рх и Р2 — проекционные матрицы порядка п и рангов r x , г 2 соответственно и

^

=

^ 1 = 0.

Тогда матрица Р =

Рх -f

Р2 является проекционной и ее

ранг равен г = rx -f г2.

 

То, что Р есть проекционная

Д о к а з а т е л ь с т в о .

матрица, непосредственно следует из леммы 7.1, так что оста­ ется показать, что ранг матрицы Р равен r x -f r 2 .

Матрицы Рх и Р2 разложим на множители:

 

 

Рх= КХМХ,

Р2 - К2М2,

 

 

 

где К.1 , Мх — матрицы ранга г х

и размеров п X

гх и г х X п

соответственно, К2>М2 — матрицы ранга

г2

и

размеров

п X г 2 и r 2 X п соответственно.

 

 

 

Матрица

 

 

 

 

Р = Рі + Р 2 = К ,м х + К М 2 = к м ,

(7. ] 4)

где

 

 

 

 

 

/ М л

 

 

 

 

м = ( м ;) .

 

 

 

Матрицы К и М размеров п

X г' и г' X

п (r' =

гх + г2)

соответственно имеют ранг, равный г'. Действительно, учи­ тывая (7.12), имеем

(МЛ

(Er, 0 \

М К = [ м Т К ^ =

 

Отсюда видно, что ранг

произведения МК равен г’.

(о

Но ранг сомножителей не меньше, чем ранг произведения, и, поскольку ранг матриц М и К не может быть и больше г', их ранг в точности равен г'.

Остается к произведению КМ применить неравенства Сильвестра:

— г < г < г ', г '.

ST)

ПРОЕКЦИОННЫ Е ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ

65

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г = г' =

гх 4- г%.

 

 

Лемма

доказана.

Пусть Plt Р2, ..., Рр — проекционные

С л е д с т в и е .

матрицы рангов rlt г2, ..., гр соответственно и

 

 

Р(Р1=

0

(і ф /;

£ ',/= 1 ,2 ,

. . . , р).

 

Тогда P

Р

является проекционной

матрицей

ранга

S P ,

/=і

р

г =

/=1

Л е м м а 7.4. Пусть Ри Р2, ..., Лр — проекционные матрицы порядка п, рангов rL, г2, ..., гр соответственно и такие, что

а)

=

0

(£ =Л /;

£ ',/= 1 ,2 .......... р),

б)

 

0 +

^ 2+

•••

+Гь = п.

Тогда

 

 

 

 

•

-

 

=

-^і +

^2 +

•••

+

= Дг-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Матрица Л является проек­ ционной матрицей ранга п. Разложим Р на множители:

Р = КМ.

(7.15)

Здесь К, М — невырожденные квадратные матрицы поряд­ ка п. Умножая равенство (7.15) справа на К и учитывая, что

МК — Еп

(см. (7.12)), получим

( Р - Е п) К = 0.

Отсюда, так как К — невырожденная матрица,

Р = Еа.

Лемма доказана.

Л е м м а 7-5. Пусть Ри Л2, ..., Рр — проекционные матрицы, удовлетворяющие соотношениям

а)

^ 1 + ^ 2 + ••• + -Р р = Дп,

и А — некоторая квадратная матрица такая, что

б)

Л/Л = 0

( / = 1 ,2 ..........

р).

Тогда А =

0.

 

 

8 К, А. Абгіряі

Смотрите также файлы